工程力學第9章-彎曲應(yīng)力課件

1、第9章 彎曲應(yīng)力9.1梁橫截面上的正應(yīng)力現(xiàn)在研究梁橫截面上的應(yīng)力。 先討論橫截面上只有彎矩而沒有剪力的梁。 這種情況下的彎曲稱為純彎曲。 例如圖9-1所示簡支梁的CD段就屬于純彎曲情況。 此時梁的各截面上的彎矩相等。 由于只有與正應(yīng)力相應(yīng)的法向分布內(nèi)力才能合成與彎矩相應(yīng)的內(nèi)力偶, 故在純彎曲時梁橫截面上只可能有正應(yīng)力。 分析在純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力只用靜力學條件解決不了, 因此, 所研究的問題是超靜定的, 需先通過實驗來研究梁的變形。取一矩形截面梁, 在梁的表面畫上橫向線mm, nn和縱向線aa, bb。 在梁兩端施加一對作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的外力偶Me, 使此梁發(fā)生純彎曲, 如圖9-2,

2、 則可觀察到以下現(xiàn)象: (1) 橫向線mm,nn仍然是直線, 但彼此相對轉(zhuǎn)動了一個角度, 仍垂直于彎曲后的縱線。 (2) 縱向線由直線變成曲線, 且靠近頂面的aa線縮短, 靠近底面的bb線伸長。9.1.1實驗根據(jù)所觀察到的梁表面的變形現(xiàn)象, 可以對梁內(nèi)部的變形情況作出如下假設(shè): 圖9-3梁的所有橫截面在變形過程中要發(fā)生轉(zhuǎn)動, 但仍保持為平面, 并且和變形后的梁軸線垂直。 這就是梁的平面假設(shè)。 可以設(shè)想梁是由無數(shù)縱向纖維所組成, 彎曲變形后, 梁的上層纖維縮短, 下層纖維伸長, 因為材料是連續(xù)的, 所以中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短, 這一層稱為中性層, 中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

3、由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi), 故梁在變形后的形狀也應(yīng)對稱于此平面, 因此, 中性軸必然垂直于橫截面的對稱軸(圖9-3)。 梁變形時, 橫截面是繞中性軸轉(zhuǎn)動的。 9.1.2假設(shè)現(xiàn)在來推導純彎曲時梁的正應(yīng)力公式。 與推導扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式相似, 也需綜合幾何、 物理和靜力學三方面來解決。 1.變形幾何方面純彎曲時梁的縱向纖維由直線彎成圓弧, 如圖9-2b所示。 相距為dx的兩相鄰截面mm、 nn延長交于C點, C即為曲率中心, 中性層的曲率半徑以表示, 兩平面間的夾角以d表示。 現(xiàn)求距中性層為y處的bb纖維的線應(yīng)變。 該纖維變形后的長度為(+y)d, 原長為 。故bb纖維的線應(yīng)變?yōu)?.物理方面假

4、設(shè)各縱向纖維間無擠壓, 即各縱向纖維只有軸向拉伸或壓縮的變形。 于是在正應(yīng)力不超過比例極限時, 由胡克定律知對于指定橫截面, E/為常數(shù), 式(b)就反映了橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律。 由此式可知, 橫截面上任一點處的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比, 而在距中性軸等遠的同一橫線上各點處的正應(yīng)力相等, 如圖9-4所示。 9.1.3梁橫截面上的正應(yīng)力3.靜力學方面上面雖已找到應(yīng)力分布規(guī)律, 但還不能直接按式(b)計算彎曲正應(yīng)力, 這是因為曲率半徑以及中性軸的位置均未確定。 這可以從靜力學方面來解決。 純彎曲時梁橫截面上僅有正應(yīng)力(圖9-5)。 取橫截面對稱軸為y軸, 中性軸取為z軸, 過y、 z交

5、點與桿縱線平行的線取為x軸。 在坐標(y,z)處取一微面積dA,dA上作用著微內(nèi)力dA。 整個橫截面上所有這樣的微內(nèi)力構(gòu)成空間平行力系, 故可能組成三個內(nèi)力分量: 軸力FN和繞y、 z軸之矩My、 Mz。 從截面法可知, 在圖9-4所示純彎曲情況下, 任意截面上FN和My都等于零, 而Mz的矩就是橫截面上的彎矩M。 于是得FN=AdA=0(c)My=Az dA=0(d)Mz=Ay dA=M(e)首先討論式(c)所表達的物理意義。 將式(b)的關(guān)系代入式(c), 得又因E/不可能等于零, 故必須有AydA=0(f)此式表明整個橫截面對于z軸的靜矩Sz等于零, 由附錄A.1中可知, 中性軸z必然通

6、過橫截面的形心。 這樣, 就確定了中性軸的位置。 其次, 討論式(d), 將式(b)的關(guān)系代入式(d), 得同樣, 因E/不可能等于零, 故必須有AyzdA=0(h)式(h)表明整個橫截面對y、 z這一對軸的慣性積Iyz應(yīng)等于零。 因為y軸是對稱軸, 故由附錄A.2中有關(guān)結(jié)論可知, 式(h)是自動滿足的, 因而式(g)也就自動滿足。 最后將式(b)的關(guān)系代入式(e), 得由此得此式是用曲率表示的梁軸線的彎曲變形公式, 它是彎曲理論的基本公式。 式中, EIz稱為梁的抗彎剛度, 它反映了梁抵抗彎曲變形的能力。 由上式即可確定中性層的曲率。 以式(9-1)代入式(b), 最后求得這就是梁橫截面上的

7、正應(yīng)力公式。 式中, M為橫截面的彎矩; y為欲求應(yīng)力點至中性軸的距離; Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。 在式(9-2)中, 對于正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力雖可以從M及y坐標的正、 負號來確定, 但從梁的變形情況來判斷更為簡便: 當彎矩為正時, 中性層以下部分纖維伸長, 故產(chǎn)生拉應(yīng)力; 中性層以上部分纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力。 彎矩為負時, 則與上相反。 顯然, 在用這一方法判定正應(yīng)力是拉或壓時, 只須將M及y的絕對值代入式(9-2)即可。(1) 式(9-1)和式(9-2)只適用于梁的材料符合胡克定律, 且其拉伸和壓縮時的彈性模量相等的情況。 為了滿足前一個條件, 梁內(nèi)的最大正應(yīng)力值應(yīng)不超過材料的比

8、例極限。 (2) 式(9-1)和式(9-2)雖然是以矩形截面梁為例導出的, 但在推導過程中, 并未用到矩形截面的特殊性質(zhì)。 凡是具有縱向?qū)ΨQ面的對稱彎曲的梁, 都能滿足推導過程的各項要求。 因此, 上兩式對于所有橫截面存在對稱軸的對稱彎曲的梁都是適用的。 (3) 式(9-1)和式(9-2)是在純彎曲的前提下導出的。 工程中更常見的彎曲問題多為橫力彎曲, 即這時梁的橫截面上不僅有彎矩, 一般來說還有剪力。 同時, 由于橫向力的作用, 還使梁的縱向纖維之間發(fā)生擠壓。 這些都與推導公式的前提相矛盾。 但是精確的分析表明, 對于細長的梁, 即梁的跨長與截面高度之比l/h5時, 應(yīng)用純彎曲時的公式計算梁橫截面上的正應(yīng)力, 還是相當精確的。 但應(yīng)注意, 此時應(yīng)用(x)與M(x)來代替公式中的和M。 9.1.4公式的適用范圍由式(9-2)知等截面梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩截面的上、 下邊緣處, 故其中式中, Wz稱為抗彎截面系數(shù), 其值只與截面的幾何形狀和尺寸有關(guān)。 對矩形截面(圖9-6a):對圓形截面(圖