2022新高考總復習《數(shù)學》(人教)第七章　空間向量與立體幾何高考大題專項(四)　立體幾何

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(四)立體幾何第七章2022【考情分析】 從近五年的高考試題來看,立體幾何是歷年高考的重點,約占整個試卷的15%,通常以一大兩小的模式命題,以中、低檔難度為主.簡單幾何體的表面積與體積、點、線、面位置關(guān)系的判定與證明以及空間角的計算是考查的重點內(nèi)容,前者多以客觀題的形式命題,后者主要以解答題的形式命題考查.著重考查推理論證能力和空間想象能力,而且對數(shù)學運算的要求有加強的趨勢.轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整個立體幾何的始終.【必備知識】 1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行常用的方法:利用平行

2、公理,即證兩直線同時和第三條直線平行;利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換;利用三角形的中位線定理證線線平行;利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法:利用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質(zhì);勾股定理;線面垂直的性質(zhì):要證兩線垂直,只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可,即l,ala.2.垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.3.求幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則

3、幾何體,可直接利用公式計算.對于某些三棱錐,有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(2)對于不規(guī)則幾何體,可采用割補法求解.(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時,注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形,要注意應用這些軸截面.4.解決平面圖形的翻折問題,關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變性,即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長度、角度等的不變性.5.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計算歸結(jié)為平面圖形中的角的計算.利用空間向量解題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,

4、求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩向量垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.突破1空間中的位置關(guān)系與表面積、體積【例題】 (2020安徽高三三模)如圖,邊長為2的等邊三角形ABC所在平面與菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BCB1C1,BC=2B1C1,A1C= AC1.(1)求證:A1B1平面ABC;(2)求多面體ABC-A1B1C1的體積.(1)證明四邊形A1ACC1是菱形,ACA1C1.AC平面ABC,A1C1平面ABC,A1C1平面ABC,同理得,B1C1平面ABC.A1C1,B1C1在平

5、面A1B1C1中,且A1C1B1C1=C1,平面ABC平面A1B1C1.A1B1平面A1B1C1,A1B1平面ABC.(2)解ACB與A1C1B1滿足ACA1C1,BCB1C1,且兩個角的對應邊方向相同,A1C1B1=ACB=60,A1C1=AC=2,2B1C1=BC=2,則B1C1=1,解題心得處理體積問題的思路(1)“轉(zhuǎn)”:指的是轉(zhuǎn)換底面與高,將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面,或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解長度的高;(2)“拆”:指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾何體,便于計算;(3)“拼”:指的是將小幾何體嵌入一個大幾何體中,如將一個三棱錐復原成一個三棱柱,將

6、一個三棱柱復原成一個四棱柱,這些都是拼補的方法.對點訓練如圖,五邊形ABSCD中,四邊形ABCD為長方形,三角形SBC為邊長為2的正三角形,將三角形SBC沿BC折起,使得點S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.(1)當AB= 時,證明:平面SAB平面SCD;(2)當AB=1時,求四棱錐S-ABCD的側(cè)面積.(1)證明作SOAD,垂足為O,依題意得SO平面ABCD,SOAB,SOCD,又ABAD,AB平面SAD,則ABSA,ABSD.SASD,SD平面SAB.又SD平面SCD,平面SAB平面SCD.突破2空間角和距離題型一空間中的位置關(guān)系與異面直線所成的角【例1】 在四棱錐P-ABCD中,PA平

7、面ABCD,底面四邊形ABCD為直角梯形,ADBC,ADAB,PA=AD=2,AB=BC=1,Q為PD的中點.(1)求證:PDBQ;(2)求異面直線PC與BQ所成角的余弦值.(1)證明由題意知,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面四邊形ABCD為直角梯形,ADAB,以A為原點,分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因為Q為PD的中點,所以Q(0,1,1),解題心得用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系.(2)確定異面直線上兩個點

8、的坐標,從而確定異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.注意向量的夾角與異面直線所成的角的區(qū)別:當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,這個角就是異面直線所成的角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角才是異面直線所成的角.對點訓練1(2020上海楊浦高三二模)如圖,線段OA和OB是以P為頂點的圓錐的底面的兩條互相垂直的半徑,點M是母線PB的中點,已知OA=OM=2.(1)求該圓錐的體積;(2)求異面直線OM與AP所成角的余弦值.題型二空間的位置關(guān)系與線面角【例2】 (2020內(nèi)蒙古北重三中高三期中)如

9、圖,菱形ABCD與等邊三角形BCE所在平面互相垂直,FD平面ABCD,BC=2,FD= .(1)證明:EF平面ABCD;(2)若CBA=60,求直線EF與平面AFB所成角的正弦值.(2)解連接HA.由(1)得H為BC中點,又CBA=60,ABC為等邊三角形,HABC.分別以HB,HA,HE為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.解題心得求線面角可以用幾何法,即“先找,后證,再求”,也可以通過平面的法向量來求.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”:第一,破“建系關(guān)”,構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系;第二,破“求坐標關(guān)”,準確求解相關(guān)點的坐標;第三,破“求法向量關(guān)”,求出平面的法向量;第四

10、,破“應用公式關(guān)”.對點訓練2(2020遼寧高三三模(理)如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,AB=BD=2,BB1=2,BD與AC相交于點E,A1D與AD1相交于點O.(1)求證:AC平面BB1D1D;(2)求直線OB與平面OB1D1所成的角的正弦值.(1)證明底面ABCD為菱形,ACBD.棱柱ABCD-A1B1C1D1為直棱柱,DD1平面ABCD.AC平面ABCD,ACDD1.ACBD,ACDD1,BDDD1=D,AC平面BB1D1D.題型三空間中的位置關(guān)系與二面角【例3】 (2020山東煙臺龍口一中診測)如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A,B外的一個動

11、點,DC垂直于半圓O所在的平面,DCEB,DC=EB=1,AB=4.(1)證明:平面ADE平面ACD;(2)當C點為半圓的中點時,求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.(1)證明AB是圓O的直徑,ACBC,DC平面ABC,BC平面ABC,DCBC.又DCAC=C,BC平面ACD,DCEB,DC=EB,四邊形DCBE是平行四邊形,DEBC,DE平面ACD,又DE平面ADE,平面ACD平面ADE.(2)解當C點為半圓的中點時,AC=BC=2 ,以C為原點,以CA,CB,CD為坐標軸建立空間坐標系如圖所示,解題心得如圖,設平面,的法向量分別為n1,n2,二面角的平面角為(0),則|cos |=|co

12、s|= ,結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.對點訓練3(2020四川攀枝花高三調(diào)研)如圖所示,在三棱錐P-ABQ中,PB平面ABQ,BA=BQ=BP,D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,AQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.(1)求證:ABGH;(2)求二面角D-GH-E的平面角的余弦值.(1)證明因為D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,所以EFAB,DCAB,所以EFDC,又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF平面PCD,又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH.又EFAB,所以ABGH.(2)解在ABQ中,AQ

13、=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90.又PB平面ABQ,所以BA,BQ,BP兩兩垂直.以B為坐標原點,分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設BA=BQ=BP=2,則E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),題型四空間中的位置關(guān)系與空間距離【例4】 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是邊長為2的正三角形,AA1=2 ,D是CC1的中點,E是A1B1的中點.(1)證明:DE平面A1BC;(2)求點A到平面A1BC的距離.(1)證明如圖,取A1B的中點F,連接FC,FE.因為E

14、,F分別是A1B1,A1B的中點,所以EFBB1,且EF= BB1.又在平行四邊形BB1C1C中,D是CC1的中點,所以CDBB1,且CD= BB1,所以CDEF,且CD=EF.所以四邊形CFED是平行四邊形,所以DECF.因為DE平面A1BC,CF平面A1BC,所以DE平面A1BC.(方法2)向量法由題意知,三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.取AB的中點O,連接OC,OE.因為AC=BC,所以COAB.又平面ABC平面ABB1A1,平面ABC平面ABB1A1=AB,所以CO平面ABB1A1.因為O為AB的中點,E為A1B1的中點,所以OEAB,所以OC,OA,OE兩兩垂直.如圖,以O為坐

15、標原點,以OA,OE,OC所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則C(0,0, ),A(1,0,0),A1(1,2 ,0),B(-1,0,0).解題心得求解點到平面的距離可直接轉(zhuǎn)化為求向量在平面的法向量上的投影向量的長度.如圖,設點P在平面外,點O是點P在平面上的射影,n為平面的法向量,在平面內(nèi)任取一不同于點O的點Q,則點P到平面的距離解(1)連接AC交BD于點M,如圖,PC平面BDE,平面PAC平面BDE=EM,PCEM.M為AC的中點,E為PA的中點.(2)PAD是等邊三角形,平面PAD平面ABCD,以AD中點O為原點,OA為x軸,在平面ABCD中,過點O作AB的平行線為y軸,

16、以OP為z軸,建立空間直角坐標系,突破3立體幾何中的創(chuàng)新綜合問題題型一折疊與展開問題【例1】 (2019全國3,理19)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.解題心得折疊問題的關(guān)鍵有二:畫好兩個圖折疊前的平面圖和折疊后的立體圖;分析好兩個關(guān)系折疊前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化,哪些沒有改變.一般地,在同一半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的.涉及兩個

17、半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是要變化的.分別位于兩個半平面內(nèi)但垂直于折疊棱的直線翻折后仍然垂直于折疊棱.對點訓練1如圖1,在邊長為4的正方形ABCD中,E是AD的中點,F是CD的中點,現(xiàn)將三角形DEF沿EF翻折成如圖2所示的五棱錐P-ABCFE.(1)求證:AC平面PEF;(2)若平面PEF平面ABCFE,求直線PB與平面PAE所成角的正弦值.(1)證明E,F分別為AD,CD的中點,EFAC.又EF平面PEF,AC平面PEF,AC平面PEF.(2)解取EF的中點O,并分別連接OP,OB.由題知,OPEF,OBEF.又平面PEF平面ABCFE,平面PEF平面ABCFE=EF,PO平面PEF,PO

18、平面ABCFE.又AB=4,PF=AE=PE=2,EO=OP=OF= ,OB=3 .分別以OE,OB,OP為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則題型二范圍與最值問題【例2】 (2020江蘇天一中學高三模擬)給出兩塊相同的正三角形鐵皮(如圖1,圖2),(1)要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型,另一塊剪拼成一個正三棱柱模型,使它們的全面積都與原三角形的面積相等,請設計一種剪拼方法,分別用虛線標示在圖1、圖2中,并作簡要說明;試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小.(2)設正三角形鐵皮的邊長為a,將正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形,再把它的邊沿虛線折起(如圖3),做成一個無

19、蓋的正三角形底鐵皮箱,當箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?解(1)如圖1,沿正三角形三邊中點連線折起,可拼得一個正三棱錐.如圖2,正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形,其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的 ,有一組對角為直角,余下部分按虛線折起,可成一個缺上底的正三棱柱,而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底.解題心得求解立體幾何的最值問題主要應用代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)知識或不等式有關(guān)知識求解.解題的關(guān)鍵是恰當?shù)匾雲(yún)⒆兞?一元或二元),建立目標函數(shù),然后由表達式的特點求最值;如果應用幾何法求解,要明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及形成規(guī)律,要正確實施空間向平面的轉(zhuǎn)化.對點訓練2(

20、2020廣東普寧華美實驗學校高三月考)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D為線段AC的中點,求證:AC平面PDO;(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;(3)若BC= ,點E在線段PB上,求CE+OE的最小值.(1)證明連接OC,在AOC中,因為OA=OC,D為AC的中點,所以ACOD.又PO垂直于圓O所在的平面,所以POAC.因為DOPO=O,所以AC平面PDO.(2)解因為點C在圓O上,所以當COAB時,C到AB的距離最大,且最大值為1.(3)解在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以同理PC= ,所以PB=PC=BC.在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BCP,使之與平面ABP共面,如圖所示.題型三開放與探索問題【例3】 (2020天津北辰二模)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,PAD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD的中點.(1)求證:PO平面ABCD;(2)求平面EFG與平面ABCD的夾角的大小;(3)線段PA上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為 ,若存在,求線段PM的長度;若不存在,說明理由.(1)證明因為PAD是正三角形,O是AD的中點,所以POAD.又因為CD平面PA