7數(shù)字信號處理4課件

1、量。總之，多采樣率的應用是數(shù)字信號處理中的重要內7.6采樣率轉換濾波器多采樣率信號處理在前面的討論中都認為采樣頻率fs是不變的，但在實際應用中，會遇到要求數(shù)字系統(tǒng)的采樣率轉換的問題。例如在數(shù)字電話系統(tǒng)中傳輸?shù)募扔姓Z音信號也有傳真信號；即使對同一信號，也可以針對不同數(shù)據(jù)段，采用不同的采樣率，使得待處理信號既符合采樣定理又可減少數(shù)據(jù)容。 7.6.1、采樣率降低信號的抽取(減采樣)降低采樣率的最簡單的方法是將x(n)中的每M點中抽取一點，形成新的減采樣序列x1(n)。即(7.6.-1)如圖7.6.-1所示是降低序列x(n)采樣率的示意圖 0 0 0 x1(n)x(n)p(n)nnn若x(n)的采樣周

2、期為T，則經(jīng)M倍抽取后x1(n)的采樣周期為T1。二者的關系為(7.6.-2)x1(n)的采樣頻率fs1為(7.6.-3)T1 =MT fs1= 1/T1=1/MT = fs/M 則x1(n)的傅里葉變換為x(n)的傅里葉變換為(7.6.-4)式中 r=i+kM (7.6.-5)由上式可認為X1(ej)是X(j)按=T作尺度變換，并按2 /T1整數(shù)倍移位組成的。x(n)的數(shù)字角頻率為，則x1(n)的數(shù)字角頻率為1=/M，其頻響函數(shù)還可表示為(7.6.-6)是周期為M個采其中樣的周期脈沖序列的傅氏級數(shù)表示。 從序列的尺度變換的角度看，x1(n)是x(n)的壓縮(M倍)， 則X1(ej)應是X(e

3、j)的擴展(M倍)，當然從減采樣的應用角度，還要更詳細的討論兩者頻域之間的關系。x(n)頻譜的數(shù)字(歸一化)角頻率為=T = /fs，且X(ej)= X(ejT)是以s=2 fs為周期的周期函數(shù)，對應的數(shù)字周期頻率為2 ，而X1(ej)是以2/M的整數(shù)倍周期延拓。 /M 為零，采樣率降低M倍不會引起混疊；若X(ej)若x(n)頻譜X(ej)的非零值區(qū)為 /M， X(ej)在不滿足這一條件，降低采樣率就會產(chǎn)生混疊。X(ej)的非零值區(qū)為 /2，x1(n)的M=2、M=3時的情況如圖7.6.-2所示。 X(j)0mm1X(j)0mm10X(ej) m =m T m 22 =T1/T0X1(ej)=

4、 X1(ejT)1/MT2/ T14/ T1=2/ T2/ T1 =TM=2000X1(ej)= X1(ejT)1/MT24/ T1=2/ T2 1=T1M=2M=3M=3 1=T1 1=T12222低通對x(n)的頻譜X(ej)先進行抗混疊濾波，提取出帶寬為了利用采樣率降低后無混疊的頻譜部分，可以用理想程如圖7.6.-3所示。為/M的所需信號，再通過只保留濾波器輸出第M個采樣點(降低采樣率)，形成抽取序列y(n)。上述實現(xiàn)過抽取器y(m)v(n)h(n)x(n)圖7.6.-3 減采樣實現(xiàn)M圖中M 表示抽樣率降低M倍的抽取，也稱減采樣。其中理想低通h(n)的頻率特性為（7.6.-7）實現(xiàn)采樣率

5、降低M =4倍的x(n)、h(n)、v(n)、y(n)的頻譜如圖7.6.-4所示。0 x2X(ej)0000圖4X(ej)H(ej)V(ej)Y(ej) x2 x2 x2 y842 x/M/M其中x(n)、h(n)、v(n)頻譜的數(shù)字頻率取為x， y(n)頻這種方法是由高頻分量的損失，避免減采樣的頻譜混疊，在Y(ej)保留了X(ej)中的低頻部分，可由Y(ej)恢復X(ej)的低頻部分。譜的數(shù)字頻率取為y，y是減采樣(M =4)后的數(shù)字頻率。圖7.6-3濾波器輸出的v(n)為（7.6.-8）對應的z變換為（7.6.-9）抽取器的輸出y(n)為（7.6.-10a）V(z)= H(z) X(z)

6、y(n)= v(Mn)= 由y(n)的z變換，可以得到y(tǒng)(n)與x(n)頻譜之間的關系，即（ 7.6.-11）將代入上式（7.6.-12）（7.6.-13）令WM = ej2/M，以及V(z) =H(z) X(z) ，則令相對X(ej)的數(shù)字頻率取為x，相對Y(ej)的數(shù)字頻率取為y，且(7.6.-14)得到Y(ej)與X(ej)的頻域關系為這是M個頻段信號相加(混疊)的結果，即(7.6.-15)(7.6.-16)y =Ty=2 f / f y= 2 f /( fx /M) =2 M f / f x=Mx 上式表明若實際的h(n) H(e j)是非理想的低通，其阻帶的衰減不是無限大，總會有一定

7、的混疊失真。若其余均為零。即當H(ej)非常逼近理想低通，X(ej)的=/M的范圍近似為零，那么上式中除了i=0項，頻譜限制在x/M之內，上式可表示為(7.6.-17)0y 或0 x /Mh(n) H(e j)作為抗混疊濾波，能夠使X(ej)的頻譜在L-1個零值點，即7.6.2、采樣率提高信號的整數(shù)倍內插提高序列采樣率也稱增采樣，要使序列x(n)采樣率提高整數(shù)L倍，最簡單的方法是對x(n)每相鄰兩點之間內插若L=2得到如圖7.6-5b所示w(n)， y(n)。(7.6.-18)0 0 若x(n)的采樣周期為T=1/fs，則采樣率提高L倍后w(n)的周期為T2，二者的關系為T2=T/L新的采樣頻

8、率x(n)w(n)nnfs2 =L fs(7.6.-20)(7.6.-19)x(n)、w(n)（L=2）的頻譜分別如圖7.6-6a、b所示。w(n)實際是x(n)的尺度變換，所以w(n)的頻譜(7.6.-21)=X(ejL) 0ab0X(ej) x =T 2 =TL 2A2/L/L4/L /L4/L與減采樣相似，由序列的尺度看，w(n)是x(n)的擴展(L倍)，則W(ej)是X(ej)的壓縮(L倍)，從增采樣應用的角度，則需要更詳細討論兩者頻域之間的關系。以2/L,4/L,為中心的諧波，這些是原采樣頻x(n)頻譜歸一化頻率記為x，周期為2，則w的周期為2/L。所以插值后，W(ej)是以2/L周

9、期重復，即在x的一個周期內不僅有基帶(/L/L)頻率，還有譜的鏡像，有L-1個。為了濾除多余的L-1個鏡像頻譜，只提取基帶信息，要讓插值序列w(n)再經(jīng)如圖6b的虛框所示的理想低通濾波，得到如圖7.6-6c所示的頻譜(其中w= y=L x)，對應的序列y(n)如圖7.6-5c所示。bc0 0 /L /L/L /L2/L 4/L4/LA w =LT y = w =LT 0 0 0 x(n)w(n)y(n)nnn采樣率提高的實現(xiàn)過程如圖所示，L表示采樣率提高L倍。增采樣實現(xiàn)插值器為從 中提取 ，圖中的h(n)對應的低通應逼近理想濾波器特性 y(n)w(n)h(n)x(n)L則(7.6-23)而因此

10、，為了使y(0)= x(0)，圖7低通的增益 A= L。L/M。以上討論不論抽取還是插值，采樣率的改變均為整數(shù)比。若將二者結合起來，可以使采樣率的改變?yōu)榉钦麛?shù)因子 根據(jù)上面討論的方法，對給定的序列x(n)作采樣率為 L/M的變換，可以用級聯(lián)的方法，如圖a所示先作M 倍抽取再作L倍的插值:抽取插值圖8a抽取與插值的級聯(lián)實現(xiàn)7.6.3、抽取與插值結合采樣率按L/M變化y(n)w(n)x(n)v(n)h1(n)h2(n)LMfsfs /M Lfs /M 或如圖b所示先作L倍的插值再作M倍抽取。以將兩個低通合二為一。 圖8b所示的方法更合適，而實際實現(xiàn)時，如圖8c所示可通常抽取減少x(n)的數(shù)據(jù)點，會

11、產(chǎn)生信息的損失，所以抽取插值圖8b 插值與抽取的級聯(lián)實現(xiàn)y(n)w(n)x(n)v(n)h1(n)h2(n)LMfsLfsLfs /M 圖7.6-8c 插值與抽取的級聯(lián)實現(xiàn)序列的有效采樣周期為T1=TL/M。合理選擇L與M，如圖7.6-8c所示可以將兩個低通合二為一。此時輸出可以接近所要求的采樣周期比。若M L，采樣周期增加，若M L， /M是主截止頻率，采樣率減小。若x(n)的fs是奈奎斯特頻率，y(n)是原帶限信號經(jīng)低通濾波后的信號。反之若 M L)，所以其截止頻率為/3、增益為2；此濾波 =T 圖9c0 W(ej) 2/ L4/ L/ L4/ L/ LL =21/TM =3H(ej) 2

12、 =T L2/M圖9d圖7.6-9e是濾波器的輸出v(n)頻譜； 0圖9cW(ej)1/T =T 2/ L4/ L=2 / LL=24/ L/ L0H(ej)2LM=3 =T 2/ Mc=/ M0圖9eV(ej)2L/T =T L=2/ L/M = /3如果濾波器的截止頻率不是/3而是/2 ，圖中的陰影區(qū)正是頻譜混疊部分。圖7.6-9f是經(jīng)抽取(M=3)后的輸出y(n)的頻譜，但用的數(shù)字頻率是y=2f M/Lfs =xM/L。0圖9eV(ej)2L/TL=2/ L/M = /30圖9f =TM/L Y(ej)L/TM22M=3效頻帶的最高頻率為fm，若采樣頻率fs 2 fm，應不失7.6.4、

13、采樣率轉換技術的應用采樣率轉換技術也稱過采樣技術既可以用于不同速率的信號處理，也可以應用于A/D、D/A轉換器。目的是將模擬濾波器的部分指標由數(shù)字濾波器承擔，使A/D前的抗混疊濾波器及D/A后的平滑濾波器容易實現(xiàn)。待處理信號通常為模擬信號，若語音、圖像等，設其有真的恢復有效頻帶的信息。從理論上說一般信號頻譜的頻帶很寬，遠不止fm，按fs過渡帶的，如圖7.6-10所示，1，除此之外為零。而實際濾波器的衰減特性是有一定的頻率采樣后的頻譜一定會產(chǎn)生混疊。為了提取有效頻帶內的信號，通常在A/D轉換前加抗混疊濾波器?？够殳B濾波器的理想指標是在小于fm的頻率范圍內的增益為0過渡帶在fm與fs /2之間。圖

14、7.6-10抗混疊濾波器的振幅特性fs /2fmfH(f )由圖可見fm越靠近fs /2過渡帶越窄，對實際濾波器的要求越高。所以通常采樣頻率 fs 要大于fm。且fs越高，濾波器的實現(xiàn)越容易。不過fs越高，單位時間內采樣數(shù)據(jù)越多，對A/D的性能要求越高，對后續(xù)數(shù)字系統(tǒng)的運算速度也要求越高。為了既降低實際濾波器的要求，又克服頻譜混疊效應，可以利用采樣率轉換技術。圖7.6-11過采樣A/D轉換器模擬抗混疊濾波A/D轉換器抽取器數(shù)字低通圖7.6-11為利用過采樣技術的A/D轉換器原理框圖。在這個系統(tǒng)中， fs遠遠大于fm，因此降低了對抗混疊x(t)x(n)濾波器的要求。然后利用M倍的抽取器將采樣頻率

15、降下來，合理設計數(shù)字低通濾波器，可以使 fs 略大于2 fm。fsfsMD/A轉換器在將采樣信號恢復為模擬信號時，經(jīng)零階保持器輸出的信號具有階梯形狀，這是因為頻譜含有鏡像頻率分量。所以在D/A轉換器后面的平滑濾波器，實質是一個抗鏡像頻率的濾波器。其性能指標與圖7.6-10抗混疊濾波器的振幅特性相似，是以fs /2為阻帶截止頻率，fm是信號的最高頻率。當fm與fs/2接近時，實現(xiàn)這樣的濾波器成本很高。當采用如圖7.6-12所示的處理系統(tǒng)，可以達到既滿足性能指標，又經(jīng)濟實惠的目的。在這一系統(tǒng)中，通過內插器提高了采樣頻率，加寬了fm與fs/2之間的過渡帶，使平滑濾波器的實現(xiàn)容易。圖7.6-12過采樣

16、D/A轉換器平滑濾波D/A轉換器內插器數(shù)字低通x(t)x(n)Lfsfs1、IIR DF可以用較少階數(shù)獲得很高的選擇性，所用存儲單元少，運算次數(shù)少，經(jīng)濟且效率高。但其高效是由相位的非線性為代價的，選擇性越好（如橢圓7.7 IIR DF與FIR DF比較一、性能濾波器）相位特性越差。2、FIR DF可以得到嚴格的線性相位，但要獲得一定的選擇性，就要用較多的存儲器和較長的運算，成本較高，信號延時也較大。不過這些缺點是相對非線性相的要求， IIR DF必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，同樣位的IIR DF而言，如果具有相同的選擇性和線性相位要大大增加IIR DF的階數(shù)和復雜性。所以若相位要求嚴格一點，F(xiàn)IR DF不僅在性能且在經(jīng)濟上都優(yōu)于IIRDF。1、IIR DF采用的是遞歸型，極點必須在單位圓內，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。在運算過程中的四舍五入處理有時會引起振蕩，存在不穩(wěn)定問題。2、FIR DF采用的是非遞歸型，無論從理論上和實際的有限精度運算中都不存在穩(wěn)定性問題。FIR DF還有FFT等快速算法，在相同階數(shù)條件下，運算速度快的多。二、結構1、IIR DF可以借助AF的成果，一般由有效的封閉函數(shù)的設計公式、曲線、圖表等可供計算、查找。設計工作量較小，但主要用于具有片段常數(shù)特性的濾波器。2、FIR DF一般沒有封閉函數(shù)的設計公式，只有計算程序可用，對計算工具要求