大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案上冊--1.1-數(shù)列的極限

1、大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案上冊-1.1-數(shù)列的極限2“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”引例1、割圓術(shù)：播放 1.1.1 數(shù)列極限的定義3正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積4引例2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”5例如6注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)7播放數(shù)列的極限的定義8問題:當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:910如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：11幾何解釋:其中12數(shù)列極限的定義

2、未給出求極限的方法.注意：幾何解釋:13例1. 已知證明數(shù)列的極限為1. 證: 欲使即只要因此 , 取則當(dāng)時, 就有故14例2. 已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時, 就有故故也可取也可由N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說明: 取例3. 設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此 , 取, 則當(dāng) n N 時,就有故的極限為 0 . 16 1.1.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)證: 用反證法.及且取因故存在 N1 , 從而同理, 因故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時, 有定理1. 收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時, 假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時, 故假設(shè)不真 !滿足

3、的不等式17定理2 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.雖有界但不收斂 .數(shù)列18定理3. 收斂數(shù)列的保序性.證:取1920 1.1.3 收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理4 . 若則有211.1.4 數(shù)列收斂的判別法例5.例6 見書。 準(zhǔn)則1 (夾逼定理) 證: 由條件 (2) ,當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時, 有由條件 (1)即故 23例7. 證明證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .且由準(zhǔn)則2 (單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ) ( 證明略 )25例8. 設(shè)證明數(shù)列極限存在 . 證: 利用二項式公式 , 有26大 大 正又比較可知根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列記此極限為 e , e 為無

4、理數(shù) , 其值為即有極限 .又 子數(shù)列的收斂性28*定理7. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列 .若則當(dāng) 時, 有現(xiàn)取正整數(shù) K , 使于是當(dāng)時, 有從而有由此證明 *29由此性質(zhì)可知 ,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， 發(fā)散 !則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明: 定理9. 任意有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列。（證明略）30思考與練習(xí)1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知, 求時,下述作法是否正確? 說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對!此處31故極限存在，備用題 1.設(shè) , 且求解：設(shè)則由遞

5、推公式有數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則 2. 設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限 .即單調(diào)增,又存在“拆項相消” 法33劉徽(約225 295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的重 差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評 注,指出并糾正了其中的錯誤 ,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì) , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要極限思想 . 的方法 :34柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其

6、中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 351、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽361、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽37“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽38“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽39“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽40“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽41“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽42“割之彌細(xì)，所失彌