6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3課時）余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例（1）

1、余弦定理、正弦定理第3課時 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊（人教A版）第六章平面向量及其應(yīng)用， 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用正弦定理、余弦定理來求不能到達(dá)的兩點之間的距離、底部不能到達(dá)的建筑物的高、 角度問題。正弦定理、余弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解 決幾何及工業(yè)測量等實際問題，是解決有關(guān)三角形問題的有力工具。這是一節(jié)關(guān)于正、余弦定理應(yīng)用舉例課.利用應(yīng)用舉例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。把應(yīng)用正余弦定理解 決有關(guān)距離、高度、角度等問題融合起來，讓學(xué)生經(jīng)歷情景的過程中解決數(shù)學(xué)問題。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

2、A.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；B. 了解常用的測量相關(guān)術(shù)語；c.能運用余弦定理、正弦定理等知識和方 法解決有關(guān)距離、高度、角度的實際問題。.數(shù)學(xué)抽象：常用的測量相關(guān)術(shù)語；.邏輯推理：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；.數(shù)學(xué)運算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距離、角；.數(shù)學(xué)模型：在適當(dāng)?shù)娜切沃薪飧叨取⒕嚯x、角度。教學(xué)重難點.教學(xué)重點：實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解;.教學(xué)難點：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.正弦定理：sin A sin B sin CJ = 2R2.

3、正弦定理的變形：a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2Rsin Csin A = -,sinB = -,sinC = - 2R 2R 2Rsin A: sin B: sin C = : Z?: c3 .余弦定理:a2 =b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 +b2 - 2abeosC通過復(fù)習(xí)前面所學(xué) 知識，引入本節(jié)新 課。建立知識間的聯(lián) 系，提高學(xué)生概括、 類比推理的能力。變形:4 b- +c2-a1 cos A =2bcn c2 +a2 -b2 cosB =2caa2 +b2 -c2 cosC =lab4 ,三角形中

4、的結(jié)論:A + B + C = Jr; sin(A + 3) = sin C,cos(A + B) = -cosC,A + B Csin= cos一,A + B Csin= cos一A + B . C ,cos= sin 225.情境引入：（1）現(xiàn)實生活中，人們是怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０?高度呢?（2）在實際的航海生活中，人們也會遇到如下的問題：在浩瀚的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢?二、探索新知類型一距離問題例1如圖，A, B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測 量A, B兩點間的距離的方法.并求出A, B

5、間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C,。，測得CD=a,并且在C D兩點分別測 得 Z BCA=a , Z ACD=p , Z CDB= ZBDA=8,在ADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定通過例題讓學(xué) 生進(jìn)一步理解用正 弦定理、余弦定理求 距離，提高學(xué)生的解 決問題、分析問題的 能力。理得 asin(/ I o)，11 VB 一 . i*in| 180-中+)H )Il-y I fl) , (isin / Min(cr +/在7)于是，在AABC中，應(yīng)用余弦定理可得A, B兩點間的距離/H,阡而匚2八(1哈輯a/u-y+占)t a:mn57+力而 yaw a Hhi“a+y+d) -(a+、

6、+y) sin(/J+/+)sin(a4-/?4-7)思考:在上述測量方案下，還有其他計算A, B兩點間距離的方法嗎？ 【分析】先求AD, BD的長度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A, B間的距離?？梢?，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題 的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分 析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最正確的計算方式.通過思考，進(jìn)一步理解用正弦定理、余弦定理求距離問題的一題多解，提高學(xué)生分析問題、概括 能力。1.基線：在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基 線。如例1中的CD,為使測量具有較高精準(zhǔn)度，應(yīng)根據(jù)實際需要選 取合適的基

7、線長度，基線越長，精確到越高。如：類型二底部不可到達(dá)的建筑物的高度例2如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最 高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。通過例題讓學(xué) 生進(jìn)一步理解用正 弦定理、余弦定理求 高度，提高學(xué)生的解 決問題、分析問題的 能力?！痉治觥咳鐖D，求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在4ACE中，如能求出 C點到建筑物頂部A的距離CA,再測出由C點觀察A的仰角，就 可以計算出AE的長.【解析】選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上. 由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是af,CD=a,測角儀器 的高是h,那么，在4ACD中，根據(jù)正弦定

8、理可得sin(a-19)-所以，這座也筑物的高度為 AB =AE+A =sin。十八 a sin asin R , = &(a-+九類型三 角度問題 例3.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B 處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西30,且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線（由觀測點看目標(biāo)的視 線）的方向是北偏東多少度（精確到1） ?需要航行的距離是多少海里（精確到1 nmile） ?解：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖。通過例題讓學(xué) 生進(jìn)一步理解用正 弦定理、余弦定理求 角度，提高學(xué)生的

9、用 數(shù)學(xué)知識解決實際 問題的能力、分析問 題的能力。由余弦定理，得BO? =A52 + AC22ABACcos120= 202+72-2x20 x7x(-1) = 5892于是 5C 六 24(nmile) TOC o 1-5 h z 力一印sinC sinl20 丁曰20 25百由正弦定理，得=，于是sinC =二=20242412由于0。90,所以。比46 因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東46+30 =76大約需要航行24n mile.三、達(dá)標(biāo)檢測.如下圖，兩座燈塔A和8與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40。，燈塔B在觀察站C的南偏東60,燈塔A在燈塔3的(A

10、.北偏東5。B.北偏西10。通過練習(xí)鞏固本節(jié) 所學(xué)知識，通過學(xué)生 解決問題的能力，感 悟其中蘊含的數(shù)學(xué) 思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng) 用意識。C.南偏東5。D.南偏西10?！敬鸢浮緽【解析】由題意可知乙48=180。-40。-60。=80。4。=5。，=CAB=ZCBA=50,從而可知燈塔A在燈塔8的北偏西10.如圖，D, C, 3三點在地面同一直線上，。=100米，從C, D兩點測得A點仰角分別是60。，30,那么A點離地面的高度A3等于()A. 5675米B. 10附米C. 50 米D. 100 米【答案】A【解析】因為/94。=/4圓一/。=60。-30。= 30。，所以AQC為等腰三角形，所以

11、AC=DC=100 米，在 R3A8C 中,A8=ACsin60o = 50V米. 一艘船上午9： 30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30。的方向, 且與它相距8w海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)3處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75。的方向，此船的航速是（）8（加+也）海里/時8（加一也）海里/時16（加+也）海里/時16（加一也）海里/時【答案】D【解析】由題意得在ZiSAB中，ZBAS=3009 ZSBA=180-75 =105, ZBSA=45.由正弦定理得si：,5。sif：5。，即sin 105 sin 45，得 AB8（玳-?。?因此此船的航速為網(wǎng)而也）一1

12、6（加一也）（海里/小時）.2.在高出海平面200 m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向 的兩船的俯角分別是45。與30,此時兩船間的距離為m.【答案】200（73+1）【解析】過點A作AHJ_8C于點”，45oy；-=60, 3=45。，AB=12yf6.45。= 24（海里）.CD2=AD2+AC2- 2AD A Ceos 30小K*4海里，C,。之間的距離為85海四、小結(jié)1、解決應(yīng)用題的思想方法是什么？把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模思想。2 .求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）、審題（分析題意，弄清和所求，根據(jù)提意，畫出示意圖；（2） ,建模（將實際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問題）（3）求模（正確運用正、余弦定理求解）（4）還原。五、作業(yè)習(xí)題6.48,9題通過總結(jié)，讓學(xué)生 進(jìn)一步鞏固本節(jié)所 學(xué)內(nèi)容，提高概括能 力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 運算能力和邏輯推 理能力。教學(xué)反思本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應(yīng)用課，可以說是為正弦定 理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實際的