3.1導(dǎo)數(shù)的概念教案

1、3.1導(dǎo)數(shù)的概念教案3.1導(dǎo)數(shù)的概念教案3.1導(dǎo)數(shù)的概念教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 2017-2018 學(xué)年 第一學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時間第周第周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題3.1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的1.理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義。2.理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件教學(xué)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義教學(xué)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)用具備 注復(fù)習(xí)檢查引入新課新授課幾何學(xué)中的切線斜率和力學(xué)中變速直線運(yùn)動物體的瞬時速度，

2、這都是我們已學(xué)過的知識，這里，我們將用函數(shù)極限的概念來精確描述它們.切線斜率 問題：已知曲線方程為，要確定過曲線上點(diǎn)處的切線斜率. 解 建立直角坐標(biāo)系，在曲線上取兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線叫做曲線的割線，當(dāng)時，點(diǎn)沿著曲線趨向于點(diǎn)，割線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動并趨向于極限位置直線，直線叫做曲線 在點(diǎn)的切線，割線的傾角為，切線傾角為，割線的斜率為 (1)當(dāng)時，割線的斜率的極限就為切線的斜率 (2)圖3-1-1變速直線運(yùn)動物體的速度問題：已知物體作變速直線運(yùn)動，運(yùn)動方程為，要確定該物體在時刻的運(yùn)動速度. 解 可取鄰近于時刻的時刻，在時間內(nèi)，物體走過的路程為物體運(yùn)動的平均速度為 若時間間隔較短，比值可用來說明動點(diǎn)在時刻的近似

3、速度，顯然，越小，近似程度越好，令，平均速度的極限就是動點(diǎn)在時刻的速度 極限值叫做動點(diǎn)在時刻的（瞬時）速度.導(dǎo)數(shù)的定義由以上討論知，變速直線運(yùn)動的速度和曲線切線的斜率都?xì)w為一個數(shù)學(xué)形式 （3）由它們在數(shù)量關(guān)系上的共性，就得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念.定義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)在處有增量時，相應(yīng)的函數(shù)有增量，如果極限存在，則稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即 （4）如果極限不存在，就說函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).若令，則（4）式又可記作 （5）如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).對任意都對應(yīng)著的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作由式（4）得 （

4、6）導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)，而是在處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)在點(diǎn)處的值.例1 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解 例2 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 解 將換成得 即 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 類似可以得出.左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù) .定理3-1-1 函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等. 即若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且、都存在，則在閉區(qū)間上可導(dǎo). 例4 設(shè)函數(shù)試確定、的值，使在點(diǎn)處可導(dǎo).解 因為可導(dǎo)一定連續(xù)，所以在處也是連續(xù)的.由于 要使在點(diǎn)處連續(xù)，必須有或又 要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，必須，即.故當(dāng)時，在點(diǎn)處可導(dǎo).可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理3-1-2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).若函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則有所以，函數(shù)在點(diǎn)處連

5、續(xù). 故可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).例5 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解 因為 所以不存在. 即函數(shù)在處不可導(dǎo)，但是連續(xù). 故連續(xù)函數(shù)不一定是可導(dǎo)的.導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線問題的討論知（見圖3-1-1），函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 曲線在點(diǎn)處的法線方程為 (1)如果，則曲線在點(diǎn)處有垂直于軸的切線；(2)如果，則曲線在點(diǎn)處有平行于軸的切線. 例6 求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為 切線方程為 即法線的斜率為 法線方程為 即練習(xí)1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)2求拋物線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.3. 討論函數(shù)在處是否可導(dǎo).三、小結(jié)理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義，理