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1、競賽數(shù)學(xué)解題研究之不等式證明專題一、利用公式法證明不等式一、公式法1、柯西不等式:設(shè)與為任意兩數(shù)組,則 等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例1、設(shè),求的最大值。(第7屆美國數(shù)學(xué)競賽)例2、設(shè)P是銳角內(nèi)一點(diǎn),P到三邊BC、CA、AB的垂足分別是D、E、F求出(并加以證明)使達(dá)到最小值的點(diǎn)P。(1990年,浙江省高中數(shù)學(xué)夏令營)例3、設(shè)P是內(nèi)一點(diǎn),P到三邊BC、CA、AB的垂足分別是D、E、F求出(并加以證明)使達(dá)到最小值的點(diǎn)P。(IMO22,1981)例4、設(shè)為兩兩互不相等的正整數(shù),求證: (IMO20)例5、求出所有的實(shí)數(shù)a,使得存在非負(fù)實(shí)數(shù),滿足下列關(guān)系:, , 例6、設(shè)都是實(shí)數(shù),并且試證:(1963年成
2、都市數(shù)學(xué)競賽試題)2、均值不等式設(shè)為n個(gè)正數(shù),則等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例1、已知的面積S及角A均為定值,記A的兩夾邊為b,c則當(dāng)取最小值時(shí),的值為多少。(1985年長沙市數(shù)學(xué)競賽)例2、設(shè)都是正數(shù),證明:(1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)3、排序不等式:設(shè)與為兩數(shù)組,則,其中是的一個(gè)排列,等號當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立。(同序最大,倒序最小,亂序居中)例1、設(shè)是正數(shù)的一個(gè)排列,證明:(匈牙利數(shù)學(xué)競賽試題)例2設(shè)為兩兩各不相同的正整數(shù),求證:對任何正整數(shù)n,下列不等式成立。(IMO20)例3、設(shè),又設(shè)是的一個(gè)排列,求證:。(IMO17)二、代換法(代數(shù)代換法、三角代換法)1、代數(shù)代換法在幾何問題中,尋求含有不等
3、式所涉及的元素的關(guān)系式,可用代數(shù)法證之。設(shè)的三邊長分別為a,b,c,通過代換。,易得a=y+z,b=z+x,c=x+y則:半周長;面積;外接圓半徑;內(nèi)切圓半徑例1、已知,它的內(nèi)心為I,的內(nèi)角平分線分別交對邊于,求證:。(IMO32-1)例2、已知三角形的三邊長為,其面積為S,求證:,并說明取等號的條件是什么。(IMO3) 例3、已知三角形的三邊長為,證明:并說明取等號的條件是什么。(IMO24,1983)例4、已知三角形的三邊長為,證明:(IMO6) 例5、設(shè)為正數(shù),試證:(83年瑞士數(shù)學(xué)競賽)。2、三角代換法例1、已知求證:例2、設(shè),求函數(shù)的最大值。例3、設(shè)都是實(shí)數(shù),并且試證:(1963年成
4、都市數(shù)學(xué)競賽試題)3、其他類型的代換法例1、設(shè)為正實(shí)數(shù),且滿足,求證:(IMO1995)例2、設(shè)為正實(shí)數(shù),且滿足,證明:(IMO41)三、數(shù)學(xué)歸納法例1、已知為正實(shí)數(shù),且,試證對每個(gè),有 (1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 四、增量法例1、已知三角形的三邊長為,證明:(IMO6) 例2、設(shè)都是正數(shù)且,證明: (1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)例3、設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),且,證明:(IMO25)五、構(gòu)造對偶式法例1、設(shè)為正實(shí)數(shù),求證:。例2、設(shè);都是正實(shí)數(shù),且,證明:(1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競賽)例3、設(shè)都是正實(shí)數(shù),且,求證: (第24屆全蘇數(shù)學(xué)競賽)例4、設(shè)都是正實(shí)數(shù),且,證明:(第6屆河南省高中數(shù)學(xué)競賽)例5、證明:對任意,有不等式 (第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)競賽)。例6、已知,求證:(第31屆IMO預(yù)選題)。六、構(gòu)造函數(shù)法例1、設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),且,證明:(IMO25)例2、設(shè)為正實(shí)數(shù),且滿足,求證:(IMO36,1995)例3、設(shè)為正實(shí)數(shù),求證: (1963
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