三角函數(shù)向量復數(shù)

1、 WORD 40/40三角函數(shù)向量復數(shù)齊民友(大學數(shù)學與統(tǒng)計學院430072)1 三角函數(shù)新課標中有關三角函數(shù)的容分在數(shù)學4 ( 兩個項目:三角函數(shù),三角恒等變換) 和數(shù)學5 (解三角形) 中,共給了32 個學時. 其起點是初中已學過的銳角三角函數(shù), 講法上強調(diào)了利用向量方法, 發(fā)揮單位圓的作用,而且強調(diào)要淡化三角恒等變換的技巧性容. 這些都是很好的, 但我以為如果突出三角函數(shù)的最本質(zhì)容, 不但用不了這么多時間, 而且更有利于學生現(xiàn)在和以后的學習. 這個最本質(zhì)的容就是三角函數(shù)是勻速旋轉(zhuǎn)這個最簡單的圓周運動的本質(zhì)表現(xiàn).但是為了講清楚它, 教學次序要調(diào)整一下:先講平面向量(包括余弦定理, 這種講法

2、的數(shù)學上的根據(jù),我已在“前文”:“中學數(shù)學教學中的向量”(以下引用此文處較多, 均簡稱“前文”) 中作了詳細討論.勻速旋轉(zhuǎn)運動與其數(shù)學研究自古以來就是重大問題, 三角學源自天文學,因為天體運動的軌道在人類認識的早期就是圓, 天體則是球, 天體的運行必是勻速旋轉(zhuǎn). 這些命題被亞里斯多德當成了形而上學的根本原則, 卻是有人類認識的經(jīng)驗基礎的. 由此,首先要回答什么是角. 初中水平的幾何和三角學里講的角是兩條邊“夾”出來的. 因此無所謂始邊終邊,角的大小也是非負的,其圍在0 ,因此有銳角鈍角之分. 比更大的角有時稱為“優(yōu)角”,比0更小的角就談不上了. 到了高中,第一個最重要的概念是:角是“轉(zhuǎn)”出來的

3、:具有固定起點的平面有向線段(即平面向量, 向量起點如前文所述,一定在原點. 以下我們時?；煊糜邢蚓€段與向量二詞,應該不會有困難,) 繞此起點(原點) 在此平面旋轉(zhuǎn)就得到一個角. 有始邊, 終邊之分, 順時針方向轉(zhuǎn)的稱為負角, 逆時針方向轉(zhuǎn)的稱為正角. 所以刻劃一個平面向量a ,先要給定一個平面向量(例如i)作為參照( 即始邊) , 然后, 讓這個參照向量繞原點在此平面旋轉(zhuǎn)直到與a“重合”( 其實只需部分重合, 因為i與a 不一定同長) ,記旋轉(zhuǎn)角為,再令a 之長為r =| a | ,它對角的性質(zhì)無影響,所以我們以后總設r = 1 , 即只討論單位向量旋轉(zhuǎn)所成的角. 這個向量起點是(0 ,0)

4、 ,終點是, 于是我們就說角就是單位圓上的點在其圓周上旋轉(zhuǎn)所成的. 這種角習慣上稱為任意角. 學生們時常以為任意角就是可取任意值的角. 這些當然是對的,但又不止于此,還有以上的豐富容, 主要是有方向.既然如此, 要研究勻速旋轉(zhuǎn), 一方面可以研究角的變化,例如設角速度為,則有.是角的初始位置. 這一點不僅有數(shù)學意義, 更重要的是有物理意義. 課標上要求重視三角學與其它學科的聯(lián)系與結(jié)合是非常重要的. 而且依我之見, 最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系, 因為這可以說是幾乎全部高科技的基礎(或再加上“之一”二字, 以免有絕對化之嫌?) 而其出發(fā)點就在于此. 但這又是當前數(shù)學教學(不只是中學) 的薄弱環(huán)節(jié)

5、. 這一點以下再說. 我們下面常取=0,這純粹是為了數(shù)學上的方便.研究勻速旋轉(zhuǎn)最重要的是研究的變化,即是研究x和y作為的函數(shù). 于是我們給出定義當然如果不是單位向量，則令我們會越來越多地看到, 最好是不把正弦余弦看作兩個函數(shù), 它們是密切相關的. 所以最好是把二者合起來看成一個向量值函數(shù)這個概念雖然不難,但是中學生能不能接受,我沒有把握. 至少,好一點的學生是可以的, 而一旦接受了,會有很大方便.前文中我建議把這一部分(但一段暫時不講) 放在向量一章里講. 一方面, 可以對向量的方向有一個比較可操作的刻畫方法, 即用輻角刻畫. 這種刻畫方法即使在中學階段也十分重要.利用這種把正余弦定義為角的終

6、邊的坐標的方法,我們突破了初中講,時限于銳角的限制,說明這已是一個推廣,而為下面更進一步的展開作一鋪墊. 這樣定義正余弦更直接地是為介紹余弦定理作準備. 對余弦定理則要從如何計算向量或有向線段之長入手, 看出它是勻股定理的推廣, 而不是把它簡單地看成解三角形的工具. 解三角形只是余弦定理一個小小的應用:屠龍寶刀也可以用來殺雞! 以下就可以進入三角函數(shù)理論本身了. 但在這以前請讀者注意,我們多次強調(diào)了現(xiàn)在我們講的是平面向量. 因為三維空間的旋轉(zhuǎn)是一個非常困難的問題,對中學生是不宜去講的. 但是從左圖可以看到:如果把正方形先繞z軸轉(zhuǎn)得,再繞x 軸轉(zhuǎn)得. 但是若首先繞x軸轉(zhuǎn)得, 再繞z軸得到的(右)

7、 與前一個不同. 學生們自己用一本書在桌子邊上實驗一下即知. 這說明三維空間中旋轉(zhuǎn)的乘法( 連續(xù)施行兩次旋轉(zhuǎn)稱為它們的乘積) 是不服從交換律的.大概多數(shù)中學老師會告訴學生有不可交換的乘法這回事. 給一兩個例子即可使學生看到這一點, 不必等到系列3的選修課對稱與群再講了. 類似的例子在中學數(shù)學里多的是. 課標也把形成一定的數(shù)學視野作為高中階段學習數(shù)學的總目標的一部分. 不能一提到一個問題就一定要開一門課, 列一個章節(jié), 而可以隨時注意提醒一些重要概念,“隨風潛入夜, 潤物細無聲”可能是更易收效的.整個三角函數(shù)理論,其實可以歸結(jié)為4 點:(1)沙爾定理. 設角的始邊為,終邊為,如果再以為始邊旋轉(zhuǎn)到

8、終邊,則由旋轉(zhuǎn)到的角是我們在前文中已經(jīng)講到沙爾定理, 這里又是一個. 那么, 沙爾是誰?這個定理是怎么說的?沙爾 (Michel Chasles , 1793 - 1880) 是一位重要的法國數(shù)學家. 在19 世紀之始, 當?shù)芽▋旱慕馕鰩缀我呀?jīng) “占據(jù)了統(tǒng)治地位”時, 有一批幾何學家出來說, 解析幾何代數(shù)味太重, 不算幾何, 因此主復興綜合幾何. 這批幾何學家以蒙日為首, 沙爾也是一員大將. 言詞之爭是小事, 射影幾何學卻由此發(fā)展起來了,以至于大數(shù)學家凱萊甚至說: 幾何學就是射影幾何學. 沙爾在1852 年出版的高等幾何學一書中提出了以下的定理.沙爾定理: 設A ,B ,C 為直線上三點, 則

9、這就是“正宗”的沙爾定理. 不過因為它太簡單,只能當作一個練習題, 人們似乎也不太重視. 但是沙爾本人是充分了解其意義的, 其實質(zhì)意義就是,應該讓幾何量有正負號, 這樣許多定理的證明就不必分成許多特例來分別證明了. 因此, 沙爾把他的這個定理稱為幾何學的基本定理. 后來人們把沙爾定理也推廣到面積, 體積上去. 大數(shù)學家克萊因( Felix Klein , 愛爾朗根綱領的提出者, 而不是我們比較熟悉的寫了數(shù)學史巨著的作家克萊因:M. Kline ,名字拼法也不同) 寫過一本從高觀點看初等數(shù)學,全書分三卷,第二卷幾何學對這個觀點與其發(fā)展作了非常精彩的論述. 附帶提一句, 有向線段與有向角的概念也是

10、沙爾引入的. 這樣讀者可以理解,本文和前文都把一個定理冠以沙爾之名是有道理的.(2) 勾股定理.它的證明確實就是勾股定理: .初中生也知道這個公式, 但是現(xiàn)在講的是它的一個推廣:不限于銳角, 而是任意角. 它的幾何意義也很簡單:如果一個點(x ,y) 在單位圓上轉(zhuǎn),則轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去還在單位圓上.這兩個定理都簡單得不能再簡單了. 把它們當作基本的東西未免可笑. 但是, 它們確實起了基本作用. 說到底,三角函數(shù)就應該那么簡單. 過去把它搞得那么復雜是由于沒有認識到它的本質(zhì). 因此另兩個定理就是講的圓的基本性質(zhì)對稱性(3) 對稱定理.圓的最重要的性質(zhì)就是其對稱性. 圓有豐富的對稱性. 我們不必拘泥于中心對

11、稱, 軸對稱等等名詞. 總之,圓在許許多多的變換下仍變?yōu)閳A. 這就是對稱性. 我們不妨從單位圓上的一個向量, (即一個角或一個點) 開始, 而且讓它旋轉(zhuǎn). 首先是每次轉(zhuǎn)90(向左轉(zhuǎn)) 或90(向右轉(zhuǎn)) ,而且是連續(xù)不斷地施行這一變換(當然轉(zhuǎn)了360以后一定還原) :從變到.這里看起來有無窮多個旋轉(zhuǎn),其實都可以由向左轉(zhuǎn)90(即) 生成:向后轉(zhuǎn)即連續(xù)兩次向左轉(zhuǎn),向右轉(zhuǎn)則可以先作3次向左轉(zhuǎn)再反向轉(zhuǎn)360: .但是另一個重要變換- (對x 軸反射) 不能這樣生成. 所以我們把這個變換也列為基本的. 有了這兩個基本的變換以后,例如對y 軸的反射- 也可由- 再繼之以兩次向左轉(zhuǎn).總之,所有的都可以由和生成

12、. 這里我們用大寫字母T表示變換.變換是整個數(shù)學的核心概念之一. 在講三角函數(shù)時把它溶化進去是有好處的, 當然這不等于要對中學生用上一大堆記號. 而可以用兩個引理來概括我們所需的變換.引理1若單位圓上一點經(jīng)變?yōu)?則證明太簡單了, 畫一個圖就明白. 但是用向量來表述這個證明更加簡單. 點就是向量, 但是在旋轉(zhuǎn)后i變成為j , j 則變成- i. 所以變成. 此即所求證的結(jié)果.可能有讀者喜歡畫圖, 但是, 畫圖只能給出一個特例,通常會把畫在第一象限. 豈非還要對在二、三、四象限的情況分別再給以證明?應用了向量以與基底在旋轉(zhuǎn)后的情況, 這些麻煩就全消失了.在講復數(shù)后還可以給出另一個統(tǒng)一的十分簡單的證

13、明. 總之, 我們又一次看到, 抓住繞原點的旋轉(zhuǎn),總能得到優(yōu)美簡單的證明.引理2若單位圓上一點經(jīng)變?yōu)? 則仍在單位圓上,而且引理2與引理1大異其趣. 引理1 利用了圓在旋轉(zhuǎn)下的不變性(對稱性) , 引理2 則用到它對于軸反射的對稱性. 讀者會問, 圓還有對于其它直徑如軸的對稱性, 那里又會有什么新鮮事呢?看來不會再有本質(zhì)上不同的結(jié)果了. 所以, 引理1 ,2 也就夠用了. 所謂“誘導定理”其實就是反復應用這兩個引理. (也許還要加上一個周期性引理, 它雖然也可以從引理1 ,2 得出,但是周期性是一個重大問題,所以還是把它列出引理0 正余弦函數(shù)均以2為周期. )“誘導定理”至此就講完了. 可以由

14、它們得出許多公式,例如等等. 有時同一個結(jié)果可以有多種證法. 應該告訴學生,哪一種證法都可以, 無所謂哪一個更好. 用慣了就行. 重要之處在于. 一定要使學生們懂得,現(xiàn)在不再只是銳角了. 麻煩在于, 這些公式中有一些非常常見,如而且有時還有特殊的名稱, 如上式稱為“余角公式”. 如果每一個公式都要起一個名字, 都要讓學生自己推導, 那也太麻煩了. 所以課標里特別提到,的正余弦公式,我看就是要背!至于名稱,當然可以免了. 講上面這些引理的目的, 是請大家注意,它們都只是圓的對稱性的表現(xiàn). 必須抓住三角函數(shù)是為了刻畫勻速圓周運動的, 這樣就真正抓住了要領,就能以簡馭繁. 我們應該要求于學生的,只是

15、真正懂得那兩條引理, 并且逐步學著由它們推導出需用的公式, 最好背得幾個. 絕對應該避免把三角函數(shù)的理論變成一大堆公式!關于“誘導公式”一詞, 也想做一點翻案文章:究竟是什么公式“誘導”了什么公式?是“誘導”出更好的還是一般的?查一下外國文獻, 似乎從無“誘導公式”一說, 倒是有很多文獻說到了“reductionformula”(簡化公式) 3 . 據(jù)我回憶,在上世紀50 年代前,國教材說“簡化公式”的是有的, 意思也清楚.所以本文就大膽不用“誘導公式”這個詞了. 但是說 “對稱定理”肯定是不完美的,因為它遠沒有把圓的對稱性表現(xiàn)充分. 因為這里要求每次轉(zhuǎn)90, 轉(zhuǎn)了四次就周而復始,那么為什么不

16、能每次轉(zhuǎn)60呢?按道理說是可以的, 也可以得到一些公式,只不過公式太繁,用處不大. 等到講了復數(shù)以后,就一切都明白了.(4)加法定理它就是我們常說的“和角公式”與“差角公式”.把它們合稱為加法定理是否有點故弄玄虛?這一方面是由于加法定理一詞在數(shù)學中是很常用的. 許多重要的函數(shù)都有自己的加法定理, 就是把與,聯(lián)結(jié)起來的公式. 三角函數(shù)的加法定理只是其一例. 更重要的是, 它雖然包含了許多公式, 其處理方式都是一樣的, 而且其結(jié)果在引入復數(shù)以后又都與一個最重要的“加法定理”統(tǒng)一.所以我們主就只使用一個名詞逐漸地取代現(xiàn)在通用的許多名詞.加法定理仍然本質(zhì)地反映了圓的對稱性. 如果說,對稱定理回答了旋轉(zhuǎn)

17、90的問題,現(xiàn)在則要回答旋轉(zhuǎn)任意角度的問題. 為此, 取一個單位向量,為簡單計就把它放在x 軸上成為x 軸正方向的單位向量. 以為始邊轉(zhuǎn)一個角, 設終邊為, 當然,所以B 點仍在單位圓上. 現(xiàn)在以為始邊再轉(zhuǎn)一個角成為, C點當然仍在單位圓上. 單位圓轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去仍是單位圓, 這是它的不變性也就是它的對稱性. 不妨把這個說法與歐幾里德的說法作一點比較:歐幾里德的幾何原本就是以此性質(zhì)來刻畫圓的(圓上任一點到圓心距離一樣) ,我們只不過加上兩個新名詞: 不變性和對稱性. 這又是不是故弄玄虛?當然不是. 不變性與對稱性密切相關. 中學教材中講過不少對稱性:點對稱、軸對稱、球?qū)ΨQ等等. 但是要問對稱性的定義

18、, 則只能這樣說:若有一圖形G以與一類變換,使得G經(jīng)這一類中的任一變換后仍保持不變, 就說G關于這類變換具有對稱性. 所以圓對于繞圓心的旋轉(zhuǎn)具有旋轉(zhuǎn)對稱性.“不變性”、“對稱性”和“變換”一樣,都是整個數(shù)學科學的核心概念. 歐幾里德講圓只是接觸到對稱性的一個特例. 課標選修系列3 中的“對稱與群”這一專題則是為的初步介紹一般的對稱性概念的數(shù)學理論. 在講三角函數(shù)時當然不能去講群論, 但是我們使用變換, 不變, 對稱這些“詞”而不加任何進一步說明,正是為了使學生能或多或少“得其意”,為他們今后的發(fā)展作一點鋪墊. 下面回到正題.單位向量繞旋轉(zhuǎn)一個角而成, 再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)一個角終于成了.對此有兩種看法:

19、 一是經(jīng)旋轉(zhuǎn)角+達到 (沙爾定理) ,所以的輻角是+,而有另一種看法是是經(jīng)旋轉(zhuǎn)而得, 如果把看成新的x 軸,則記其上的單位向量為i, 并記新的y 軸上的單位向量為j,有但是i是旋轉(zhuǎn)了角而得的終邊,故j則是i再轉(zhuǎn)而得,也就是由OA 轉(zhuǎn)而得 (沙爾定理) ,故這里用了一次引理1. 以i, j之式代入(4) 即有比較(3) 與(5) 利用平面向量的基本定理,即有正余弦函數(shù)的加法定理. 對任意角+有這就是和角公式. 把換或- 并利用引理2 又可得到差角公式.這個證法優(yōu)于一般教材上的證法主要不在于它比較簡單而且一下子給出了4 個公式, 而在于它來自一個基本的思想,即三角函數(shù)的加法定理反映了圓的對稱性這一

20、基本性質(zhì),而且通過沙爾定理可以完全不受,在不同象限需要不同處理方法的影響. 我們在講沙爾定理時引述了沙爾本人對幾何量應該允許取不同符號的話. 實際上, 這個證明并不需要圖2 ,證明的文字中從來沒有“見圖2”的字樣.讀者不妨試一下,完全不看圖, 只看文字, 應該不太困難地看懂它,最多是有一些生疏.關于三角函數(shù)的論述基本已完成. 在教學過程中不費力氣就可以得到倍角公式, 和差化積, 等等. 下面對三角恒等變換的教學講一點看法. 主要的看法是, 目前的中學教學對此仍然看得過重, 我則主進一步淡化處理. 這一部分和證明幾何題一樣是很有吸引力的,對學生(特別是好學生) 的數(shù)學能力的培養(yǎng)有好處. 為什么還

21、要淡化,看一下歷史發(fā)展就明白了. 最簡單恒等變換如和角公式, 差角公式以與某些和差化積公式, 托勒密就已證明了.但是大家不把它們看作恒等變換, 因為托勒密是用的初等幾何方法( 主要依靠所謂托勒密定理: 圓接四邊形兩對邊乘積之和等于對角線乘積) , 而沒有用三角函數(shù)之間的關系式,直到16 - 17 世紀, 由于天文學和測量學計算的需要, 常遇到各種三角函數(shù)的關系問題. 一個著名的例子: 積化和差公式就被用來計算兩數(shù)乘積:設有A0 ,B0.首先找一個適當整數(shù)n(可正可負) 使. 對B 也一樣處理.因此可設0 A , B 0 的情況. 如果 0 這一條件的絕對重要性, 也就是超越了算術根來應用指數(shù)定

22、律(15) . 現(xiàn)在仔細分析上例.第二步( ) 由- 1/ 1 = 1/ - 1 雙方開方,涉與到在根號下出現(xiàn)負數(shù),因此超出了算術根概念. 當a= b 0 時才能得到,因為都是指算術根. 中- 1/ 1 不是正數(shù),想要開方就必須超越算術根的限制而進入復域. 注意到| - 1/ 1 | = 1 ,而有同理,沒有理由認為k 與l 一樣,因此開方后,只會得到只有當k 和l 具有一樣奇偶性時,二者才能等,否則二者符號相反. 因此, 第二步( ) 應改為= ,這里的錯誤在于只看了k , l 奇偶性一樣的情況.第三步( ) 應用了指數(shù)定律中的于是又違反了a, b均為正的要求, 所以又應該進入復域, 而把分

23、子分母分別寫為- 1 = ,1 = ,但不能保證有一樣奇偶性. 所以 =它可以有兩個值以與 ,視k為奇或偶而定. 同理右方也應該有兩個值與- .問題在于左右兩方的值如何配對. 這里有4 個配對方式: 左 ,右- ; 左- ,右; 左 ,右; 左- , 右- . 顯然若取配對,則左右雙方不能相等, 而取, 時, 總是得到i = i 或- i = - i. 總之不能一概地說= . 因此只能在, 兩種配對下得出i = i , i2 = i2即- 1 = - 1 而不會有問題. 若取配對則= 不能成立. 進入復域后,我們會發(fā)現(xiàn),有時同一個記號可能代表多個值, 這時兩個記號相等是什么意思?直截了當?shù)卣f,

24、“等號= ”是什么意思?是指對于一切配對方式都相等還是只對于某些配對方式才相等?連如此簡單的事情都會出毛病!歐拉的錯誤也可以這樣解釋.還有一個例子. 我們都習慣說許多中學教材也都這樣說. 可是, 在數(shù)學中有一條“公理”:如果兩個數(shù)A = B ,則凡遇到A 時一定可以用B 代替A ,因此,而有- 2 = 2. 讀者可以說, 您是在中先按分子作平方,再按分母開6 次方. 如果把次序倒過來: 情況又如何?分數(shù)冪的定義中沒有說是先開方再乘方或相反. 所以還是要進入復域而有它實際上只有三個值,即令k = 0 ,1 ,2 而有第二個恰好是- 2 ,它對應于k =1. 如果我們看就會有k=0時得算術根2 , k = 1 ,2 時則得到2,22 ,這里這時倒是可以說算術根是“最自然的”, 它對應于k = 0. 至于, 盡管我們以為是“習慣成自然”, 其實是很“不自然”的; 有什么理由特別鐘情于k = 1呢?至于為什么由會得出兩個不同結(jié)果讀者可以自己試著解釋.現(xiàn)在的中學教材中講到指數(shù)與冪時已經(jīng)規(guī)定了“底”應該為正. 當?shù)譨 為一般的復數(shù)時, 必須進入復域,而研究當a 為正數(shù)時,則因arga = 0 ,再取