數(shù)學(xué)建模—保姆問題論文

1、-PAGE . z. . . . . 資料. . .數(shù)學(xué)建模作業(yè)目錄一、問題的提出二、問題分析三、模型假設(shè)與符號約定四、模型的建立五、模型的求解六、結(jié)果檢驗(yàn)七、模型的優(yōu)缺點(diǎn)八、參考文獻(xiàn)一、問題的提出1、根本情況一家保姆效勞公司專門向顧主提供保姆效勞。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過5天的培訓(xùn)才能上崗。每個(gè)保姆每季度工作新保姆包括培訓(xùn)65天。保姆從該公司而不是從顧主那里得到報(bào)酬，每人每月工資800元。春季開場時(shí)公司擁有120名保姆，在每個(gè)季度完畢時(shí)，將有15%的保姆自動離職 2、需要解決的問題1如果公司不允許

2、辭退保姆，請你為公司制定下一年的招聘方案；哪些季度的增加不影響招聘方案？可以增加多少？ 2如果公司允許辭退保姆，請你為公司制定下一年的招聘方案。二、問題分析1、對問題一的分析。設(shè)4個(gè)季度開場時(shí)公司的新招聘的保姆數(shù)量分別為*1,*2,*3,*4人，4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量分別為s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的總報(bào)酬最少即4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量之和為最小為目標(biāo)，建立模型求解。2、對問題二的分析。設(shè)4個(gè)季度開場時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為*1,*2,*3,*4人，4 個(gè)季度完畢時(shí)辭退的保姆數(shù)量分別為y1,y2,y3,y4人，4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量分別為s1,s2,s3,s4人，以本年度付

3、出的總報(bào)酬最小即4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量最小為目標(biāo)，建立模型求解。三、模型假設(shè)與符號約定1、模型假設(shè)1數(shù)據(jù)是真實(shí)可靠的。2、符號約定：第季度開場時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量；：第季度完畢時(shí)公司辭退的保姆數(shù)量；：第季度開場時(shí)公司保姆總數(shù)量。其中，可取1，2，3，4分別表示春、夏、秋、冬四個(gè)季節(jié)。四、模型的建立建立規(guī)劃模型要確定規(guī)劃目標(biāo)和尋求的決策。用表示決策變量，表示目標(biāo)函數(shù)。實(shí)際問題一般對決策變量的取值*圍有限制，不妨記作，稱為可行域。規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可表示為通常是1維或2維變量，通常是1維或2維的非負(fù)域。實(shí)際問題中的規(guī)劃問題通常有多個(gè)決策變量，用維向量表示，目標(biāo)函數(shù)是多元函數(shù)，可行域比擬復(fù)雜，常

4、用一組不等式(也可以有等式)來界定，稱為約束條件，一般地，這類模型可表述成如下形式五、模型的求解針對問題一：目標(biāo)函數(shù)：以本年度付出的總報(bào)酬最少即4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量之和為最小，即MIN = S1 + S2 + S3 + S4.約束條件：第一季度65 * s1 - 5 * *1 6000; s1 - *1 = 120;第二季度65 * s2 - 5 * *2 7500;s2 - 0.85 * s1 - *2 = 0; 第三季度65 * s3 - 5 * *3 5500;s3 - 0.85 * s2 - *3 = 0; 第四季度65 * s4 - 5 * *4 9000;s4 - 0.85 *

5、 s3 - *4 = 0;非負(fù)約束：均不能為負(fù)值，即我們用LINDO軟件求解該問題，輸入：Min s1+s2+s3+s4 st 65s1-5*1=6000 65s2-5*2=7500 65s3-5*3=550065s4-5*4=9000 s1-*1=120s2-0.85s1-*2=0 s3-0.85s2-*3=0 s4-0.85s3-*4=0將文件存儲并命名后，選擇菜單Solve即可得到如下輸出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 478.5107 VARIABLE VALUE REDUCED COST S1 120.0

6、00000 0.000000 S2 116.500000 0.000000 S3 99.025002 0.000000 S4 142.985733 0.000000 *1 0.000000 0.873223 *2 14.500000 0.000000 *3 0.000000 0.929167 *4 58.814480 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1800.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.029830 4) 936.625000 0.000000 5) 0.000000 -0.016667 6) 0.00

7、0000 -0.873223 7) 0.000000 0.149149 8) 0.000000 -0.929167 9) 0.000000 0.083333 10) 0.000000 0.000000 11) 14.500000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE S1 1.000000 INFINITY 0.873223 S2 1.

8、000000 12.327855 1.789792 S3 1.000000 14.503359 0.929167 S4 1.000000 13.117647 1.000000 *1 0.000000 INFINITY 0.873223 *2 0.000000 0.948297 1.789792 *3 0.000000 INFINITY 0.929167 *4 0.000000 1.009050 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6000.000000 18

9、00.000000 INFINITY 3 7500.000000 4508.536133 869.999939 4 5500.000000 936.625000 INFINITY 5 9000.000000 INFINITY 3528.868652 6 120.000000 15.746606 27.692308 7 0.000000 13.384615 901.707153 8 0.000000 63.870926 14.409616 9 0.000000 54.290287 INFINITY 10 0.000000 0.000000 INFINITY 11 0.000000 14.5000

10、00 INFINITY對上述結(jié)果取整，4個(gè)季度開場時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為0，15，0，59人 上面的模型中沒有要求*1,*2,*3,*4,s1,s2,s3,s4為整數(shù)，是因?yàn)楸Ｄ窋?shù)量比擬大，可以近似的看做實(shí)數(shù)處理，此外，由于非整數(shù)因子0.85的影響，如果要求*1,*2,*3,*4,s1,s2,s3,s4為整數(shù)，則可能使得新招聘的保姆數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能超出實(shí)際需要的數(shù)量，從而難以找到合理結(jié)果的整數(shù)解。 由以上結(jié)果約束中的松弛的數(shù)據(jù)知道，春季和秋季需求的增加不影響招聘方案，可以分別增加1800和936人。針對問題二：目標(biāo)函數(shù)：以本年度付出的總報(bào)酬最少即4個(gè)季度開場時(shí)保姆總數(shù)量之和為最小，即MIN

11、= S1 + S2 + S3 + S4.約束條件：第一季度65 * s1 - 5 * *1 6000; s1 - *1 = 120;第二季度65 * s2 - 5 * *2 7500;s2 - *2 + y1 - 0.85 * s1 = 0;第三季度65 * s3 - 5 * *3 5500;s3 - *3 + y2 - 0.85 * s2 = 0;第四季度65 * s4 - 5 * *4 9000;s4 - *4 + y3 - 0.85 * s3 = 0;非負(fù)約束：均不能為負(fù)值，即我們用LINDO軟件求解該問題，輸入：Min s1+s2+s3+s4 st65s1-5*1=6000 65s2-

12、5*2=7500 65s3-5*3=550065s4-5*4=9000 s1-*1=120 s2-*2+y1-0.85s1=0 s3-*3+y2-0.85s2=0 s4-*4+y3-0.85s3=0將文件存儲并命名后，選擇菜單Solve即可得到如下輸出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 465.1218 VARIABLE VALUE REDUCED COST S1 120.000000 0.000000 S2 116.500000 0.000000 S3 84.615387 0.000000 S4 144.006409

13、 0.000000 *1 0.000000 0.929167 *2 14.500000 0.000000 *3 0.000000 0.071474 *4 72.083336 0.000000 Y1 0.000000 0.083333 Y2 14.409616 0.000000 Y3 0.000000 0.083333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1800.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.016667 4) 0.000000 -0.014295 5) 0.000000 -0.016667 6) 0.000000 -0.92

14、9167 7) 0.000000 0.083333 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.083333 NO. ITERATIONS= 6 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE S1 1.000000 INFINITY 0.929167 S2 1.000000 13.117647 1.000000 S3 1.000000 INFINITY 0.929167

15、S4 1.000000 13.117647 1.000000 *1 0.000000 INFINITY 0.929167 *2 0.000000 1.009050 0.076923 *3 0.000000 INFINITY 0.071474 *4 0.000000 1.009050 0.076923 Y1 0.000000 INFINITY 0.083333 Y2 0.000000 0.929167 0.077431 Y3 0.000000 INFINITY 0.083333 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS I

16、NCREASE DECREASE 2 6000.000000 1800.000000 INFINITY 3 7500.000000 INFINITY 869.999939 4 5500.000000 936.625000 5500.000000 5 9000.000000 INFINITY 4325.000000 6 120.000000 15.746606 27.692308 7 0.000000 13.384615 INFINITY 8 0.000000 INFINITY 14.409616 9 0.000000 66.538460 INFINITY由上述結(jié)果可以知道：第二個(gè)季度開場時(shí)公司

17、新招聘15人，第二個(gè)季度完畢時(shí)辭退15 人；第四個(gè)季度開場時(shí)新招聘72人，目標(biāo)函數(shù)值為465.121 8比不允許辭退時(shí)的值略有減少。六、結(jié)果檢驗(yàn)LINGO軟件和LINDO軟件經(jīng)常是配合使用的，因?yàn)橛袝r(shí)候用LINDO軟件求得到的結(jié)果不一定千真萬確，因此很有必要用LINGO軟件進(jìn)展驗(yàn)證。1、對于問題一的結(jié)果，我們用LINGO軟件驗(yàn)證，輸入：MIN = S1 + S2 + S3 + S4; 65 * s1 - 5 * *1 6000; 65 * s2 - 5 * *2 7500; 65 * s3 - 5 * *3 5500; 65 * s4 - 5 * *4 9000; s1 - *1 = 120;

18、 s2 - 0.85 * s1 - *2 = 0; s3 - 0.85 * s2 - *3 = 0; s4 - 0.85 * s3 - *4 = 0; *1 0; *2 0; *3 0; *4 0; s1 0; s2 0; s3 0; s4 0;將文件存儲并命名后，選擇菜單Solve即可得到如下輸出：Rows= 11 Vars= 8 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 30 Constraint nonz= 21( 10 are +- 1) Density=0.303 Smallest and largest elements in

19、abs value= 0.850000 9000.00 No. : 6, Obj=MIN, GUBs 6000; 65 * s2 - 5 * *2 7500; 65 * s3 - 5 * *3 5500;65 * s4 - 5 * *4 9000; s1 - *1 = 120; s2 - *2 + y1 - 0.85 * s1 = 0; s3 - *3 + y2 - 0.85 * s2 = 0; s4 - *4 + y3 - 0.85 * s3 = 0; *1 0; *2 0; *3 0; *4 0; s1 0; s2 0; s3 0; s4 0;將文件存儲并命名后，選擇菜單Solve即可得到

20、如下輸出：Rows= 17 Vars= 11 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 39 Constraint nonz= 30( 19 are +- 1) Density=0.191 Smallest and largest elements in abs value= 0.850000 9000.00 No. : 12, Obj=MIN, GUBs = 8 Single cols= 3 Optimal solution found at step: 2 Objective value: 465.1218 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.0000000 S2 116.5000 0.0000000 S3 84.61538 0.0000000 S4 144.0064 0.0000000 *1 0.0000000 0.9291667 *2 14.50000 0.0000000 *3 0.0000000 0.7147436E-01 *4 72.08333 0.0000000 Y1 0.00000