高三數(shù)學(xué)_數(shù)學(xué)歸納法(第二、三課時(shí))_

1、2.1 數(shù)學(xué)歸納法 及其應(yīng)用舉例 2 學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的證明原理會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的幾何問題、不等式問題和整除問題了解數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟數(shù)學(xué)歸納法證明有哪些步驟？數(shù)學(xué)歸納法通常解決什么問題？ (與正整數(shù)有關(guān)命題) 回 顧例1.x 1，且x0，nN，n2求證：(1+x)n1+nx證明：1.當(dāng)n=2時(shí)，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右n=1時(shí)不等式成立2.假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 (1+x)k1+kx當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤 1 ，所以1+x0，于是左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x

2、)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊=1+(k+1)x因?yàn)閗x20，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立 例2.證明：2n+2n2，nN+證明：1.當(dāng) n=1時(shí)，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊右邊當(dāng)n=2時(shí)，左=22+2=6，右=22=4，左右；當(dāng)n=3時(shí)，左=23+2=10，右=32=9，左右因此當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立2.假設(shè)當(dāng)n=k(k3且kN)時(shí)，不等式成立即2k+2k2因?yàn)?k+1+2=22k+2=2(2k+2)22k22 =k2+2k+1+k22k3 =(

3、k2+2k+1)+(k+1)(k3) (因k3，那么k30,k+10 k2+2k+1=(k+1)2所以2k+1+2(k+1)2故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)1和2，原不等式對(duì)于任何 nN*都成立例3、求證：當(dāng)n2,nN時(shí)，證明：1、當(dāng)n=2時(shí)，n=2時(shí)原不等式成立2、假設(shè)n=k (k2)時(shí)不等式成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)例4.設(shè)數(shù)列an滿足an+1=an2nan+1,n=1,2,3,(1)當(dāng)a1=2時(shí)，求a2,a3,a4，由此猜測(cè)出an的一個(gè)通項(xiàng)公式,并證明(2)當(dāng)a13時(shí)，證明：對(duì)所有的n1，有ann+2 注意： 此問題解答過程中用到了“觀察-歸納猜測(cè)-證明的思維方式. 1用數(shù)學(xué)歸納法證明

4、，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變 2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種根本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而到達(dá)目標(biāo) 3數(shù)學(xué)歸納法也不是萬能的，也有不能解決的問題1.證明不等式：2.對(duì)于任意大于1的自然數(shù)n，求證：3.已知函數(shù)證明對(duì)任意不小于3的自然數(shù)nn都有穩(wěn)固練習(xí)：例題選講例5 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 34n+252n+1能被14整除分析：(i)容易驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)，341+2521+18541461，能被1

5、4整除(ii)設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，34k+252k+1能被14整除當(dāng)nk1時(shí)，相應(yīng)的表達(dá)式怎樣寫？整除問題34(k+1)+252(k+1)+1從34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 入手34k+23452k+152 怎樣利用34k+252k+1 證明可以被14整除？例題選講例5 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 34n+252n+1能被14整除證明：(i)當(dāng)n1時(shí)，341+2521+18541461，當(dāng)n1時(shí)，34n+252n+1能被14整除(ii)設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，34k+252k+1能被14整除那么當(dāng)nk1時(shí)34(k+1)+252(k+1)+134k+23452

6、k+152 8134k+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2整除問題2、解題關(guān)鍵是把34(k+1)+252(k+1)+1拆分為34k+23452k+152 ，再組合為都能被14整除的兩整式的和。1、此題在解答中應(yīng)用了數(shù)的整除性質(zhì)設(shè)A、B、C是整數(shù)， 1假設(shè)A整除B,那么A整除BC; (2) 假設(shè)A整除B且整除C,那么A整除B+C (34k+252k+1)能被14整除，56能被14整除， 34n+252n+1能被14整除即nk1時(shí)，命題成立 根據(jù)(i)、(ii)可知, 34n+252n+1能被14整除例題選講25(34k+252k+1)

7、5634k+2小 結(jié) 例6：用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2ny2n能被xy整除 例題選講分析 1當(dāng)n=1時(shí)是成立的， 例6：用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2ny2n能被xy整除 例題選講證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，x y = (x+y)(x-y), x - y 能被x+y整除。2222例4與例5這類整除問題，都用到拆項(xiàng)的方法例4把34(k+1)+252(k+1)+1拆成34k+23452k+152 ,例5把拆成 X y 22 不同之處是例4 拆項(xiàng)后可以直接分成兩個(gè)都能被14整除的數(shù)的和，而例5拆項(xiàng)后那么需要增減項(xiàng)后才能分成兩個(gè)都能被xy整除的數(shù)的和.例題選講思考1：例4與例5這類整除問題在由n=k到N=k+1時(shí)的證

8、明方法有什么相同之處？思考2：例4與例5在由n=k到N=k+1時(shí)的證明有什么不同之處？練習(xí)：P67練習(xí) 1 、 25(5 k2k) 32k解析： (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立.即:5 k2k 被3整除. 當(dāng)n=k+1時(shí) 5k+12k+1 =55k22k =5(5 k2k) 52k22k =5(5 k2k) 32k練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將5k+12k+1變形為 專 項(xiàng) 訓(xùn) 練 k k+1例題選講分析：畫出n=2，3，4，5時(shí)的圖形示意圖，觀察交點(diǎn)的變化規(guī)律。例6 平面內(nèi)有n(n1) 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，

9、證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.幾何問題n圖 形圖 形n交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)2345f(2)=1f(3)=3=1+2=f(2)+2f(4)=6=3+3=f(3)+3f(5)=10=6+4=f(4)+4從k條到k+1條交點(diǎn)增加了k點(diǎn)，應(yīng)證f(k+1)=f(k)+k例題選講幾何問題例6 平面內(nèi)有n(n1) 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.證明: (1) 當(dāng)n=2時(shí)兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，又f(2)=2(2-1)/2=1, 因此當(dāng)n =2時(shí)，命題成立。2假設(shè)n=k(k1)時(shí)命題成立，就是說，平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(k)=k(k-1)/2.現(xiàn)在來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況，任取其中的一條直線，記為L,由題設(shè)，L和其它k條直線必有k個(gè)不同交點(diǎn)，又根據(jù)假設(shè)，其它k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2,根據(jù)題設(shè)，這k(k-1)/2個(gè)和這k個(gè)點(diǎn)是不同的交點(diǎn)，從而平面內(nèi)滿足題設(shè)的k+1條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是K(k-1)/2 + k