傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換關(guān)系與應(yīng)用(共19頁)

1、PAGE PAGE 論文(lnwn)題目 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系(gun x)與應(yīng)用 目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc384471886 摘要(zhiyo)： PAGEREF _Toc384471886 h 0 HYPERLINK l _Toc384471887 關(guān)鍵詞 PAGEREF _Toc384471887 h 0 HYPERLINK l _Toc384471888 Abstract PAGEREF _Toc384471888 h 0 HYPERLINK l _Toc384471889 1緒論 PAGEREF _Toc384471889 h

2、1 HYPERLINK l _Toc384471890 2傅里葉級(jí)數(shù)的概念 PAGEREF _Toc384471890 h 1 HYPERLINK l _Toc384471891 2.1周期函數(shù) PAGEREF _Toc384471891 h 2 HYPERLINK l _Toc384471892 2.2傅里葉級(jí)數(shù)的定義 PAGEREF _Toc384471892 h 2 HYPERLINK l _Toc384471893 3 傅里葉變換的概念及性質(zhì) PAGEREF _Toc384471893 h 10 HYPERLINK l _Toc384471894 3.1傅里葉變換的概念 PAGEREF

3、 _Toc384471894 h 10 HYPERLINK l _Toc384471895 3.2傅立葉變換的性質(zhì) PAGEREF _Toc384471895 h 11 HYPERLINK l _Toc384471896 4傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系 PAGEREF _Toc384471896 h 12 HYPERLINK l _Toc384471897 5傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471897 h 12 HYPERLINK l _Toc384471898 5.1傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471898 h 12 HYPERLI

4、NK l _Toc384471899 5.2傅里葉變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471899 h 13 HYPERLINK l _Toc384471900 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc384471900 h 14滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 PAGE 19傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換(binhun)的關(guān)系與應(yīng)用摘要(zhiyo)：傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)周期(zhuq)性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級(jí)數(shù)的極限形式，它也可以看作是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號(hào)領(lǐng)域的一種很重要的算法。傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成

5、信號(hào)。很多波形可以作為信號(hào)的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號(hào)的成分。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號(hào)處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對(duì)的是非周期性函數(shù)，它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加，存在相似的特性。 關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù)；傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform

6、can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal

7、 component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fiel

8、ds have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1緒論(xln)傅里葉級(jí)數(shù)是法

9、國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出來的，從而極大的推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理以及(yj)工程中都具有重要的應(yīng)用。積分變換起源于19世紀(jì)的運(yùn)算危機(jī)，英國著名的無線電工程師海維賽德（O .Heaviside）在用它求解電工學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域中的線性微分方程的過程中逐步形成一種所謂的符號(hào)法，后來符號(hào)法又演變成今天的積分變化法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)乘上一個(gè)(y )確定的二元函數(shù)，然后計(jì)算積分，即這樣變成了另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)，這里的二元函數(shù)是一個(gè)確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)，當(dāng)選取不同的積分域和核函數(shù)，就得到

10、不同名稱的積分變換。傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級(jí)數(shù)的極限形式，它也可以看作是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號(hào)領(lǐng)域的一種很重要的算法。要想了解傅里葉變換算法的內(nèi)涵，首先要了解傅里葉原理的內(nèi)涵。傅里葉原理表明：對(duì)于任何連續(xù)測(cè)量的數(shù)字信號(hào)，都可以用不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加來表示。傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào)。很多波形可以作為信號(hào)的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號(hào)的成分。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號(hào)處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期性函數(shù)

11、，傅里葉變換針對(duì)的是非周期性函數(shù)，它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加，存在相似的特性。 2傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)的概念2.1周期函數(shù)(zhu q hn sh)我們把凡是(fnsh)滿足以下關(guān)系式： （T為常數(shù)） （2.1.1）的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。周期定義：滿足式（1.1.1）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；一個(gè)常數(shù)以任何正數(shù)為周期?；救呛瘮?shù)系：按某一規(guī)律確定的函數(shù)序列稱為函數(shù)系。如下形式的函數(shù)系： 1， ， （2.1.2）稱為基本三角函數(shù)系。所有這些函數(shù)具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數(shù)）。通常這個(gè)周期命名為函數(shù)系的周期。所以

12、式（1.1.2）的三角函數(shù)系的周期為。2.2傅里葉級(jí)數(shù)的定義傅里葉級(jí)數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)周期性現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，其在理論和應(yīng)用上都有重要價(jià)值。2.2.1 三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學(xué)中，我們知道，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，而在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，一種標(biāo)準(zhǔn)而簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡(jiǎn)諧振動(dòng) ，可通過適當(dāng)(shdng)的變換為（1），將無窮多個(gè)如（1）式那樣的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加，便得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （2）如果(rgu)（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期(zhuq)為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復(fù)雜的周期為的函數(shù)

13、分解為簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，這對(duì)研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個(gè)周期為的函數(shù)表示成如(1)式那樣簡(jiǎn)單，標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個(gè)周期為T的函數(shù)表示成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加？設(shè)g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個(gè)問題就行了。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級(jí)數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級(jí)數(shù)(j sh) (4)為三角(snjio)級(jí)數(shù)，稱級(jí)數(shù)(4)的部分和 (5)為三角多項(xiàng)式，后面(hu mian)我們將看到，將常數(shù)項(xiàng)記為的形式，是為了使有統(tǒng)一的表達(dá)式。我們通過簡(jiǎn)單

14、的計(jì)算可知，三角函數(shù)系 (6)具有以下性質(zhì) (7) (8) (9) (10)即三角函數(shù)系（6）中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在上積分為0，我們稱這一性質(zhì)為三角函數(shù)系(1)的正交性。也稱(6)為正三角函數(shù)系。從后面的推導(dǎo)我們也看到，三角函數(shù)系(6)的正交性在三角級(jí)數(shù)研究中扮演了重要的角色。另外，我們還有 (11) 2.2.2周期為的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)能夠表示成三角級(jí)數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級(jí)數(shù)在上一致收斂，則有如下關(guān)系式： , n=0,1,2, (13a) , n=0,1,2, (13b)證明(zhngmng)：由定理?xiàng)l件，對(duì)（12）式逐項(xiàng)積分可得： = 由關(guān)系式知，上式右邊括號(hào)

15、(kuho)內(nèi)的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊(lingbin)（t為正整數(shù)），得 （14）由級(jí)數(shù)（12）一致收斂，可以推出級(jí)數(shù)（14）也一致收斂。現(xiàn)在對(duì)級(jí)數(shù)（14）逐項(xiàng)求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項(xiàng)積分外，其他各項(xiàng)積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項(xiàng)求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計(jì)算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作 這里(zhl)的“”表示上式右邊是左邊函數(shù)(hnsh)的傅里葉級(jí)數(shù)。2.2.3周期(zhuq)為的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以2為周期的函數(shù)，通過變量置換可以把變成以為周期的t的函數(shù).若

16、在上可積，則在上也可積，這時(shí)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式是 (1)其中 n=0,1,2 (2) n=1,2因?yàn)椋?。于是由?）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2 (4) , n=1,2這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，（3）式是的傅里葉級(jí)數(shù).2.2.4傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂性定理 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有(zhyu)有限個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有(zhyu)有限個(gè)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)； （3）在外是周期函數(shù)(zhu q hn sh)，其周期為2，則級(jí)數(shù) （1）證明=因?yàn)榧八?證畢例：試

17、將鋸齒波在區(qū)間上展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級(jí)數(shù)公式可得： （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此(ync)，所求級(jí)數(shù)為 （2）由于(yuy)=0是的連續(xù)點(diǎn)，所以上式兩邊可劃等號(hào)。事實(shí)上，也正是如此，可代入數(shù)字(shz)驗(yàn)證。而=是間斷點(diǎn)，由定義可知按收斂準(zhǔn)則，傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)處應(yīng)收斂到事實(shí)上，以=代入級(jí)數(shù)（2），得級(jí)數(shù)和為零。必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在實(shí)際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級(jí)數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。值得注意的是，單從的連續(xù)性考慮還不能保證傅里葉級(jí)數(shù)收斂。積分定理2

18、 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級(jí)數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。如果(rgu)原級(jí)數(shù)中，只要(zhyo)用代替(dit)公式（4）中的即可。3微分定理3 若在上連續(xù)，又絕對(duì)可積，則有 （6）其中 。利用求系數(shù)公式及分部積分，可以證明 （=0,1,2，） （=1,2,3，）如果，則的傅里葉級(jí)數(shù)可通過對(duì)的傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)而得，即 （7）微分與積分大不相同，例如考慮下列函數(shù)（鋸齒波）： 的傅里葉級(jí)數(shù)為 （9.3.7）對(duì)上式逐項(xiàng)微分得 于是得到不收斂的級(jí)數(shù)其次，再考慮三角波 它的傅里葉級(jí)數(shù)(j sh) 是一個(gè)收斂得相當(dāng)(xingdng)快的級(jí)

19、數(shù)，且在上一致(yzh)收斂。對(duì)上式逐項(xiàng)微分得 上式正是方波的傅里葉級(jí)數(shù)。事實(shí)上，三角波得導(dǎo)數(shù)正數(shù)方波。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個(gè)系數(shù)前卻添加了一個(gè)增長(zhǎng)因子，這就降低了收斂程度。所以上面第一個(gè)例子微分后得一發(fā)散級(jí)數(shù)。事實(shí)上，第一個(gè)例子中的級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。一般來說，微分使級(jí)數(shù)的收斂 程度降低。有時(shí)將可以逐項(xiàng)微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數(shù)的光滑程度可以從該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)上反映出來。一般而言，一個(gè)滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)。其傅里葉級(jí)數(shù)中的系數(shù)和隨著趨向于無窮大時(shí)，他們至少應(yīng)與（其中為與無關(guān)的常數(shù)）一樣快的趨向于零。如果函數(shù)包含一個(gè)或幾個(gè)間斷點(diǎn)，那么不

20、是就是，一般情況是二者都不能比更快的趨向于零。如果函數(shù)以及它的前（-1）階導(dǎo)數(shù)滿足狄利克雷條件，而且處處連續(xù)，那么隨著趨向于無窮大，的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)和至少應(yīng)與一樣快趨向于零。如果的階導(dǎo)數(shù)不處處連續(xù)，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快地趨向于零。因此，函數(shù)愈光滑，其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)收斂得越快，反之，只要考慮某函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的收斂快慢程度，就可以判斷該函數(shù)的光滑程度。3 傅里葉變換(binhun)的概念及性質(zhì)傅里葉變換是一種(y zhn)對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換，它通過特定形式的積分建立了函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。它既能簡(jiǎn)化計(jì)算，又具有明確的物理意義，因而在許多領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，如電力工

21、程、通信和控制領(lǐng)域以及其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域。3.1傅里葉變換(binhun)的概念傅里葉（Fourier）變換，簡(jiǎn)稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡(jiǎn)，變難為易的重要數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，它的理論與方法在數(shù)學(xué)的許多分支以及其他自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，都有著廣泛的應(yīng)用。若F(t)在上滿足以下條件：(1)在任一有限區(qū)間上滿足Dirchlet條件（即在任意有限區(qū)間上滿足：a連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；b只有有限個(gè)極值點(diǎn)）； (2) 在無限區(qū)間上絕對(duì)可積，那么在的連續(xù)點(diǎn)處有 由此定義 （3.1）稱為函數(shù)的傅里葉變換，記作為，即 （3.2）其中由(2.1)式定義，公式（2.2）稱為

22、的傅里葉逆變換。記為，即3.2傅立葉變換(binhun)的性質(zhì)1、共軛性質(zhì)(xngzh) 設(shè)，是的共軛函數(shù)(hnsh)，則=2、線性性質(zhì) 設(shè)則3、位移性質(zhì) 4傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系傅里葉級(jí)數(shù)是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換傅里葉級(jí)數(shù)是以三角函數(shù)為基對(duì)周期信號(hào)的無窮級(jí)數(shù)展開，如果把周期函數(shù)的周期取作無窮大，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)取極限即得到傅里葉變換。傅里葉變換是從傅里葉級(jí)數(shù)推演而來的，傅里葉級(jí)數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)即是它的頻譜函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)是周期信號(hào)的另一種時(shí)域的表達(dá)方式，也就是正交級(jí)數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換

23、就是完全的頻域分析5傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用5.1傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)方面計(jì)算無窮級(jí)數(shù)的和例如，設(shè)周期為2的某函數(shù)，其在一個(gè)周期上的表達(dá)式為 （由于是偶函數(shù)，所以它的傅里葉級(jí)數(shù)只有余弦項(xiàng) （=1,2,3，）因此(ync)，的傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)為 （令=,且利用(lyng)，所以 因此得 在物理方面為設(shè)計(jì)放大器提供依據(jù)例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對(duì)于矩形波其傅里葉展開式為其中系數(shù)和成正比，因此，隨著簡(jiǎn)諧次數(shù)的增高，幅度迅速減小。一般來說，在10次諧波以后，就認(rèn)為幅度已經(jīng)相當(dāng)小，可以略去不計(jì)。因此在設(shè)計(jì)矩形波放大器時(shí)，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的10倍。若掃描矩形波頻率為60H

24、z，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。電視機(jī)及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。5.2傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲結(jié)構(gòu)力學(xué)、海洋學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量傅里葉變換在求解微分方程中的應(yīng)用我們?cè)谘芯垦芯烤€性常系數(shù)偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應(yīng)用范圍(fnwi)包括求解無界區(qū)域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟：對(duì)定解問題(wnt)作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程（2）求解(qi ji)像函數(shù)（3）對(duì)像

25、函數(shù)作傅里葉逆變換，得所求問題的解例：對(duì)于任意，求下面方程的定解問題 （1）其中解：對(duì)方程（1）兩邊作傅里葉變換，可得： （2）顯然偏微分方程（1）已經(jīng)被轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程（3.2）。求解方程（2），可得：經(jīng)過傅里葉逆變換，可得：為了使的表達(dá)式比較簡(jiǎn)單明了，下面來化簡(jiǎn)上式可得：其中下面來求解 （其中a.0）假設(shè)(jish)且b0,令，則有其中(qzhng)表示在復(fù)平面(pngmin)的等直線，把轉(zhuǎn)化成實(shí)軸，則可計(jì)算，所以有所以 根據(jù)卷積原理，則偏微分方程（1）的解為 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實(shí)際上就是開始時(shí)使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題，解出這個(gè)常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。周期函數(shù)與離散頻譜眾所周知，一個(gè)諧波函數(shù)，是由振幅，相位和頻率三個(gè)參數(shù)唯一的確定了。對(duì)于周期為的周期函數(shù)，它可展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：對(duì)上式取傅