傅里葉級數(shù)與傅里葉變換關(guān)系與應(yīng)用(共19頁)

1、PAGE PAGE 論文(lnwn)題目 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系(gun x)與應(yīng)用 目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc384471886 摘要(zhiyo)： PAGEREF _Toc384471886 h 0 HYPERLINK l _Toc384471887 關(guān)鍵詞 PAGEREF _Toc384471887 h 0 HYPERLINK l _Toc384471888 Abstract PAGEREF _Toc384471888 h 0 HYPERLINK l _Toc384471889 1緒論 PAGEREF _Toc384471889 h

2、1 HYPERLINK l _Toc384471890 2傅里葉級數(shù)的概念 PAGEREF _Toc384471890 h 1 HYPERLINK l _Toc384471891 2.1周期函數(shù) PAGEREF _Toc384471891 h 2 HYPERLINK l _Toc384471892 2.2傅里葉級數(shù)的定義 PAGEREF _Toc384471892 h 2 HYPERLINK l _Toc384471893 3 傅里葉變換的概念及性質(zhì) PAGEREF _Toc384471893 h 10 HYPERLINK l _Toc384471894 3.1傅里葉變換的概念 PAGEREF

3、 _Toc384471894 h 10 HYPERLINK l _Toc384471895 3.2傅立葉變換的性質(zhì) PAGEREF _Toc384471895 h 11 HYPERLINK l _Toc384471896 4傅里葉變換與傅里葉級數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系 PAGEREF _Toc384471896 h 12 HYPERLINK l _Toc384471897 5傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471897 h 12 HYPERLINK l _Toc384471898 5.1傅里葉級數(shù)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471898 h 12 HYPERLI

4、NK l _Toc384471899 5.2傅里葉變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc384471899 h 13 HYPERLINK l _Toc384471900 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc384471900 h 14滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 PAGE 19傅里葉級數(shù)與傅里葉變換(binhun)的關(guān)系與應(yīng)用摘要(zhiyo)：傅里葉級數(shù)是對周期(zhuq)性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領(lǐng)域的一種很重要的算法。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成

5、信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質(zhì)上都是一種把信號表示成復(fù)正選信號的疊加，存在相似的特性。 關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform

6、can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal

7、 component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fiel

8、ds have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1緒論(xln)傅里葉級數(shù)是法

9、國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出來的，從而極大的推動了偏微分方程理論的發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理以及(yj)工程中都具有重要的應(yīng)用。積分變換起源于19世紀(jì)的運算危機，英國著名的無線電工程師海維賽德（O .Heaviside）在用它求解電工學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域中的線性微分方程的過程中逐步形成一種所謂的符號法，后來符號法又演變成今天的積分變化法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)乘上一個(y )確定的二元函數(shù)，然后計算積分，即這樣變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，這里的二元函數(shù)是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)，當(dāng)選取不同的積分域和核函數(shù)，就得到

10、不同名稱的積分變換。傅里葉級數(shù)對周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領(lǐng)域的一種很重要的算法。要想了解傅里葉變換算法的內(nèi)涵，首先要了解傅里葉原理的內(nèi)涵。傅里葉原理表明：對于任何連續(xù)測量的數(shù)字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)

11、，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質(zhì)上都是一種把信號表示成復(fù)正選信號的疊加，存在相似的特性。 2傅里葉級數(shù)(j sh)的概念2.1周期函數(shù)(zhu q hn sh)我們把凡是(fnsh)滿足以下關(guān)系式： （T為常數(shù)） （2.1.1）的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。周期定義：滿足式（1.1.1）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；一個常數(shù)以任何正數(shù)為周期?；救呛瘮?shù)系：按某一規(guī)律確定的函數(shù)序列稱為函數(shù)系。如下形式的函數(shù)系： 1， ， （2.1.2）稱為基本三角函數(shù)系。所有這些函數(shù)具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數(shù)）。通常這個周期命名為函數(shù)系的周期。所以

12、式（1.1.2）的三角函數(shù)系的周期為。2.2傅里葉級數(shù)的定義傅里葉級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項級數(shù)，對周期性現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，其在理論和應(yīng)用上都有重要價值。2.2.1 三角級數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學(xué)中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標(biāo)準(zhǔn)而簡單的簡諧振動可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當(dāng)(shdng)的變換為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果(rgu)（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期(zhuq)為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復(fù)雜的周期為的函數(shù)

13、分解為簡單標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個周期為的函數(shù)表示成如(1)式那樣簡單，標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個周期為T的函數(shù)表示成簡諧振動的疊加？設(shè)g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個問題就行了。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級數(shù)(j sh) (4)為三角(snjio)級數(shù)，稱級數(shù)(4)的部分和 (5)為三角多項式，后面(hu mian)我們將看到，將常數(shù)項記為的形式，是為了使有統(tǒng)一的表達(dá)式。我們通過簡單

14、的計算可知，三角函數(shù)系 (6)具有以下性質(zhì) (7) (8) (9) (10)即三角函數(shù)系（6）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在上積分為0，我們稱這一性質(zhì)為三角函數(shù)系(1)的正交性。也稱(6)為正三角函數(shù)系。從后面的推導(dǎo)我們也看到，三角函數(shù)系(6)的正交性在三角級數(shù)研究中扮演了重要的角色。另外，我們還有 (11) 2.2.2周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)函數(shù)能夠表示成三角級數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級數(shù)在上一致收斂，則有如下關(guān)系式： , n=0,1,2, (13a) , n=0,1,2, (13b)證明(zhngmng)：由定理條件，對（12）式逐項積分可得： = 由關(guān)系式知，上式右邊括號

15、(kuho)內(nèi)的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊(lingbin)（t為正整數(shù)），得 （14）由級數(shù)（12）一致收斂，可以推出級數(shù)（14）也一致收斂?，F(xiàn)在對級數(shù)（14）逐項求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外，其他各項積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù)，記作 這里(zhl)的“”表示上式右邊是左邊函數(shù)(hnsh)的傅里葉級數(shù)。2.2.3周期(zhuq)為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)是以2為周期的函數(shù)，通過變量置換可以把變成以為周期的t的函數(shù).若

16、在上可積，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是 (1)其中 n=0,1,2 (2) n=1,2因為，所以。于是由（1）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2 (4) , n=1,2這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，（3）式是的傅里葉級數(shù).2.2.4傅里葉級數(shù)的性質(zhì)收斂性定理 傅里葉級數(shù)的收斂準(zhǔn)則狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有(zhyu)有限個間斷點，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有(zhyu)有限個極大值點與極小值點； （3）在外是周期函數(shù)(zhu q hn sh)，其周期為2，則級數(shù) （1）證明=因為及所以 證畢例：試

17、將鋸齒波在區(qū)間上展開為傅里葉級數(shù)。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級數(shù)公式可得： （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此(ync)，所求級數(shù)為 （2）由于(yuy)=0是的連續(xù)點，所以上式兩邊可劃等號。事實上，也正是如此，可代入數(shù)字(shz)驗證。而=是間斷點，由定義可知按收斂準(zhǔn)則，傅里葉級數(shù)在間斷點處應(yīng)收斂到事實上，以=代入級數(shù)（2），得級數(shù)和為零。必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在實際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。值得注意的是，單從的連續(xù)性考慮還不能保證傅里葉級數(shù)收斂。積分定理2

18、 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。如果(rgu)原級數(shù)中，只要(zhyo)用代替(dit)公式（4）中的即可。3微分定理3 若在上連續(xù)，又絕對可積，則有 （6）其中 。利用求系數(shù)公式及分部積分，可以證明 （=0,1,2，） （=1,2,3，）如果，則的傅里葉級數(shù)可通過對的傅里葉級數(shù)進(jìn)行逐項求導(dǎo)而得，即 （7）微分與積分大不相同，例如考慮下列函數(shù)（鋸齒波）： 的傅里葉級數(shù)為 （9.3.7）對上式逐項微分得 于是得到不收斂的級數(shù)其次，再考慮三角波 它的傅里葉級數(shù)(j sh) 是一個收斂得相當(dāng)(xingdng)快的級

19、數(shù)，且在上一致(yzh)收斂。對上式逐項微分得 上式正是方波的傅里葉級數(shù)。事實上，三角波得導(dǎo)數(shù)正數(shù)方波。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個系數(shù)前卻添加了一個增長因子，這就降低了收斂程度。所以上面第一個例子微分后得一發(fā)散級數(shù)。事實上，第一個例子中的級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。一般來說，微分使級數(shù)的收斂 程度降低。有時將可以逐項微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數(shù)的光滑程度可以從該函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)上反映出來。一般而言，一個滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)。其傅里葉級數(shù)中的系數(shù)和隨著趨向于無窮大時，他們至少應(yīng)與（其中為與無關(guān)的常數(shù)）一樣快的趨向于零。如果函數(shù)包含一個或幾個間斷點，那么不

20、是就是，一般情況是二者都不能比更快的趨向于零。如果函數(shù)以及它的前（-1）階導(dǎo)數(shù)滿足狄利克雷條件，而且處處連續(xù)，那么隨著趨向于無窮大，的傅里葉級數(shù)的系數(shù)和至少應(yīng)與一樣快趨向于零。如果的階導(dǎo)數(shù)不處處連續(xù)，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快地趨向于零。因此，函數(shù)愈光滑，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)收斂得越快，反之，只要考慮某函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的收斂快慢程度，就可以判斷該函數(shù)的光滑程度。3 傅里葉變換(binhun)的概念及性質(zhì)傅里葉變換是一種(y zhn)對連續(xù)時間函數(shù)的積分變換，它通過特定形式的積分建立了函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。它既能簡化計算，又具有明確的物理意義，因而在許多領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，如電力工

21、程、通信和控制領(lǐng)域以及其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域。3.1傅里葉變換(binhun)的概念傅里葉（Fourier）變換，簡稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡，變難為易的重要數(shù)學(xué)運算工具，它的理論與方法在數(shù)學(xué)的許多分支以及其他自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，都有著廣泛的應(yīng)用。若F(t)在上滿足以下條件：(1)在任一有限區(qū)間上滿足Dirchlet條件（即在任意有限區(qū)間上滿足：a連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；b只有有限個極值點）； (2) 在無限區(qū)間上絕對可積，那么在的連續(xù)點處有 由此定義 （3.1）稱為函數(shù)的傅里葉變換，記作為，即 （3.2）其中由(2.1)式定義，公式（2.2）稱為

22、的傅里葉逆變換。記為，即3.2傅立葉變換(binhun)的性質(zhì)1、共軛性質(zhì)(xngzh) 設(shè)，是的共軛函數(shù)(hnsh)，則=2、線性性質(zhì) 設(shè)則3、位移性質(zhì) 4傅里葉變換與傅里葉級數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系傅里葉級數(shù)是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換傅里葉級數(shù)是以三角函數(shù)為基對周期信號的無窮級數(shù)展開，如果把周期函數(shù)的周期取作無窮大，對傅里葉級數(shù)取極限即得到傅里葉變換。傅里葉變換是從傅里葉級數(shù)推演而來的，傅里葉級數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對應(yīng)的傅里葉級數(shù)即是它的頻譜函數(shù)傅里葉級數(shù)是周期信號的另一種時域的表達(dá)方式，也就是正交級數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換

23、就是完全的頻域分析5傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用5.1傅里葉級數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)方面計算無窮級數(shù)的和例如，設(shè)周期為2的某函數(shù)，其在一個周期上的表達(dá)式為 （由于是偶函數(shù)，所以它的傅里葉級數(shù)只有余弦項 （=1,2,3，）因此(ync)，的傅里葉級數(shù)(j sh)為 （令=,且利用(lyng)，所以 因此得 在物理方面為設(shè)計放大器提供依據(jù)例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對于矩形波其傅里葉展開式為其中系數(shù)和成正比，因此，隨著簡諧次數(shù)的增高，幅度迅速減小。一般來說，在10次諧波以后，就認(rèn)為幅度已經(jīng)相當(dāng)小，可以略去不計。因此在設(shè)計矩形波放大器時，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的10倍。若掃描矩形波頻率為60H

24、z，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。電視機及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。5.2傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲結(jié)構(gòu)力學(xué)、海洋學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量傅里葉變換在求解微分方程中的應(yīng)用我們在研究研究線性常系數(shù)偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應(yīng)用范圍(fnwi)包括求解無界區(qū)域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟：對定解問題(wnt)作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程（2）求解(qi ji)像函數(shù)（3）對像

25、函數(shù)作傅里葉逆變換，得所求問題的解例：對于任意，求下面方程的定解問題 （1）其中解：對方程（1）兩邊作傅里葉變換，可得： （2）顯然偏微分方程（1）已經(jīng)被轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程（3.2）。求解方程（2），可得：經(jīng)過傅里葉逆變換，可得：為了使的表達(dá)式比較簡單明了，下面來化簡上式可得：其中下面來求解 （其中a.0）假設(shè)(jish)且b0,令，則有其中(qzhng)表示在復(fù)平面(pngmin)的等直線，把轉(zhuǎn)化成實軸，則可計算，所以有所以 根據(jù)卷積原理，則偏微分方程（1）的解為 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實際上就是開始時使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。周期函數(shù)與離散頻譜眾所周知，一個諧波函數(shù)，是由振幅，相位和頻率三個參數(shù)唯一的確定了。對于周期為的周期函數(shù)，它可展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：對上式取傅