2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)3.2　第1課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第三章2022內(nèi)容索引010203必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破案例探究4 在抽象函數(shù)中構(gòu)造輔助函數(shù)必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)已知函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上 ;如果f(x)0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上;如果f(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則有f(x)0在a,b上恒成立.(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則

2、有f(x)0在a,b上恒成立.(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性,則f(x)在該區(qū)間上不變號(hào).單調(diào)遞增單調(diào)遞減常用結(jié)論可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)在(a,b)上f(x)0,且f(x)=0的根有有限個(gè),則f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減.()(2)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)0恒成立.()(4)在某區(qū)間上f(x)0(f(x)0,解得x1.故選D.4.(2020天津河北區(qū)線上測(cè)試,6)

3、已知函數(shù)f(x)=3x+2cos x,若a= ,b=f(2),c=f(log27),則a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.cabC.bacD.bca答案 D 解析 由題意,得f(x)=3-2sin x,所以f(x)在R上恒為正,所以f(x)是R上的增函數(shù).又因?yàn)?=log24log273 ,所以bc0或f(x)0,討論函數(shù)f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性. (2)當(dāng)a1時(shí),g(x)是二次函數(shù),首先討論f(x)=0是否有實(shí)數(shù)根,方程g(x)=0對(duì)應(yīng)的=4(a-1)(3a-1).由f(x)0,可得0 xx2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+)上單調(diào)遞增; 由f

4、(x)0,可得x1x1時(shí),有x1+x20且x1x20,此時(shí)x200,可得0 xx1,所以f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增;由f(x)x1,所以f(x)在(x1,+)上單調(diào)遞減.解題心得對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,常見的分類討論點(diǎn)按討論的先后順序有以下三個(gè):分類討論點(diǎn)1:求導(dǎo)后,考慮f(x)=0是否有實(shí)數(shù)根,從而引起分類討論;分類討論點(diǎn)2:求導(dǎo)后,f(x)=0有實(shí)數(shù)根,但不清楚f(x)=0的實(shí)數(shù)根是否落在定義域內(nèi),從而引起分類討論;分類討論點(diǎn)3:求導(dǎo)后,f(x)=0有實(shí)數(shù)根,f(x)=0的實(shí)數(shù)根也落在定義域內(nèi),但不清楚這些實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系,從而引起分類討論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020全國(guó)2,文21

5、)已知函數(shù)f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)設(shè)a0,討論函數(shù)解 設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2ln x-2x+1-c,(1)當(dāng)0 x0;當(dāng)x1時(shí),h(x)1,f(0)=2 020,則不等式exf(x)ex+2 019的解集為()A.(-,0) B.(-,0)(2 019,+) C.(2 019,+) D.(0,+)答案 (1)B(2)D (2)設(shè)g(x)=exf(x)-ex,則g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.f(x)+f(x)1,ex0,g(x)=exf(x)+f(x)-10,g(x)是R上的增

6、函數(shù).又g(0)=f(0)-1=2 019,g(x)2 019的解集為(0,+),即不等式exf(x)ex+2 019的解集為(0,+).故選D.解題心得利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性比較大小或解不等式的問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)設(shè)f(x),g(x)在a,b上可導(dǎo),且f(x)g(x),則當(dāng)axg(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)(2)(2020山東煙臺(tái)模擬,16)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x),則不等式ex-1f(x)g(x),f(x)

7、-g(x)0.f(x)-g(x)在a,b上單調(diào)遞增.f(a)-g(a)g(x)+f(a).考向2已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例4】 已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x.若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在1,4上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解題心得利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題的處理方法(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間.方法一:轉(zhuǎn)化為“f(x)0(0(或f(x)0)成立”.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減).方法一:轉(zhuǎn)化為“f(x)0(0)在區(qū)間D上恒成立”;方法二:轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”.變式發(fā)散

8、1將例4中的“在1,4上單調(diào)遞減”改為“存在單調(diào)遞減區(qū)間”,其他不變.答案 (-1,+) 變式發(fā)散2例4中的已知條件不變,把后面的問(wèn)題改為:討論函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性.答案 (1)C(2)C案例探究4 在抽象函數(shù)中構(gòu)造輔助函數(shù)在抽象函數(shù)中如何構(gòu)造輔助函數(shù)閱讀下列四個(gè)在抽象函數(shù)中構(gòu)造輔助函數(shù),利用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的案例,思考如何構(gòu)造輔助函數(shù)?你能不能從具體的實(shí)例中抽象出構(gòu)造輔助函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)論.【例1】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x0時(shí), f(x)+xf(x) 0成立的x的取值范圍是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(

9、-1,0)D.(0,1)(1,+)答案B解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x).當(dāng)x0時(shí),F(x)=f(x)+xf(x)0,F(x)單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(-1)=0,所以F(-1)=0,所以當(dāng)-1x0時(shí),F(x)0,所以當(dāng)-1x0.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以F(x)=xf(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)x1時(shí),F(x)0,所以當(dāng)x1時(shí),f(x)0.綜上可知,f(x)0的解集為(-1,0)(1,+).故選B.【例2】已知函數(shù)f(x)滿足:f(x)+2f(x)0,則下列不等式成立的是()答案A【例3】已知f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)ef(0)B.f(1)=ef(0)C.f(1)ef(0)D.f(1)與

10、ef(0)的大小不確定答案A答案A 數(shù)學(xué)抽象的思維過(guò)程仔細(xì)觀察和思考例1、例2的解法,它們有一個(gè)共同特點(diǎn):采用導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法則,即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).例3和例4的解法,它們也有一個(gè)共同點(diǎn):采用導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法則,即 (g(x)0).由此可見,對(duì)于含有f(x)和f(x)的不等式,將不等式的右邊化為0,若左邊是u(x)f(x)+v(x)f(x)的形式,其中u(x)和v(x)為常見的變量或常量,則此時(shí)用導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法則;若左邊是u(x)f(x)-v(x)f(x)的形式,則此時(shí)用導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法則.在例1中,f(x)+xf(x)0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法則可以看出f(x)的導(dǎo)

11、數(shù)為f(x),2的導(dǎo)數(shù)為1顯然不成立,則不等式兩邊一定約去了一個(gè)不為0的變量,則猜想到在例3中,由f(x)f(x),得f(x)-f(x)f(x)tan x,得f(x)cos x-f(x)sin x0,且sin x0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法則可以看出f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),sin x的導(dǎo)數(shù)為cos x,從而構(gòu)造出函數(shù)F(x)= .數(shù)學(xué)抽象的結(jié)論根據(jù)題設(shè)條件,并借助初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則,相應(yīng)地構(gòu)造函數(shù)如下.(1)對(duì)于不等式f(x)k(k0),構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx+b.(2)對(duì)于不等式xf(x)+f(x)0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x).(6)對(duì)于不等式f(x)+f(x)0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x).(8)對(duì)于不等式f(x)+kf(x)0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ekxf(x).(9)對(duì)于不等式f(x)+2xf(x