N等分線段的尺規(guī)作圖法及證明教學(xué)提綱

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。N等分線段的尺規(guī)作圖法及證明-N等分線段的尺規(guī)作圖法及證明崔謐（安定區(qū)風(fēng)翔學(xué)區(qū)小西岔小學(xué)甘肅定西743000）幾何學(xué)從誕生到發(fā)展，再到逐步完善，除一條線段能被(n1且n為一正整數(shù))等分外，至今還沒(méi)有一種嚴(yán)格的幾何方法能將一條線段進(jìn)行任意N(N3且N為一正整數(shù))等分。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的探究，本人發(fā)現(xiàn)有一種嚴(yán)格的幾何方法定點(diǎn)定比交軌思想及方法可以將一條線段進(jìn)行任意N(N2且N為一正整數(shù))等分。該方法將以一條線段二等分的方法和思想作為主要思想和理論依據(jù)進(jìn)行論述。為了簡(jiǎn)單明了起見(jiàn)，先詳細(xì)介紹用該思想及方法將一條線段三等

2、分和五等分的作法及證明過(guò)程，然后以此作為主要思想和理論依據(jù)進(jìn)行論述任意N等分的作法及證明過(guò)程.將一條線段二等分的方法和思想是以已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),以相等的兩條線段為半徑作圓并確定其交點(diǎn)軌跡就是一條直線,然后再確定該軌跡(直線)與已知線段的交點(diǎn)，即已知線段的二分之一點(diǎn)。因?yàn)樵摱志€段的方法和思想在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)成為公認(rèn)的既定公理，無(wú)須再述。我們可以稱(chēng)其為一一交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為1:1）。依據(jù)以上二分線段的一一交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為1:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，用長(zhǎng)度比為2:1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點(diǎn)軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所

3、在的圓)與已知線段的交點(diǎn)，即已知線段的三分之二點(diǎn)。我們可以稱(chēng)其為二一交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為2:1）。具體作法和證明如下：作法：畫(huà)線段AB并求其中點(diǎn)C。用目測(cè)法在點(diǎn)C和B之間取一點(diǎn)D,使得線段AD的長(zhǎng)度大于線段AB的三分之二而小于線段AB的長(zhǎng)度，再求線段AD的中點(diǎn)E。以A為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以BC為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交于G點(diǎn)。（確保點(diǎn)F和G在線段AB的同側(cè)）連接FG并求其中垂線HI，延長(zhǎng)HI交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J。以J為圓心，以JF為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)K。以A為起點(diǎn),以KB為半徑在AB上

4、截取點(diǎn)L。則點(diǎn)L和K將線段AB三等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運(yùn)用方程求根驗(yàn)證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長(zhǎng)度為單位“1”，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點(diǎn)A(0,0),B(1,0),C為AB的中點(diǎn)，D為C和B之間任一點(diǎn)，這里取D(0)進(jìn)行驗(yàn)證，E為AD的中點(diǎn)。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓J過(guò)點(diǎn)K(0)。證：已知AB的長(zhǎng)度為單位“1”，點(diǎn)A(0,0),B(1,0),C為AB的中點(diǎn)，D為C和B之間任一點(diǎn)，這里取D(0)進(jìn)行驗(yàn)證，E為AD的中點(diǎn)。AE=,BC=,以A為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交

5、與點(diǎn)F；則點(diǎn)F的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，即：解得：x=,y=F點(diǎn)在x軸的下方F點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：F(-)以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以BC為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交于G點(diǎn);則點(diǎn)G的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，即：解得：x=,y=G點(diǎn)在x軸的下方G點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：G(,-)連接FG，求其中點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）又FG的斜率k=FG的中垂線HI的斜率=-=HI的直線方程為：y-=(x-)代入得：Y=x-又HI和x軸相交于點(diǎn)J,即有公共解：解得：解得：x=,y=0點(diǎn)J的坐標(biāo)為J（，0）以J為圓心，以JF為半徑確定的圓J的方程為：將點(diǎn)K(0)代入圓J的方程：中驗(yàn)證得：點(diǎn)K(0)就在圓J上

6、，即按上述作法確定的一條弧所在的圓J過(guò)點(diǎn)K(0)。該三分線段的二一交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為2:1）及作法正確。如下圖所示：依據(jù)以上二分線段的一一交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為1:1）和三分線段的二一交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為2:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，用長(zhǎng)度比為4:1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點(diǎn)軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所在的圓)與已知線段的交點(diǎn)，即已知線段的五分之四點(diǎn)。我們可以稱(chēng)其為四一交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為4:1）。具體作法和證明如下：作法：1.畫(huà)線段AB并求其四等分點(diǎn)C、D和E。2.用目測(cè)法在點(diǎn)E和B之間取一點(diǎn)F,使得線段AF的長(zhǎng)度大于線

7、段AB的五分之四而小于線段AB的長(zhǎng)度，再求線段AF的四等分點(diǎn)G、H和I。3.以A為圓心，以AF為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以AG的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)J；以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以BE為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交于K點(diǎn)。（確保點(diǎn)J和K在線段AB的同側(cè)）4.連接JK并求其中垂線LM，延長(zhǎng)LM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N。5.以N為圓心，以NJ為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)O。6.以A為起點(diǎn),以O(shè)B為半徑在AB上分別截取點(diǎn)P、Q和R。則點(diǎn)P、Q、R和O將線段AB五等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運(yùn)用方程求根驗(yàn)證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長(zhǎng)度為單位“1”，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段A

8、B所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點(diǎn)A(0,0),B(1,0),E為AB的四分之三點(diǎn)，F(xiàn)為E和B之間任一點(diǎn)，這里取F(0)進(jìn)行驗(yàn)證，G為AF的四分之一點(diǎn)。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓N過(guò)點(diǎn)O(0)。證：已知AB的長(zhǎng)度為單位“1”，點(diǎn)A(0,0),B(1,0),E為AB的四分之三點(diǎn)，F(xiàn)為E和B之間任一點(diǎn)，這里取F(0)進(jìn)行驗(yàn)證，G為AF的四分之一點(diǎn)。AG=,BE=,以A為圓心，以AF為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以AG的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)J；則點(diǎn)J的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，即：解得：x=,y=J點(diǎn)在x軸的下方J點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：J(,-)以A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，

9、以B為圓心，以BE為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)K；則點(diǎn)K的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，即：解得：x=,y=K點(diǎn)在x軸的下方K點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：K(,-)連接JK，求其中點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）又JK的斜率k=JK的中垂線LM的斜率=-=LM的直線方程為：y-=(x-)代入得：Y=x-又LM和x軸相交于點(diǎn)N,即有公共解：解得：x=,y=0點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（，0）以N為圓心，以NJ為半徑確定的圓N的方程為：將點(diǎn)O(0)代入圓N的方程：中驗(yàn)證得：點(diǎn)O(0)就在圓N上，即按上述作法確定的一條弧所在的圓N過(guò)點(diǎn)O(0)該五分線段的四一交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為4:1）及作法正確。如下圖所示：依據(jù)以上二分線段的一一

10、交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為1:1）、三分線段的二一交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為2:1）和五分線段的四一交軌（兩條半徑的長(zhǎng)度比為4:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，用長(zhǎng)度比為(N-1):1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點(diǎn)軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所在的圓)與已知線段的交點(diǎn)，即已知線段的N分之(N-1)點(diǎn)。我們可以稱(chēng)其為(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為(N-1):1）。具體作法和證明如下：作法：1.畫(huà)線段AB并求其(N-1)等分點(diǎn).。2.用目測(cè)法在點(diǎn)和B之間取一點(diǎn),使得線段A的長(zhǎng)度大于線段AB的N分之(N-1)而小于線段AB的長(zhǎng)度，再求線段A的(N-1)等分

11、點(diǎn).。3.以A為圓心，以A為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以A的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)J；以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以B為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交于K點(diǎn)。（確保點(diǎn)J和K在線段AB的同側(cè)）4.連接JK并求其中垂線LM，延長(zhǎng)LM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N。5.以N為圓心，以NJ為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)。6.以A為起點(diǎn),以B為半徑在AB上分別截取點(diǎn).和。則點(diǎn).和將線段ABN等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運(yùn)用方程求根驗(yàn)證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長(zhǎng)度為單位“1”，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點(diǎn)A(0,0),B(1,0),為AB的(N-1)

12、分之(N-2)點(diǎn)，為和B之間任一點(diǎn)，這里取(0)進(jìn)行驗(yàn)證，為A的(N-1)分之一點(diǎn)。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓N過(guò)點(diǎn)(0)。證：已知AB的長(zhǎng)度為單位“1”，點(diǎn)A(0,0),B(1,0),為AB的(N-1)分之(N-2)點(diǎn)，為和B之間任一點(diǎn)，這里取(0)進(jìn)行驗(yàn)證，為A的(N-1)分之一點(diǎn)。A=,B=,以A為圓心，以A為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以A的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)J；則點(diǎn)J的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，即：解得：x=,y=J點(diǎn)在x軸的下方J點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：J(,-)以A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，以B為圓心，以B為半徑畫(huà)弧，使兩條弧相交與點(diǎn)K；則點(diǎn)K的坐標(biāo)即為兩條弧的交點(diǎn)，

13、即：解得:x=,y=K點(diǎn)在x軸的下方K點(diǎn)的y值取其負(fù)值根，即：K,-連接JK，求其中點(diǎn)坐標(biāo)為，-又JK的斜率k=JK的中垂線LM的斜率=-=LM的直線方程為：y-=(x-)代入并化簡(jiǎn)得：y=N(N-2)x-又LM和x軸相交于點(diǎn)N,即有公共解：解得：x=,y=0點(diǎn)N的坐標(biāo)為N，0以N為圓心，以NJ為半徑確定的圓N的方程為：將點(diǎn)(0)代入圓N的方程：中驗(yàn)證得：點(diǎn)(0)就在圓N上，即按上述作法確定的一條弧所在的圓N過(guò)點(diǎn)(0)該N分線段的(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為(N-1):1）及作法正確。如下圖所示：綜上全篇所述不難得出這樣一個(gè)結(jié)論：用(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長(zhǎng)度比為(N-1):1）及方法可將任一條長(zhǎng)度為單位“1”的線段N等分，并且N等分