54阻抗與導(dǎo)納及其等效變換

1、5. 4阻抗與導(dǎo)納及其等效變換一、阻抗阻抗的定義及表示形式如下圖(a)所示的單口無源線性兩端網(wǎng)絡(luò)N0設(shè)端口電壓為u = J2Usin(st +甲)，對(duì) 應(yīng)的相量U = UZpu，端口電流為i =21 sin(st + 僅)， 對(duì)應(yīng)的相量I = I/七。則其端 口電壓相量與電流相量之比定義為該網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z，即z=g=?/（甲-甲）=I Iu i由上式可得p =p 一平u i說明：Z是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以又稱為復(fù)阻抗，|Z|是阻抗的模，p為阻抗角，它是電壓與 電流的相位差。復(fù)阻抗的圖形符號(hào)與電阻的圖形符號(hào)相似，如上圖(b)所示。復(fù)阻抗的單位 為Q。阻抗Z用代數(shù)形式表示時(shí)，可寫為：Z = R + jXR：

2、 Z的實(shí)部，稱為阻抗的電阻分量，單位：Q，R 一般為正值；X： Z的虛部，稱為阻抗的電抗分量，單位：Q，X的值可能為正，亦可能為負(fù)。阻抗的代數(shù)形式與極坐標(biāo)形式之間的互換公式：Z = J R 2 + X 2,X p = arctan R JR = |Z| cos p X = |Z| sin p由阻抗Z的代數(shù)形式可知，由于R 一般為正值，所以有p I vf，且R、X和Z三者之 間的關(guān)系可用一個(gè)直角三角形表示，如上圖（C）所示。阻抗的性質(zhì)X由于阻抗Z = |z|/中而中=arctan；，電路結(jié)構(gòu)、參數(shù)或頻率不同時(shí)，阻抗角？可能 R會(huì)出現(xiàn)三種情況：（1）中0 （即X 0）時(shí)，稱阻抗的性質(zhì)為感性，電路為

3、感性電路；（2） = 0 （即X = 0）時(shí)，稱阻抗性質(zhì)為電阻性，電路為阻性電路；（3）中V 0 （即X 0和X V 0時(shí)，以I為參考相量時(shí)的電路的相量圖。由相量圖可知，UR、UX和U構(gòu)成一個(gè)直角三角形，該三角形稱為電壓相量三角形，它與阻抗三角形是相似形。（幼（b）（c當(dāng)單口無源網(wǎng)絡(luò)用串聯(lián)電路模型等效時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同性質(zhì)的阻抗，其等效電路分別如下 圖（a）、（b）、（c）所示()(b)tfi） 0攥性電站仃的容性電路ME f=0電擔(dān)性電路例5-11有一個(gè)電感線圈，其電阻R = 15 ，電感L = 25mH，將此線圈與C = 5|iF的 電容串聯(lián)后，接到端電壓u = 1002 sin5000l V

4、的電源上，求電路中電流i和各元件上的 電壓Ur、匕和 七，并判斷電路的性質(zhì)，畫出相量圖。解 由題意畫出電路的相量模型，標(biāo)出電壓、電流參考方向，如上圖（a）所示。 由于U = Ur + U L + UC = RI + jXLI - jXCI=R + j(XLXC所以RLC串聯(lián)電路阻抗為Z = = R + j(X - X ) = R + jXIl c其中X = Xl - XcX * L = 5000 X 25X10-3 = 125QX = 40 QC O C 5000X5X10-61Z = 15 + j125 - j40 = 15 + j85=86.31 Z80 QI = = 100Z0 = 1.

5、16Z - 80 aZ 86.31/80各元件上的電壓相量U = RI = 15 x1.16/- 80= 17.4/- 80V RUL = jXL I = j125 X 1.16/ - 80= 145 / 10VUC = - jXc I = -j40 X 1.16/ - 80= 46.4/ -170V 瞬時(shí)值表達(dá)式分別為i = 1.16、2sin(50001 - 80)AUr = 17.sin(5000t - 80)V七=14/2 sin(5000t + 10)V* = 46. sin(5000t - 170)V由中=80可知電壓u超前i 80，電路呈感性。由U = UR + UL + UC可

6、畫出相量圖，如上圖（b）所示。二、導(dǎo)納阻抗z的倒數(shù)定義為導(dǎo)納y。對(duì)于無源線性單口網(wǎng)絡(luò)，有/甲一平=|y|/甲 u U 1 u其中：y的模|r I稱為導(dǎo)納模它的輻角v稱為導(dǎo)納角，它是電流與電壓的相位差。y單位為西門子，用“S”表示。導(dǎo)納y的代數(shù)形式為y = g + jB虛部B稱為電納，它們的單位都是西門子，G一般為正其中：y的實(shí)部g稱為電導(dǎo)，值，而b的值可能為正亦可能為負(fù)。導(dǎo)納的直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)形式互換公式為|y| = *G2 + B2 ，,B 中=arctan GG = |y| cos /B = |y| sin /由定義式可知，=-中，因此，當(dāng)時(shí)0時(shí)，表示電流i超前u電壓，電路為容性電路;

7、若中V 0，則表示電流i滯后電壓u，電路為感性電路；若=0表示電流i與電壓u同相量位，電路為阻性電路。由導(dǎo)納定義式可知，單一元件R、L、C的導(dǎo)納分別為yR = R = g11y =-j =jBL jX o L L1.y = jo c = jBc -jXcC-111其中，G = R稱為電阻的電導(dǎo)，bl = X = Ol叫做感納L1=o C叫做容納， XC三者單位均為西門子（S）。例5-12在RLC并聯(lián)電路中，R = 40Q,+ E7Xl = 15 Q ， XC = 30 Q ，接到電壓為u = 120。2 sin（100 4 + 30）V 的電源上，求電路的總電流、總阻抗和總導(dǎo)納。解 由題意可畫

8、出其電路圖，并標(biāo)出參考方P向，如右圖所示。IR = R = T = 3Z30A.一一 一一。U12空=8Z- 60Aj15.一一 U 】Q = 4/120A-j30I = I + I + I=3/30+8/ - 60+4Z120= 5/ - 23.1 AZ = U = 120K = 24Z53.1 QI5Z -23.1Y = 1 = 0.0417Z - 53.1SZ=0.0417SZ = 24 Q，Y三、阻抗與導(dǎo)納的等效變換1 .將阻抗等效為導(dǎo)納如下圖（a）所示為電阻R與電抗X串聯(lián)組成的阻抗Z，即Z = R + jX。圖（b）所 示為電導(dǎo)G與電納B組成的導(dǎo)納Y，即Y = G + jB，根據(jù)等效

9、的含義：兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)如端口處具有完全相同的電壓和電流關(guān)系時(shí)，二者便是互為等效的。Y = 1 =工=占二X = _ + j= G + jBZ R + jXR 2 + X 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2可得由阻抗等效為導(dǎo)納的參數(shù)條件為:r RG =R 2 + X 2D _ X 2 B =R 2 + X 2。士1臼 _- t 一A = = 。1K2.將復(fù)導(dǎo)納等效為復(fù)阻抗與上類似，同樣如圖（a）、（b）所示其端電壓和電流保持不變時(shí)，由=R + JXZ = 1 =工=! = _ + J_Z_Y G + JBG 2 + B 2G 2 + B 2 G 2 + G 2所以R = GG 2 + B

10、2x =B2G 2 + B 2 J上式就是由導(dǎo)納等效變換為阻抗的參數(shù)條件。四、阻抗與導(dǎo)納的等效變換由于相量形式的KCL、KVL和歐姆定律與三定律在電阻電路中的表現(xiàn)形式相似，因此， 將電阻電路中的u、i、R、G分別用U、I、Z、Y替換后電阻電路等效變換的方法都 可以使用。（1）單口無源網(wǎng)絡(luò)中各阻抗為串聯(lián)時(shí)，等效阻抗為Z = zkk=1兩個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)的分壓公式為U1U2Z 1 Z + ZZ2Z1 + Z 2（2）單口無源網(wǎng)絡(luò)中各導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)，等效導(dǎo)納為Y = Y 或 1 = 1 k=1 k Zk=1 Zk兩個(gè)阻抗并聯(lián)時(shí)，等效阻抗為7 ZZZ =1_Z + Z 2分流公式為2 I Z + Z 星I Z

11、 + Z 2（3）三端無源網(wǎng)絡(luò)為星形或三角形連接時(shí)，等效變換公式為:已知星形（Y）電路，求等效的三角形（）電路r ZZ + Z Z + ZZ TOC o 1-5 h z Z =22_33112Z3r ZZ +ZZ +ZZZ = 1_22_33_1 1r ZZ + Z Z + ZZZ = 1_22_33_131Z2J已知三角形（）電路，求等效的星形（Y）電路Z =THZ12+Z23+Z317 Z Z Z + Z + Z 122331Z =Z23Z31Z12+ Z 23 + Z 31 在使用以上公式時(shí)應(yīng)注意：a. 一般來講，以上各公式中的阻抗和導(dǎo)納用各自的模表示時(shí)，各等式不成立。如Z。Z + Z + Z + + Z123n和式（5-38 ）在使用時(shí)，要注意b.和電阻電路中的分壓、分流公式相同，式（5-34）符號(hào)與參考方向的關(guān)系。例5-13如下圖所示電路中，已知電源的角頻率為= 4rad/s。若電流超前電壓的角度為arctan2，求電阻R。解 本題的相量模型圖如圖（b）所示，因三元件是串聯(lián)，且L = 4 X1 = 4Q=5Q20則其總阻抗Z = R + jX - jXC = R + j4 - j5 = R - j 由于電流超前電壓的角度為arctan 2，腳=arctan2，即