課時作業(yè)與單元檢測版第四章復(fù)習(xí)

1、1定積分概念的理解義定積分bf(x)dx 是一個常數(shù)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、a下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即bf(x)dxbf(u)dubf(t)dtaaa2運用微積分基本定理計算定積分bf(x)dx 的關(guān)鍵是找到滿足 F(x)f(x)的函a運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向數(shù) F(x)通常上求出 F(x)3由微積分基本定理理解定積分的幾何意義(1)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積(2)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)(3)當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形的面積等

2、于位于 x 軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為 0(如圖)，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積題型一積分的幾何意義求定積分定積分的求解問題，通常利用定積分的幾何意義轉(zhuǎn)化為求一個圖形的面積問題，正確地作出被積函數(shù)的圖像，然后由求面積的方法求解該定積分是解決本類問題的重點例 1根據(jù)定積分的幾何意義計算定積分3|x2|dx.1解 根據(jù)定積分的幾何意義，所求定積分表示的是 y|x2|和 x3，x1 及 y0 所圍成的圖形的面積，即圖中陰影部分面積因此，3|x2|dx1111111.221演練 1定積分1( 1x12x)dx 等于()02A.B.2141 41C.

3、D.2A1x12x)dx11x12dx1xdx.11x12dx 表示1(0000圓(x1)2y21 的上半圓與 x1，x0，y0 圍成的圖形面積1x12dx，畫出圖形可知 S11402SS1S2.4題型二利用微積分基本定理求定積分利用微積分基本定理計算定積分與定義法計算定積分相比較，使運算量大大地減少了，因此在計算定積分時要優(yōu)先考慮微積分基本定理的運用利用微積分基本定理求定積分關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，在找被積函數(shù)的原函數(shù)時，一定要仔細(xì)觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，才能較快地找到原函數(shù)例 2計算下列定積分：2x|x2x|dx.(1)cos 2dx；(2)1cos x2x

4、cos 2dx解(1)dx21(1cos x)dx21 2 21xsin x|242 .284|x2x|dx(x2x)dx1(xx2)dx(2)0 x20 x2x221113111 x 2 3x 0 x (x 33.22x)dx11332261演練 2計算下列定積分：3|x2| 1 1(1)dx；(2)x2dx. 31x解(1)312；23|x2| 1 (2)x2dx 111 |x2|x2|2dx3dx 2 2xx1211 2 22x3xdxdx22 x x122x1121135x x - .222x1222xx3題型三定積分的應(yīng)用1定積分可用來計算曲邊梯形的面積，某些曲面面積可以表示成幾個曲

5、邊梯形面積的和或差的形式2利用定積分也可以求出一些簡單的幾何體體積，如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等計算由曲線 yf(x)，直線 xa，xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 Vbf(x)2dx.a例 3(1)求由曲線 ysin x，ycos x 及直線 x0，x2所圍成圖形的面積1p 及 x 軸所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一(2)求拋物線 y22px(p0)與直線 x2得旋轉(zhuǎn)體的體積解 (1)先畫草圖如圖其次，若選 x 為積分變量，積分下限為 x0，上限為 x 最后，2.由圖形可知，平面圖形由 x把圖形分成兩塊4A|sin xcos x|dx(cos xsin

6、x)dx(sin xcos x)dxsin xcos x|cos xsin x|2( 21)，因為 y22px(p0)，(2)所以f(x)22px，x0，p2.所以 Vf(x)2dxp32pxdx px2|.4演練 3(1)求曲線 ysin x，x0，與 x 軸所圍成平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一得到旋轉(zhuǎn)體的體積，求由拋物線 yx24x3 及其在點 A(0，3)和點 B(3,0)處的切(2)線所圍成的圖形的面積解 (1)由體積公式 Vy2dx(sin x)2dx001cos 2xsin2xdxdx200cos 2x1 2dxdx20 0 (1dxcos 2xdx)2 001x| sin 2x| 00

7、2222(0) 2 .(2)由題意，知拋物線 yx24x3 在點 A 處的切線斜率是 k14，在點 B 處的切線斜率是 k22.因此，拋物線過點 A 的切線方程為y4x3，過點 B 的切線方程為 y2x6.y4x3，設(shè)兩切線相交于點 M，由y2x6消去 y，得 x3，即點 M 的橫坐標(biāo)為32.2在區(qū)間0，3上，曲線y4x3 在曲線yx24x3 的上方；在區(qū)間3，3上，2曲線 y2x6 在曲線2yx24x3 的上方因此，所求的圖形的面積是：S(4x3)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dx(x26x9)dx999x2dx4.881了解定積分概念的背景知識及概念的產(chǎn)生過程和其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)是本章的重要內(nèi)容，與定積分的幾何意義和物理意義相結(jié)合更能體現(xiàn)定積分的實用價值，也有利于理解概念2利用公式求定積分是本章的另一個內(nèi)容，也是學(xué)好本章的基礎(chǔ)一方面要明確微積分基本定理揭示了原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，并掌握利