第13講梅涅勞斯定理與塞瓦定理目標(biāo)預(yù)備班教師版

1、13E梅涅勞斯定理與塞瓦定理板塊一梅涅勞斯定理及其逆定理知識(shí)導(dǎo)航梅涅勞斯定理：如果一條直線與 4ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于 F、D、E點(diǎn), ABC叫梅氏三角形.BD CEBD CE =1 .這條直線叫 ABC的梅氏線,DC EA那么”FBAH1 HF2E H3C 作 CG / DFDC FG AE AF.AFBDCE AFFBFG,- 一 = =1.FBDCEA FBFGAF證法二：如中圖，過(guò) A作AG II BD交DF的延長(zhǎng)線于GAF BD CE AG BD DC d 1FB DC EA BD DC AGA、B、C作DE的垂線，分別交于 Hi、H2、H3.AGBC DDBFB

2、 EC FGAFAGBD BDCE DCFB BDDC DC EA AG三式相乘即得:證法三：如右圖，分別過(guò)GAFFEBC DBC D貝U有 AH1 / BH2 / CH3 ,AF BD CE 所以一 .一 .一FB DC EAAH1 BH2 CH 3-，:，一二=1 .BH2 CH3 AH1【例1】夯實(shí)基礎(chǔ)【解析】習(xí)題1.習(xí)題2.直線FEC是4ABD的梅氏線,.AE DC BF- =1 .而ED BC FADC 1AEED笆=1,即生FAED2AFBF-在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)FA EAF .求證： =.FC EBD的直線交AB于點(diǎn)E ,E、F三點(diǎn)，應(yīng)用梅氏定理，知交CA的延長(zhǎng)線

3、于點(diǎn)直線截4ABC三邊于BD =BC ,所以巨EA空=1,即位FCFCEAEB如圖，在 ABC中,ZACB =90)CDDB生上=1,又因?yàn)镋A FCAC =BC . AM為BC邊上的中線,梅涅勞斯定理的逆定理：若F、D、E分別是4ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線的三點(diǎn),如果竺，BD ,生=1 ,則F、D、E三點(diǎn)共線.FB DC EA如圖，在 4ABC中，AD為中線，過(guò)點(diǎn) C任作一直線交 AB于點(diǎn)F ,交AD于點(diǎn)E ,求 證：AE: ED =2AF : FB .AEEBCD _LAM于點(diǎn)D , CD的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)E .求注【解析】C由題設(shè)，在 RtAAMC 中，CD _LAM ,

4、AC =2CM ,由射影定理ADDMAD AM AC2,=-2 4 DM AM CM對(duì)ABM和截線EDC ,由梅涅勞斯定理,AE BCEB CMMDAE=1 ,即DAEB所以些=2.EB【例2】 如圖，在 AABC中，D為AC中點(diǎn)，BE=EF=FC,求證:BM : MN : ND =5:3: 2 .【解析】直線AE是 BCD的梅氏線,.BM DA CE , -=1 .MD AC EB TOC o 1-5 h z .BM 1 2BM 1-一 ，一 =1 ,.=一MD 2 1MD 1直線AF是ABCD的梅氏線,.BN DA CF d=1 , ND AC FB.BN 1 1. BN 4一 一 =1

5、,=一.ND 2 2 ND 1BM :MN : ND =5:3: 2 .習(xí)題 3. 如圖，在 ABC 中，D 為 BC 的中點(diǎn)， AE :EF : FD =4:3:1 .求 AG :GH : AB .【解析】 HFC是4ABD的梅氏線,.AH BC DF ,=1 . HB DC FA D 為 BC 的中點(diǎn)， AE: EF :FD =4:3:1 TOC o 1-5 h z .BC2DF1 DC1FA7 .AH21,AH7一 ，一 =1 ,=. HB17HB2 GEC是 ABD的梅氏線，=1 ,AG 1GB - 2.AG BC DEGB DC EA .AG 2 1 , , - ,一 ,- =1 ,

6、GB 1 1AG:GH :HB =3:4: 2.AG:GH : AB =3:4:9【例3】過(guò)4ABC的重心G的直線分別交 AB、AC于點(diǎn)E、F ,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D作直線AG交BC于M , MG :GA =1:2 , BM =MC .AE BD MG AE BD 1- -=- - = 1 .EB DM GA EB DM 2.EB BD=.AE 2DM同理，CF二旦，F(xiàn)A 2DM而 BD DC =BD BD 2BM =2(BD BM ) =2DM.BE CF BD DC 2DM . =1EA FA 2 DM2DM 2DM【例4】 如圖，點(diǎn)D、E分別在4ABC的邊AC、AB上， AE = EB

7、,AD于點(diǎn) F , Saabc =4。.求 SaeFD .2_ .、=,BD 與 CE 交DC 3對(duì)4ECA和截線BFD ,由梅氏定理得： 空,CD，空=1 ,即EF,2 =1,FC DA BEFC 2 1所以正FC 3所以 Sabfe =_Sabec =一 Saabc，進(jìn)而 Saefd = S ABDSa bef1 q一 Sa abc8114040 =1148習(xí)題4.如圖，在ABC中，三個(gè)三角形面積分別為 5, 8, 10.四邊形AEFD的面積為x,求x 的值.對(duì)4ECA和截線BFD ,由梅氏定理得：CD -AB-，變=1 ,即“，叱竺1=1,解得DA BE FC5 x 152x=22 .6

8、個(gè)小三角形,如圖， ABC被通過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)O的三條直線分為其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，求ABC的面積.對(duì)4ABD和截線COF ,由梅氏定理得：處 BC，DO=1，即&，空工=1 ,所以FB CD OA3 CD 2BC 3BC二一,所以 3 . 所以Saabc =3Sa ABD =3父105=315 .CD 2BD【例5】非常挑戰(zhàn)如圖， 在4ABC中，/A的外角平分線與邊 BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P , NB的平分線與 邊CA交于點(diǎn)Q, /C的平分線與邊 AB交于點(diǎn)R,求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.【解析】AP是ZBAC的外角平分線，則BP AB 小PC CABQ是/ABC的平分線，則C

9、Q BCQA ABCR是/ACB的平分線，則AR CA RB BCMM得AB BCCA ABBP CQ ARPC QA RB因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延長(zhǎng)線上,則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得:P、Q、R三點(diǎn)共線.習(xí)題5.證明：不等邊三角形的三個(gè)角的外角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)是共線的三個(gè)點(diǎn).如圖,AB、AC、BC 于D、E、F .過(guò) C 作 BE 的平行線，貝U /BCP =/CBE =/EBD =/CPB ,所以4BPC是等腰三角形.則 PB=CB .CE PB CB 貝 U有：一二一二一.EA BA BAAD ACBF BA同理一=一；一二一.BA=1 .ACDB CBFC AC所以 C

10、E AD BF CB ACEA DB FC- -BA CB所以D、E、F共線.冷小板塊一塞瓦定理及其逆定理1f a r, - -知識(shí)導(dǎo)航D、E、塞瓦定理：如果 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn) P的連線AP、BP、CP交對(duì)邊或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)F ,如圖，那么 BD CE AF =1 .通常稱點(diǎn)P為4ABC的塞瓦點(diǎn).DC EA FB證明:.直線FPC、EPB分別是 ABD、4ACD的梅氏線,BC DP AF 彳 DB CE AP=1 , CD PA FB BC EA PD兩式相乘即可得：型 CE .空=1 .DC EA FB塞瓦定理的逆定理：如果點(diǎn)D、口 BD CE AF且 =1,那么 AD、DC EA FB

11、E、F分別在 ABC的邊BC、CA、AB上或其延長(zhǎng)線上，并 BE、CF相交于一點(diǎn)（或平行）.如圖,證明:作直線由塞瓦定理得:又已知BD CEDC EABDDCAFCEEAFB=1 ，AF 一 二1F BAFFBAFF B.ABFBF與F重合CF與CF重合AD、BE、CF 相交于一點(diǎn). 若AD與BE所在直線不相交,BDDCEAACEABD CE,又已知ACDC EA則 AD / BEAF如圖.CE AFEA FB=1 ,即 CE 一=1,FBFBAC AFBE/FC , AD II BE / FC .說(shuō)明：三線平行的情況在實(shí)際題目中很少見(jiàn).探索提升0,- 【例6】(1)設(shè)AX , BY , CZ

12、是 ABC的三條中線，求證:(2)若AX , BY , CZ為ABC的三條內(nèi)角平分線.求證： AX , BY , CZ三線共點(diǎn).AYX【解析】(1)由條件知， BX =XC , YC =YA, ZA =ZB .BX CY，空=1 XC YA ZB 根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條中線AX , BY , CZ共點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的重心.(2)由三角形內(nèi)角平分線定理得：三式分別相乘，得： BX CYXC YABX AB CYBCAZACXC - AC ? YA -BA ? ZB- - BCAZ _ AB BC AC _ZB - AC AB BC 根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三角形三內(nèi)角平分線AX ,

13、 BY , CZ共點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的內(nèi)心.習(xí)題6.若AX , BY , CZ分別為銳角 4ABC的三條高線，求證： AX , BY, CZ三線共點(diǎn).【解析】由ABXsCBZ 得：BX=空；由BYAsCZA 得： 絲=9；BZ BCAY AB由AXCSBYC可得：”=里.所以的工上=空上空=1.CX AC BZ AY CX BC AB AC根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條高線AX , BY , CZ共點(diǎn).對(duì)直角三角形、鈍角三角形，同樣也可以證得三條高線共點(diǎn).我們把一個(gè)三角形三條高線所在直線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的垂心.【例7】如圖， M為4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E , CM與AB交于

14、點(diǎn)F ,若AM通 過(guò)BC的中點(diǎn)D ,求證：EF II BC .【解析】對(duì) ABC和點(diǎn)M應(yīng)用塞瓦定理可得:AF BDFB DCCEEA=1 .又因?yàn)锽D = DC ,所以AFFBCECE =1 .進(jìn)而EAAFFBAE=，所以EFEC/ BC .習(xí)題7.如果梯形 ABCD的兩腰AD、BC的延長(zhǎng)線交于 M ,兩條對(duì)角線交于 N .求證：直線MN 必平分梯形的兩底.NFPMD P C板塊三梅涅勞斯定理、塞瓦定理綜合非常挑戰(zhàn)【解析】AB / CD=1 ,AQ =QB.AQQBBE、CF交于點(diǎn)P , AP的延長(zhǎng)線交 BC于點(diǎn)D .求AP :PD的值.EAQBPC-，DP=PC. QB【備選】如圖，E、F分別為ABC的AC、AB邊上的點(diǎn)，且 AE=3EC, BF=3FA,BD CFB DC EA 3 DC 3MD CMBCCM（由塞瓦定理得）AQ QBBCCMDPAQ【解析】 P為ABC的塞瓦點(diǎn).DABCMDDAMDDAAF BD CE 1 BD 1 =一 - - =1BDBDDC -彳，BC 10 , EPB