立體幾何題庫9

1、立體幾何題庫（9）273.如圖9-43, /AOB是二面角 -CD-的平面角, 列問題，并說明理由：CD與平面AOB垂直嗎？平面AOB與、垂直嗎？AE與平面垂直嗎？解析：（1）面 AOB./ AOB是二面角-CD-的平面角，OBXCD, OAXCD,CD，平CD，平面 AOB,CD，平面AOB ,同理 ，平面AOB.CDL平面 AOB AE平面 AOBCOL AE 又AEL OB CE OB:QAE!平面 BCD 即 AE1 .274.如圖9-44,以等腰直角三角形的斜邊 BC上的高AD 為折痕，使 ABD和4ACD折成相垂直的兩個(gè)面.求證：BDXCD, / BAC=60 .圖 9-44解析：

2、 AD是等腰 ABC底邊BC上的高線， ADXBD, ADXDC, / BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角，平面 ABD，平面 ACD,/BDC=90 ,即 BD DC .結(jié) BC,設(shè) AD=a,貝U BD=DC=AD=a, AB 氏a ,I）連ACJ2a , BC J2a, ABC 是正三角形，/ BAC=60 275.直線a、b是異面直線，a,平面a, b,平面3 ,a b,求證：a 3證明設(shè)相交直線a、b確定一個(gè)平面A3=c. b1 3 ,c 3 , b1c.過b上任意一點(diǎn)作直線a,使a/ a . a b, ab.在平面 內(nèi)，bc,b az ,，a C c. a az c.又: a

3、, a ,. c, a ,c 3 , 1. 3 a276.在三棱錐 SABC中，/ ASB= Z BSG= 60 , / ASC= 90 ,且 SA= SB= SC 求證：平 面ASCL平面ABC.證明 取AC的中點(diǎn) O,連SQ BO,由已知，得ASAB A SBCtB是正三角形.BO AB= a,SA = SC= a,又 SOL AC BOL AC,. / SO剛是二面角 S- AC- B 的平面角.又 SA= AB= a,SC =BC= a,AC= AC, . A AC笑 A ACB.2.SO= BO= - a.在 A SOB中，SB= a, . . / SOB= 902即平面SAG1平面

4、ABC.另證：過S作SOL平面 ABC垂足是 O.SA SB= SC,，S在平面內(nèi)的射影是A ABC的外心, 同前面的證明，可知A ABC是直角三角形，O在斜邊AC上.又二.平面SAC經(jīng)過SQ平面 SACL 平面 ABC說明 證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是90。，或利用判定定理證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線 .277.如圖，四面體ABCMBD長(zhǎng)為2,其余各棱的長(zhǎng)均是 B AC- D 的大小.解析： 取 BD的中點(diǎn) O,連 AO OC在A ABD中，AB= AD= 2 ,BD= 2,A ABD是等腰直角三角形， AQL BD,同理OCL BD./AOC是二面角 A- BD-

5、C的平面角又 AO= OC= 1 , AC= J2，.= / AOC= 90 .即二面角 A BD-C 為直二面角(2)二,二面角 A BD-C是直二面角， AOL BD,AOL平面 BCD.AABC平面BCDJ的射影是A BOC. Sa ocb= ,S a abc= 3 , cos 0 =、.即二面角 A BC D 的大小是 arccos -.2233取 AC 的中點(diǎn) E,連 BE、DE.AB= BG AD= DCBD AC, DEI AC,/ BED就是二面角的平面角.在A BDE中，BE= DE=,由余弦定理，得 cos a = - 123二二面角 B AC D的大小是兀-arccos

6、1.3評(píng)析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角， 再利用其所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，或利用面積的射影公式S = S - cos 0求得.如圖所示，在三棱錐SABC中，SA1底面ABCABBC,DE垂直平分SC,且分別交AC SC于D E.又SA= AB, SB= SC.求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù) .SBC的底邊SC的中線，所以解法一：由于SB= BC,且E是SC中點(diǎn)，因此BE是等腰三角形SCL BE.又已知 SC DE, BEA DE= E, SC，平面 BDESC BD,又 SA1底面ABC BD在底面 ABC上，SA! BD.而SAP SC= S

7、,所以BD1平面 SAC.趾=平面SA6平面 BDE DG=面SA6平面 BDCBD DE, BD DC.，/ EDC是所求二面角的平面角. SA，底面 ABC SAI AB, SA! AC.設(shè) SA= a,貝U AB= a,BC= SB= 2 2 a.又AB BC所以AC=J3 a.在 Rt A SAC中 tg / ACS=所以/ ACS= 30又已知DEL SC,所以/ EDQ=60 ,即所求的二面角等于 60解法二：由于SB= BC,且E是SC的中點(diǎn)，因此BE是等腰A SBC的底邊SC的中線，所以SC，BE.又已知 SC DE BEA DE= E. . . SC，平面 BDE SQL B

8、D.由于S底面ABC且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影， 由三垂線定理的逆定理得 BDAC;又EC SC, AC是SC在平面內(nèi)的射影， 所以E在平面ABC內(nèi)的射影在 AC上，由于DC AC,所以DE在平面ABC內(nèi) 的射影在AC上，根據(jù)三垂線定理得 BDL DE. DE 平面BDE DC 平面BDC.，/EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.在直三棱柱 ABC-A B C中，/ BAC= 90 , AB= BB =1,直線 B C與平面 ABC 成30的角.（如圖所示）（1）求點(diǎn)C到平面 AB C的距離；（2）求二面角B-B C-A的余弦值.解析：（1） .ABG- ABC

9、是直三 柱，AC /AC,AC 平面ABC,AC/平面AB C,于是C到平面AB C的距離等于點(diǎn) A到平面 AB C的距離，作 A MU AB于 M.由AC1平面ABA得平面ABC平面ABA,ML平面ABC, AM的長(zhǎng)是 A到平面AB C的距離.AB A A. AB= B B= 1 , LB1 CB= 30 ,B C= 2, BC= 3 , AB = 2 , A M=AA返.即C到平面AB C的距離為2(2)作 AN, BC于N,貝UA業(yè)平面BBCC ,作 NQL BC于Q,貝U AQL BC,/ AQh所AB AC 6 s AC AB , TOC o 1-5 h z 求一面角的平面角， AN

10、= ,AQ= 1.BC 3BCsin / AQN= -AN-= 上6 ,cos / AQN= AQ 33說明 利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，AB= BB =1, .AB=亞，又/ B CB= 30 ,BC=近，B C= 2,AC= 2 .作 AML B C于 M BNL B C于 N,貝U AM= 1 ,一 3 一1Cl：, C陣 1, .MNk .BNL B C,AML B C, . BN 與 AM 所成的角等于二面角 B BC- A 的平面角.設(shè)為 0 .由 AE2 = AhM+BNl+MlN-2AMIX BNX cos 0 得 cos 0 =280如圖所示，

11、四棱錐 P ABCM底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，ZA= 60 , PC,平面 ABCD PC= a,E 是 PA的中點(diǎn).(1)求證平面BDEL平面ABCD.(2)求 口點(diǎn)E到平面PBC的距離.(3)求二面角A EB-D的平面角大小.解析：(1)設(shè)O是AC, BD的交點(diǎn)，連結(jié)EO.ABC皿菱形，O是AG BD的中點(diǎn)，.E是PA的中點(diǎn)，EO/ PC,又PC1平面 ABCDEO面 ABCD EO 平面 BDE，平面 BDEL平面 ABCD.(2)EO / PC PC 平面 PBC.EO/平面PBC于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作O。BC于F,EO面 ABCD EO/ PC, PC 平

12、面 PBC ，平面 PBCL平面 ABCD 于是 OF,平面 PBC OF的長(zhǎng)等于O到平面PBC的距離.由條件可知，OB=亙,OF= a-x = a,則點(diǎn)E到平面PBC的距離為 a.22244過 O作 OGL EB 于 G,連接 AG -OEL AC, BDL AC . . Ad平面 BDE.AG EB(三垂線定理)./AGO二面角 A EB- D的平面角一 1 八 1 八 .3. “ OE OB 3 p 八 1. OE= - PC= a,OB= a . . EB= a. . - OG= a 又 AO= a.tan / AGO AO = 23 a A AGO= arctan 23 . OG 3

13、3評(píng)析本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離，及二面角的求法， 三垂線定理及逆定理的應(yīng)用 .281. 如圖，矩形 ABC由，AB= 2, BC= 2，3,以AC為軸翻折半平面，使二平面角B-ACD為120 ,求：(1)翻折后，D到平面ABC的距離；(2)BD和AC所成的角.解析：研究翻折問題，通常要畫出翻折前的平面圖形和翻折后的空間圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的字母要相同.解 分別過 BD作AC的垂線，垂足是E、F,過F作FB/BE,過B作BB/ AC,交點(diǎn)B,則四邊形EFB B是矩形.-.AC DF, ACL B F,，AC1平面 B FD,即/ DF B就是二面角 B AC- D的平面角

14、，亦即 /DFB = 120 .過 D作 DOL B F,垂足為 O.DO 平面 DFB , Ad 平面 DFB . . DOL AF, DOL 平面 ABC.在 RtAADC中,CD= 2, AD= 23 ,，DF= ABC的分別在內(nèi)，線段AA、BB、CC相交于點(diǎn)O, O在、 之間.若AB=2, AC=1, ABC的面積為./ ABC=60 , OA ： OA =3 ： 2,則解析：圖9-35AABB O，.一 AA、BB確定平面ABAB ,平面ABAB n =AB,平面ABABAB/AB ,同理BCBC , CA/CA ,由于方向相反,ABC與 ABC的三內(nèi)角相等， ABCAm a AB

15、OAABC .且AB OAc1“S ABC 2 1 sin 602297.如圖9-37,兩條異面直線 AB、CD與三個(gè)平行平面分別相交于A、E、B,及C、F、D,又AD、BC與平面的交點(diǎn)為H、G.求證:EHFG為平行四邊形.解析:平面ABCAC平面 ABCEG AC / EG .同理 ACHF./AC/FGAC/HFEG/HF,同理EHFG.故EHFG是平行四邊形.如圖9-38,已知平面 /平面 ，A、CC , B、D , E、F分別為 AB、CD的中點(diǎn).求證： EF /, EF/ .解析：當(dāng)AB、CD共面時(shí)，平面ABCD n =AC,平面ABCD A =BD./, AC/BD. E、F 分別

16、為/ ，同理EF / .當(dāng)AB、CD異面時(shí),E CD ,可在平面ECD內(nèi)過點(diǎn)E作CDCD,與，分別交于C ,D .平面ACBDAC，平面 AC BD BD ,AC /BD . E 是 AB 中點(diǎn),E也是C D的中點(diǎn).平面AB、CD 的中點(diǎn)，EF/AC. AC , EF ，.二 EFCC D D CC ,平面 CC D D DD ,/CC /DD，; E、F 分別為 CD、CD 中點(diǎn)，二. EF/CC , EF /DD . ; CC , EF , EF /,同理 EF / .已知矩形 ABCD過A作SAL平面 AC 再過 A作AE SB交SB于E,過E作EF SC交SC于F求證：AF SC (2

17、)若平面 AEF交SD于G,求證：AGL SD解析： 如圖，欲證 AF SC,只需證SC垂直于AF所在平面，即 SC ，平面AEF,由已知，欲證 SCL平面AEF,只需證 AE垂直于SC所 在平面，即AE1平面 ABC再由已知只需證 AEBC,而要證 AE1 BC, 只需證BCL平面SAB而這可由已知得證證明(1) .SA1 平面 AC, BC 平面 AC,，SA1 BC.矩形 ABCD - AB BCBC，平面 SAB.BC，AE又 SB，AE ，AE，平面 SBCSC，平面 AEFAFXSC(2) . SA1平面 ACSA，DC 又 AD DC DC，平面 SAD，DCL AG又由(1)有

18、SC1平面 AEF, AG 平面AEF.-.SC AG ，AGL平面 SDC . . AGL SD已知四面體 A BCD AO,平面BCD且O為A BCD勺垂心.B&L平面ACD求證：Q是A ACD的垂心.證明如圖所示，連結(jié)BO, AO,.AO,平面BCD O為A BCD的垂心，BOLCD由三垂線定理得 AB CD.又BO,平面ACD由三垂線逆定理得 AC2XCD.同理連結(jié) DO, CO可證BCL AD,即CO, AD.Q是 A ACDB心.正三棱柱 ABC-AiBG的側(cè)面三條對(duì)角線 AB、BC、CA中，ABBC.求證：ABCA.解析：方法1 如圖，延長(zhǎng) BiG至ij D,使CD= BQ.連C

19、D AiD.因ABBC,故ABCD又 BCi = AiCi=CiD,故/BAD= 90 ,于是 DA，平面 AABB.故 AB，平面 AiCD 因此 ABAC.方法2 如圖，取 ABi、AB的中點(diǎn) D、P.連CR CQ、AP、DB,易證 CD,平面 AABiB.由 三垂線定理可得 ABXBD,從而ABAiD.再由三垂線定理的逆定理即得ABXAiC.說明 證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；(3)證明直線平行于平面的垂線;(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面已知：正三棱柱 ABG-A B C中，A

20、B，BC , BC= 2,求: 線段AB在側(cè)面BBCC上的射影長(zhǎng).解析：如圖，取BC的中點(diǎn)D. ADBC,側(cè)面BCCB底面ABC，AD側(cè)面BCC B BD 是斜線 AB在側(cè)面的射影.又AB LBC , BDBC .設(shè) BB = x，在 Rt A BBD 中，BE： BD= BB, BD = *x2 . TOC o 1-5 h z 1 一，1 2. E 是 A BB C 的重心.，BE= BC = - v4 X2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 33x= -1 X2 - VX1 4,解得：x= , .MN/ a,a / a ,又; PM= MQ

21、 . . AN= NQ 同理可證 NR/ b即動(dòng)線段的中點(diǎn)在經(jīng)過中垂線段中點(diǎn)且和中垂線垂直的平面內(nèi)306. 如圖，已知直二棱柱 ABC-A1B1G 中，/ ACB= 90 ,BC= 1, AA= J6, M是 CC 的中點(diǎn)，求證： AB AM.PQLa,PQMN, /J ,RA=RB.”/ BAC= 30 ,如圖，設(shè)異面直線 a、b的公垂線段是 PQ PQ的中點(diǎn)是M過M#解析：不難看出BiCiXT 欲證AM!AB,只要能證Hr-71AAGC, AC是AB在平面AACC上的射影.、AM! AC就可以了 .1C /證：連AC,在直角A ABC中，BC= 1, 1AC =AQ= m3 .設(shè)/ ACA

22、i= a , / MACi= 3.,AA1石 后 tan a = = 2 ,A1C1,36,0 MC1 三 6tg 3 =1 =.A1C132/ BAC 30 ,，/*，. BiK乙才Ci1 1=o,2221 tan tan. COt( a +3 )=tan tan. a +3 = 90 即 AGXAiM.BiCiCiAi, GGBG, . BG，平面 AAGG,AG是AB在平面 AAGG上的射影. AOXAiM,由三垂線定理得 AM!AB.評(píng)注：本題在證 AGXAiM時(shí)，主要是利用三角函數(shù)，證a +3 = 90。，與常見的其他題目不 太相同.307. 矩形ABGD AB= 2, AD= 3,

23、沿BD把A BG所起，使G點(diǎn)在平面ABD上的射影恰好落 在AD上.(i)求證：GDLAB;(2)求GD與平面ABD所成角的余弦值.證明 如圖所示， GML面ABD ADLAB,GDI AB(2)解：: GML面 ABD/GDM GD與平面ABD所成的角，cos / GDM= DM-GD作GNL BD于N,連接MN則MNL BD.在折疊前的矩形 ABGD5上可得DM： GD= GD： GA= AB： AD= 2 : 3.2GD與平面ABD所成角的余弦值為一3308. 空間四邊形 PAB計(jì),PA PR PG兩兩相互垂直，/ PBA= 45 , / PBG= 60 , M為AB的中點(diǎn).(i)求BG與

24、平面 PAB所成的角；(2)求證：ABL平面PMG.解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、 發(fā)現(xiàn)解題思路解 PA XAEJ,/ APB= 90在 RtAAPB中，. / ABP= 45 ,設(shè) PA= a,則 PB= a,AB= J2 a, v PB PG 在 RtAPBC中,. /PBG= 60 ,PB = a.BC= 2a,PC= 73 a. API PC .在 RtAAPC中，AC= JPA2PC = Ja2 (V3a)2 =2a1. PCX PA,PC PB,，PCL平面 PAB,BC在平面 PBC上的射影是 BP./CBP是CB與平面PAB所成的角PBC= 60 ,B*平面 PBA的角為 60 .(2)由上知，PA= PB= a,AC = BC= 2a.M 為 AB 的中點(diǎn)，貝 U AB1 PM A