2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第五章　平面向量、復(fù)數(shù)5.2　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示第五章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03素養(yǎng)提升微專題5共線定理的推廣及應(yīng)用必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a=.若e1,e2不共線,我們把e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè).把一個(gè)向量分解為兩個(gè)的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,a為坐

2、標(biāo)平面內(nèi)的任意向量,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我們把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=.不共線1e1+2e2 基底互相垂直(x,y)(x,y)3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 運(yùn)算坐標(biāo)表示(設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘a=(x1,y1),其中R設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab .x1y2-x2y1=0 常用結(jié)論【考點(diǎn)自診

3、】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()(2)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換其坐標(biāo)不變.()(3)已知a,b是一組基底,若實(shí)數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2.()2.(2019全國(guó)2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=() 答案 A 答案 A 4.已知向量a=(1,-2),同時(shí)滿足條件ab,|a+b|a|的一個(gè)向量b的坐標(biāo)為.答案(-1,2)(答案不唯一) 解析ab,b=a (R),|a+b|a|a+a|a|a(1+)|a|1+|1.-20,不妨取=-1,向量b的坐標(biāo)為(-

4、1,2).關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1平面向量基本定理及其應(yīng)用答案 (1)C(2)C 解題心得平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.(2)在下列向量組中,可以把向量a=(2,3)表示成e1+e2(,R)的是()A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)設(shè)e1

5、,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基底a,b的線性組合,即e1+e2=.(2)根據(jù)平面向量基本定理可知,e1,e2不共線,驗(yàn)證各選項(xiàng),只有選項(xiàng)C中的兩個(gè)向量不共線,故選C.(3)由題意,設(shè)e1+e2=ma+nb.因?yàn)閍=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)化及運(yùn)算答案 (1)B(2)B 解題心得求解平面向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量

6、運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.(2)巧借方程思想求坐標(biāo)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用.(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出系數(shù).答案 (1)(4,7)(2)A (2)如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),因?yàn)镈AB=60,所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為考點(diǎn)3平面向量共線的坐標(biāo)表

7、示(多考向探究)考向1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)【例3】 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案 (3,3) 考向2利用向量共線求參數(shù)【例4】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-3b共線,則 =.解題心得平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地,在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為a

8、(R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)設(shè)向量 =(-2n,0),m,nR,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B,C三點(diǎn)共線,則m+n的最大值為()A.-3B.-2C.2D.3(2)(2018全國(guó)3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.(3)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,則角C的大小為.素養(yǎng)提升微專題5共線定理的推廣及應(yīng)用素養(yǎng)解讀最近幾年的高考試題中,很多題目都是以向量知識(shí)為背景,以共線向量為載體的向量分解與合成問(wèn)題.以向量共線定理為“數(shù)”和“形”的紐帶,旨在考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).常用結(jié)論常用結(jié)論類型一感受平面內(nèi)三點(diǎn)共線的結(jié)論在解題中的簡(jiǎn)明快捷 解題心得共起點(diǎn)的三個(gè)向量如果它們的終點(diǎn)在同一條直線上,那么用其中兩個(gè)向量表示另一個(gè)向量時(shí),等式左邊系數(shù)之和等于右邊系數(shù)之和.答案 B解析 如圖,CD為ACB的角平分線,類型二感受共線向量數(shù)、形二重性在平面幾何探究中的獨(dú)特魅力 解題心得將平面幾何中的有向線段轉(zhuǎn)化