2.1被控過程的數(shù)學(xué)模型

1、 被控過程的數(shù)學(xué)模型本章要點(diǎn)1）掌握被控過程機(jī)理建模的方法與步驟； 2）熟悉被控過程的自衡和非自衡特性； 3）熟悉單容過程和多容過程的階躍響應(yīng)曲線及解析表達(dá)式； 4）重點(diǎn)掌握被控過程基于階躍響應(yīng)的建模步驟、作圖方法和數(shù)據(jù)處理； 5）熟悉被控過程的一次完成最小二乘建模方法，學(xué)會用MATLAB語言編寫算法程序。 6）熟悉被控過程的遞推最小二乘建模方法，學(xué)會用MATLAB語言編寫算法程序。 2.1過程建模的基本概念2.1.1 被控過程的數(shù)學(xué)模型及其作用 被控過程的數(shù)學(xué)模型是指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述其中：過程的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為通道控制作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為控制

2、通道干擾作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為干擾通道過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和 過程的數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型被控過程的數(shù)學(xué)模型在過程控制中的重要性全面、深入地掌握被控過程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要條件 。通過對生產(chǎn)工藝過程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作提供指導(dǎo)。利用數(shù)學(xué)模型可以及時發(fā)現(xiàn)工業(yè)過程中控制系統(tǒng)的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。 2.1.2 被控過程的特性依據(jù)過程特性的不同分為自衡特性與無自衡特性、單容特性與多容特性、振蕩與非振蕩特性等

3、1有自衡特性和無自衡特性當(dāng)原來處于平衡狀態(tài)的過程出現(xiàn)干擾時，其輸出量在無人或無控制裝置的干預(yù)下，能夠自動恢復(fù)到原來或新的平衡狀態(tài)，則稱該過程具有自衡特性，否則，該過程則被認(rèn)為無自衡特性。 工業(yè)生產(chǎn)過程一般都具有儲存物料或能量的能力，其儲存能力的大小稱為容量。所謂單容過程是指只有一個儲存容積的過程。當(dāng)被控過程由多個容積組成時，則稱為多容過程。無自衡過程及其階躍響應(yīng)曲線 自平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式有：一階慣性環(huán)節(jié) 二階慣性環(huán)節(jié) 二階慣性+純滯后環(huán)節(jié) 一階慣性+純滯后環(huán)節(jié) 具有自衡特性的過程及其響應(yīng)曲線 無平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式有：一階環(huán)節(jié) 二階環(huán)節(jié) 二階+純滯后環(huán)節(jié) 一階+純滯后環(huán)節(jié) 3

4、振蕩與非振蕩過程的特性在階躍輸入作用下，輸出會出現(xiàn)多種形式。圖中，a)、b)和c)為振蕩過程，d)和e)為非振蕩過程。 衰減振蕩的傳遞函數(shù)為 4具有反向特性的過程對過程施加一階躍輸入信號，若在開始一段時間內(nèi)，過程的輸出先降后升或先升后降，即出現(xiàn)相反的變化方向，則稱其為具有反向特性的被控過程。2.1.3 過程建模方法 1機(jī)理演繹法 根據(jù)被控過程的內(nèi)部機(jī)理，運(yùn)用已知的靜態(tài)或動態(tài)平衡關(guān)系，用數(shù)學(xué)解析的方法求取被控過程的數(shù)學(xué)模型。2試驗(yàn)辨識法先給被控過程人為地施加一個輸入作用，然后記錄過程的輸出變化量，得到一系列試驗(yàn)數(shù)據(jù)或曲線，最后再根據(jù)輸入輸出試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其模型的結(jié)構(gòu)（包括模型形式、階次與純滯后時間

5、等）與模型的參數(shù)。 主要步驟：主要思路是：3. 混合法機(jī)理演繹法與試驗(yàn)辯識法的相互交替使用的一種方法2.2 解析法建立過程的數(shù)學(xué)模型2.2.1解析法建模的一般步驟1） 明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量；2） 依據(jù)過程的內(nèi)在機(jī)理和有關(guān)定理、定律以及公式列寫靜態(tài)方程或 動態(tài)方程；3） 消去中間變量，求取輸入、輸出變量的關(guān)系方程；4） 將其簡化成控制要求的某種形式，如高階微分（差分）方程或傳 遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）等；2.2.2 單容過程的解析法建模例1：某單容液位過程，如右圖。貯罐中液位高度h為被控參數(shù),流入貯罐的體積流量為q1過程的輸入量并可通過閥門1的開度來改變；流出貯罐的體積流量q

6、2為過程的干擾，其大小可以通過閥門2的開度來改變。試確定q1與h之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?解 根據(jù)動態(tài)物料平衡關(guān)系，即在單位時間內(nèi)貯罐的液體流入量與單位時間內(nèi)貯罐的液體流出量之差應(yīng)等于貯罐中液體貯存量的變化率則有：寫為增量形式為其中分別為偏離某平衡狀態(tài)的增量。A為貯罐的截面積假定近似成正比而與閥門2的液阻成反比與則有 帶入增量式中可得單容液位過程的微分方程增量式 進(jìn)行拉普拉斯變換，并寫成傳遞函數(shù)形式 其中：為被控過程的時間常數(shù) 為被控過程的放大系數(shù) 為被控過程的容量系數(shù)，或稱 過程容量，這里在工業(yè)過程中，被控過程一般都有一定的貯存物料和能量的能力，貯存能力的大小通常用容量或容量系數(shù)表示，其含義為引起單位

7、被控量變化時被控過程貯存量變化的大小。 在有些被控過程中，還經(jīng)常存在純滯后問題，如物料的皮帶輸送過程，管道輸送過程等 為過程的輸入量，那么，當(dāng)閥1的開度產(chǎn)生需流經(jīng)長度為的管道后才能進(jìn)入貯罐而使液位發(fā)生變化。需經(jīng)一段延時才能被控制在上例中，如果以體積流量變化后，即可以得到純滯后的單容過程的微分方程和傳遞函數(shù) 單容過程的階躍響應(yīng)曲線： 比較有延遲與無延遲的區(qū)別2.2.3 多容過程的解析法建模以自衡特性的雙容過程為例，如圖設(shè)為q1過程輸入量，第二個液位槽的液位h2為過程輸出量，若不計(jì)第一個與第二個液位槽之間液體輸送管道所形成的時間延遲，試求q1與h2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。 解根據(jù)動態(tài)平衡關(guān)系，列出以下增量

8、方程 進(jìn)行拉普拉斯變換，整理得到傳遞函數(shù)、數(shù)學(xué)模型 為槽1的時間常數(shù)為槽2的時間常數(shù) 其中與單容的自平衡階躍響應(yīng)過程相比較2.3 實(shí)驗(yàn)法建立過程的數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)辨識法可分為經(jīng)典辨識法與現(xiàn)代辨識法兩大類。在經(jīng)典辨識法中，最常用的有基于響應(yīng)曲線的辨識方法；在現(xiàn)代辨識法中，又以最小二乘辨識法最為常用。 2.3.1 響應(yīng)曲線法響應(yīng)曲線法是指通過操作調(diào)節(jié)閥，使被控過程的控制輸入產(chǎn)生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時間變化的響應(yīng)曲線或輸出數(shù)據(jù)，再根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，求取過程的輸入輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。響應(yīng)曲線法又分為階躍響應(yīng)曲線法和方波響應(yīng)曲線法 2.3.1.1 階躍響應(yīng)曲線法1）試驗(yàn)測試前，被控過程應(yīng)處于相

9、對穩(wěn)定的工作狀態(tài) 一。注意事項(xiàng)2）在相同條件下應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn) ，減少隨機(jī)干擾的影響3）對正、反方向的階躍輸入信號進(jìn)行試驗(yàn)，以衡量過程的非線性程度4）一次試驗(yàn)后，應(yīng)將被控過程恢復(fù)到原來的工況并穩(wěn)定一段時間 再做第二次試驗(yàn) 5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產(chǎn)的正常進(jìn)行產(chǎn)生不利影響。 但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影響試驗(yàn)結(jié)果。 二。模型結(jié)構(gòu)的確定在完成階躍響應(yīng)試驗(yàn)后，應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)所得的響應(yīng)曲線確定模型的結(jié)構(gòu) 對于大多數(shù)過程，數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)分別為一階慣性一階慣性+純滯后 二階慣性+純滯后 二階慣性 對于某些無自衡特性過程， 其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：注意： 對于更高階或其它較復(fù)雜

10、的系統(tǒng)，應(yīng)在保證辨識精度的前提下，數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)應(yīng)盡可能簡單 三。模型參數(shù)的確定（1）確定一階環(huán)節(jié)的參數(shù) 該響應(yīng)曲線可近似為無時延的一階環(huán)節(jié)則其輸入與輸出的關(guān)系為：為過程的放大系數(shù)，為時間常數(shù)。 其中上式中，當(dāng)時以上式為斜率在t=0處作切線，切線方程為 當(dāng)則有：和時由以上分析可知 ，圖解法為：先由上圖中的階躍響應(yīng)曲線定出，根據(jù)數(shù)值，再在階躍響應(yīng)曲線的起點(diǎn)t=0處作切線，該切線與的交點(diǎn)所對應(yīng)的時間（上圖中階躍響應(yīng)曲線上的OB段）即為 先確定的確定還可以使用計(jì)算法：令t分別為時，則有以及令t分別為時，則有以及在階躍響應(yīng)曲線上求得三個狀態(tài)下的時間t1、t2、t3，計(jì)算出（2）確定一階時延環(huán)節(jié)的參數(shù) 如

11、果曲線呈現(xiàn)S形狀如右圖所示，則該過程可用一階慣性+時延環(huán)節(jié)近似 一階慣性+時延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 有三個參數(shù)需要確定時延時間的確定方法不變，轉(zhuǎn)化為標(biāo)么值和的確定步驟是：先將階躍響應(yīng)即：相應(yīng)的階躍響應(yīng)表達(dá)式為 選取兩個不同時刻t1，t2，代入兩邊取自然對數(shù)，求解化簡可得：這樣便求出和（3）確定二階環(huán)節(jié)的參數(shù) 二階無時延環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線如右圖： 傳遞函數(shù)為：三個需要確定的參數(shù)的確定與一階環(huán)節(jié)確定方法相同 的確定采用兩點(diǎn)法。設(shè)二階無時延環(huán)節(jié)的輸入、輸出關(guān)系為 其中為階躍輸入的幅值 取階躍響應(yīng)曲線上任意兩個時刻的坐標(biāo)，（這里為t=0.4,t=0.8）代入方程求解可得注意：用這種方法確定T1和T2時，應(yīng)滿足

12、的條件 因?yàn)?，?dāng)時，應(yīng)為一階環(huán)節(jié) 其中當(dāng)時，應(yīng)為二階環(huán)節(jié) 其中時，應(yīng)為二階以上環(huán)節(jié)。 當(dāng)對于n階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)可以按近似計(jì)算大小由下表確定其中n可以根據(jù)的n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高階過程的n與的關(guān)系（4）確定二階時延環(huán)節(jié)的參數(shù) 二階時延環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線如右圖： 傳遞函數(shù)為：需確定參數(shù)4個在階躍響應(yīng)曲線上，通過拐點(diǎn)F作切線 得純滯后時間 ，容量滯后時間 以及、的確定與前面所講的相同，而總的純滯后時間 可以證明：與的關(guān)系為其中在的約束條件下，可以解得和這個方程為超越方程，求解比較復(fù)雜，通常采用圖解法 自學(xué)圖解法2.3.1.2 方波響應(yīng)曲線法方波響應(yīng)曲線法是在正常輸入的基礎(chǔ)上，施加