中心極限定理地內(nèi)涵和應(yīng)用

1、實(shí)用文檔2標(biāo)準(zhǔn)文案中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容， 而且是概率 論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間承前啟后的一個(gè)重要紐帶。 中心極限定理是概率論中討論隨機(jī) 變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析 的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量之和近似服從于正態(tài)分布的條件.。故為了深化 同學(xué)們的理解并掌握其重要性，本組組員共同努力，課外深入學(xué)習(xí)，詳細(xì)地介紹了中心極限定理的內(nèi)涵及其在生活實(shí)踐中的應(yīng)用。、獨(dú)立同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用在對(duì)中心極限定理的研究中，我們不妨由淺入深地來學(xué)習(xí)，為此我們先來研究一下在獨(dú)立同分布條件下的中心極限定理，即如下的定理

2、1: VWWWWMWWWWVMWWVWWWWUWWWWVMWWWMWWUWWWWVMWWWfarWIWWWW /定理l (林德伯格-勒維中心極限定理)設(shè)Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi) ,Var(Xi)20存在，若記nXi n TOC o 1-5 h z n、n則對(duì)任意實(shí)數(shù)y,有(Dy 1；lim P Yny (y)e 2 dt.n. 2證明：為證明(1)式，只須證Yn的分布函數(shù)列弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由定理可知：只須證2的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)。為此，設(shè)Xn 的特征函數(shù)為(t),則Yn的特征函數(shù)為Yn(t)t( ,n)于是, TOC o 1-5 h z 又因?yàn)?E

3、(Xn )=0,Var(Xn )= 2,所以有0=0,(0)特征函數(shù)有展開式_t 212 22(t)(0)(0)(0)- o(t2) 12t2 o(t2)22從而有t2nlimYn 11m 1 o() n 2n nt2而e萬正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔1 ，標(biāo)準(zhǔn)文案這個(gè)中心極限定理是由林德貝格和勒維分別獨(dú)立的在1920年獲得的，定理告訴我們，對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可 以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方 差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。定理1的結(jié)論告訴我們：只有當(dāng)n充分大時(shí)，K才近

4、似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)，而當(dāng)n較小時(shí)，此種近似不能保證。也就是說，在n充分大時(shí)，可用N(0,1) 近似計(jì)算與Yn有關(guān)事件的概率，而n較小時(shí)，此種計(jì)算的近似程度是得不到保障n 2的。當(dāng) YnN(0,1)時(shí)，則有 XiN(n ,n 2),XN(,) i in經(jīng)過多方面的理論研究，我們可知定理 1主要適用于以下兩個(gè)方面；應(yīng)用一：求隨機(jī)變量之和Sn落在某區(qū)間的概率(例如例 2.)。應(yīng)用二：已知隨機(jī)變量之和 Sn取值的概率，求隨機(jī)變量的個(gè)數(shù) no在日常生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)有很多的例子均可用林德伯格 -勒維中心極 限定理來解決。在此我們從中選擇了幾個(gè)典型而又帶有新意的例子，僅供大家參 考。例1

5、.用中心極限定理說明在正常的射擊條件下，炮彈的射程服從或近似服,.1從正態(tài)分布。解：設(shè)a為理論射程，為實(shí)際射程，則 =-a為實(shí)際射程對(duì)理論射程的偏差，顯然 =+a,故只需證 N( ,2)。由于在實(shí)際射擊中，有很多不可控制的隨機(jī)因素在不斷變化， 所以造成了實(shí)際射 程對(duì)理論射程的偏差，若設(shè)1：射擊時(shí)炮身振動(dòng)引起的偏差，2：炮彈外形差異 引起的偏差，3：炮彈內(nèi)火藥的成分引起的偏差，4：射擊時(shí)氣流的差異引起的偏差，n：，顯然有影響實(shí)際射程的因素是大量的，這里的n一定很大，又二炮身的振動(dòng)、炮彈的外形、火藥的成分、氣流的變化.這些因素之問沒有什么關(guān)系(或有微弱關(guān)系)。由它們引起的1,2, n可看做是相互獨(dú)

6、立的。而正常的射擊條件也就是對(duì)射程有顯著影響的因素已被控制，所以 n所起的作用可看做是同樣微小。由中心極限定理可知N( ,2)。; 可正，可負(fù)且相會(huì)均等a p=0.N(0,2)則 a N(a, 2)從這個(gè)例子來看，雖然看上去有點(diǎn)復(fù)雜，但是我們還是很清晰地可以看到如 果一個(gè)隨機(jī)變量能表示成大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，并且其中每一個(gè)隨機(jī)變量所起 的作用都很微小，則這個(gè)隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布， 這給我們的計(jì)算帶 來很大方便?，F(xiàn)在的旅游、汽車等行業(yè)越來越受歡迎，為了體現(xiàn)中心極限定理的重要性， 我們不妨從現(xiàn)實(shí)生活中的熱門行業(yè)說起，看看它到底起到怎樣的重要性。例2.某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車服從參數(shù)為=

7、2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營(yíng)汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率。1解：設(shè)i為第i大出售的汽車的數(shù)量，則 12365為一年的總銷量，由 E( i) Var( i) 2,知 E( ) 365X2=730利用中心極限定理得700730P( 700)=1-P( 0700) = 1 ( &0 )=1-(- 1. 11)=0.8665從此例可以看出，中心極限定理揭示了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的. 內(nèi)在關(guān)系，即離散型隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布 。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中的很多方面，我們都能清晰地看到中心極限定理的存 在。那么在理論中，我們也可用它來解決一些

8、比較抽象的問題， 比如下面的極限 求解問題。例3.利用中心極限定理證明：lim enk 0 k!1證明：設(shè) k獨(dú)立同分布且kP(1), k=1, 2貝U a=E k =l ,2 =Var k =1n,由泊松分布的可加性知kP(n)k 1nn nk o k!P k n P i kk 1k 0 i 1又二.由中心極限定理知:lim e nk 0 k!如果在林德伯格-勒維中心極限定理中，Xn服從二項(xiàng)分布，就可以得到以下 的定理：定理2 (棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理) 設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中，事件 A在 每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p (0p1),記Sn為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且2記Yn* Sn np

9、,則對(duì)任意實(shí)數(shù) y,有 iim P(Yn* y) (y) ，e 三dt 、npq1nm2該定理是林德伯格-萊維中心極限定理的特殊情況，是最早的中心極限定理。大約在1733年，棣莫弗對(duì)p=l證明了上述定理，后來拉普拉斯把它推廣至2p是任意一個(gè)小于l的正數(shù)上去。它表明，n充分大時(shí)，丫； 與上p分布近似服從與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，常稱為.npq“二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n充分大時(shí)， 我們可以利用該定理的結(jié)論來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。由于此定理有更廣泛的實(shí)際應(yīng)用，我們將在下面的部分具體地分析棣莫弗- 拉普拉斯中心極限定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。、獨(dú)立不同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用前面

10、我們已經(jīng)在獨(dú)立同分布的條件下，解決了隨機(jī)變量和的極限分布問題。在實(shí)際問題中說諸Xi具有獨(dú)立性是常見的，但是 很難說諸Xi是“同分布1的隨機(jī)變量。比如在我們的生活中所遇到的某些加工過程中的測(cè)量誤差Yn,由于其n是由大量的“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素Xi疊加而成的，即YnXi ,諸Xii 1間具有獨(dú)立性，但不一定同分布。 在此，我們還要深入地研究在獨(dú)立不同分布的前提下，各隨機(jī)變量和的極限分布問題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件。n為使極限分布是正態(tài)分布，必須對(duì)YnXi的各項(xiàng)有一定的要求。譬如若i 1允許從第二項(xiàng)開始都等于0,則極限分布顯然由Xi的分布完全確定，這時(shí)就很難 得到什么有意思的結(jié)果。

11、這就告訴我們， 要使中心極限定理成立，在和的各項(xiàng)中0下面我不應(yīng)有起突出作用的項(xiàng)，或者說，要求各項(xiàng)在概率意義下“均勻地小” 們來分析如何用數(shù)學(xué)式子來明確表達(dá)這個(gè)要求。設(shè)X n是一個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列， 它們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xi) i, Var(Xi)1,2,.要討論隨機(jī)變量的和YnXi ,我們先將其標(biāo)準(zhǔn)化，即將它減去均值、除以標(biāo)準(zhǔn)差，由于E(Yn)1(Yn) =，.Var(Yn) = . 12且記（Yn） =Bn,則Yn的標(biāo)準(zhǔn)化為二Yn（2BnX八i i oBnX如果要求中各項(xiàng)iBn“均勻地小”，即對(duì)任意的0,要求事件AniXi i Xi率趨于0.為達(dá)到這個(gè)目的，我們要求Bn發(fā)

12、生的可能性小，或直接要求其概lim P(max Xi n1 i nBn)0。因?yàn)镻(max Xi1 i nnBn) P( (Xi ii 1nBn)P(Xii 1若設(shè)諸Xi為連續(xù)隨機(jī)變量其密度函數(shù)為Pi(X)則上式右邊i 1 x因此,i BnPi(x)dx只要對(duì)任意的12B20,有B (xBni)2Pi(x)dxlimn1 n2BBn i 1Bn,、2(x i) Pi(x)dx 0 ,(2)就可保證Yn中各加項(xiàng)“均勻地小”。上述條件（2）稱為林德伯格條件f,林德伯格證明了滿足（2）條件的和Yn 的極限分布是正態(tài)分布，這就是下面給出林德伯格中心極限定理。i) x) 、2t2x e 2 dt .定理

13、3(林德伯格中心極限定理)設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列設(shè)Xn滿足(2) 林德伯格條件，則對(duì)任意的x,有1 n lim P( (Xi nBn i 1假如獨(dú)立隨機(jī)變量序列X n具有同分布和方差有限的條件，則必定滿足以 上(2)林德伯格條件，也就是說定理l是定理3的特例。這一點(diǎn)是很容易證明 的：設(shè)X n是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,為確定起見，設(shè)諸 Xi是連續(xù)隨機(jī)變量，其共同的密度函數(shù)為p(x),.這時(shí)Bn,由此得2(x i) p(x)dxBn2-(x i) p(x)dx.: n因?yàn)榉讲畲嬖?即 Var(Xi)(x)2 p(x)dxn(x、2i) p(x)dx 0,故林德伯格條所以其尾部積分一定有l(wèi)im ,

14、n x件滿足。林德伯格條件雖然比較一般，但該條件較難驗(yàn)證，因此在實(shí)際的應(yīng)用中，我 們都不怎么使用林德伯格中心極限定理。在此情況下，為了使獨(dú)立不同分布的中心極限定理便于運(yùn)用，我們深入研究了下面的李雅普諾夫(Lyapunov)中心極限 定理。我們之所以講李雅普諾夫中心極限定理便于運(yùn)用，是因?yàn)槔钛牌罩Z夫條件比較驗(yàn)證，而且它只對(duì)矩提出要求，為我們的求解帶來了極大的方便之處。為此 我們特地分一節(jié)內(nèi)容來研究它，希望它的出現(xiàn)能引起我們的極大重視。三、李雅普諾夫中心極限定理的特殊應(yīng)用定理4 (李雅普諾夫中心極限定理)設(shè)Xn為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，并且E Xkk , Var (X k)(k1,2, ,n),記Bnk

15、k ,若存在0,滿足limnnE(Xkk 10,則隨機(jī)變量之和X k的標(biāo)準(zhǔn)化變量ZnnXkk 1Var (nE( Xk)k 1nXk) k 1Xkk 1BnnkU一的分布函數(shù)Fn(x),對(duì)于任意的X滿足 TOC o 1-5 h z nnx Ttx) e2dt(x)02它表明，在定理?xiàng)l件下，隨機(jī)變量Xkklim Fn(x) lim P(U7一nnBn這個(gè)定理是李雅普諾夫在1900年提出的nnXkkZnuJ一,當(dāng)n很大時(shí)，近似地服從正態(tài)分布 N(0,1),由此，當(dāng)n很大BnnnnX 22 2V.2、時(shí)， Xk BnZnk近似地服從正態(tài)分布N(k，Bn)。也就是說，無k 1k 1k 1論各個(gè)隨機(jī)變量

16、Xk(k 1,2, ,n)服從什么分布，,只要滿足定理?xiàng)l件,，那么它們n的和Xk,當(dāng)n很大時(shí)，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量 _ _ _ _J _ _ _ _k 1在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因。在實(shí)際生活的很多問題中，所考慮的隨機(jī)變量往往回以表示成很多個(gè)獨(dú)立的. 隨機(jī)變量之和。例如：在任一指定時(shí)刻，一個(gè)城市的耗電量是大量用戶的耗電量 的總和；一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成 的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往比較在意錢的花費(fèi)，那么在器件價(jià)格預(yù)算方面，李 雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請(qǐng)看下面這例題。例4.某

17、種器件使用壽命(單位：小時(shí))服從指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小 時(shí),具體使用時(shí)是一器件損壞后立即更換另一個(gè)新器件 ，如此繼續(xù)，已知每個(gè)器件 進(jìn)價(jià)為a元。試求在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作多少預(yù)算才可能有 95%勺把握一年夠用 (假定一年有2000個(gè)工作小時(shí))？網(wǎng)解：設(shè)第k個(gè)器件使用壽命為Xk,由于Xk服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，且111E(XJ 20,所以 E(XJ , 一，那么，Var(XJ = 400。202假定一年至少準(zhǔn)備n件才能有95%勺把握包用，k 1,2, ,n,XX2, ,Xn,相互獨(dú)立，記YnnXin 1,由李雅普諾夫中心極限定理知 PYn2000 0.95即 0.05= PYn2000

18、收丫0 20n2000 200(200O 20a)20 n 20 n20、n200020nn 100n 100 ,() 0.95 0 旦!彳寸：尸 1.64, n 118 、nn所以，在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作118件預(yù)算才可能有95%勺把握一年夠用。四、中心極限定理在二項(xiàng)分布中的特殊應(yīng)用由于二項(xiàng)分布在實(shí)際問題中有著大量的應(yīng)用，因此在這些中心極限定理中， 棣一拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的問題類型也特別多。如果在棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理中，我們將二項(xiàng)分布看成是n個(gè)獨(dú)立同分布的01分布的和，于是我們能得到下面的棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，即如下的兩個(gè)定理:設(shè) XB(n,p),則局

19、部極限定理當(dāng)n較大時(shí)，P(X k)積分極限定理當(dāng)n較大時(shí)，P(a X b)F(b) F(a)12 npq(k np)22npqb np.npqa np,npq其中 q 1 p, k 0,1,2,n該定理的具體應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面: 應(yīng)用一：導(dǎo)出貝努利大數(shù)定理。應(yīng)用二：近似計(jì)算服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率。應(yīng)用三：已知服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計(jì)該范圍(或該范圍的最大值)。應(yīng)用四：與用頻率估計(jì)概率有關(guān)的二項(xiàng)分布的近似計(jì)算。這里主要闡述棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)二項(xiàng)分布的 應(yīng)用問題。在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了 “二項(xiàng)分布的泊松近似”，即用泊

20、松分布 來作為相應(yīng)的二項(xiàng)分布的近似。在二項(xiàng)分布 b(n, p)中，當(dāng)n較大，而p又較小的情況下時(shí)，我們有以下的泊松定理。定理5 (泊松定理)在n重伯努利試驗(yàn)中，記事件 A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的 概率為Pn (與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān))，如果當(dāng)n 時(shí)，有nPn,則n1nm kkPnk (1Bl k k!而在二項(xiàng)分布b(n,p)中，當(dāng)n.較大,.p又不小時(shí) 且當(dāng)p處在np 5和 n(1 p) 5時(shí)，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗-拉普拉斯中心極 限定理。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在各個(gè)方面都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在管理中也有著不小的應(yīng)用，請(qǐng)看下面的這例題：例5.水房擁擠問題：假設(shè)紹興文理學(xué)院要建新

21、校區(qū)，里面有學(xué)生5000人,只有一個(gè)開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象， 為此校學(xué)生會(huì)特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè) 學(xué)生在傍晚一般有1 %的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭 45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù) 處遇到的問題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以 95%以上的概率彳證不擁擠？ 國(guó)分析：首先，我們先設(shè)5000個(gè)學(xué)生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機(jī)變量 X,未 新裝水龍頭前，擁擠的概率為 p。因?yàn)轭}中占有水龍頭的人和人之間是獨(dú)立的， 而且占用水龍頭的概率都一樣為0.01。因此比較容易看出，此題中的 X是服從二項(xiàng)分布

22、的，所以我們可用二項(xiàng)分布的方法將 p的具體值求出來，即有了下面的 解法一：解法一：(1).因?yàn)閄 B(5000,0.01),所以有于是有p P( 45) 1 P(0.欲求m,使得P(0m 5000k 5000 k0.01 0.99k 0 kP X k 5000 0.01k (0.99)5000 k ,其中 k 0,1,2,.5000 , k45 5000 k 5000 k45) 1-0.01 0.99k 0 km) 0.95 ,貝5000050000.01 0.990.950這種方法可以把p和m的具體值求出來。但是，用這種方法做這道題的時(shí)候， 在求X等于某一個(gè)值的時(shí)候都比較困難， 更何況求上千

23、個(gè)呢，所以這種方法理論 上可以，但是實(shí)際上是行不通的。當(dāng)二項(xiàng)分布不好求時(shí)，我們還學(xué)過用泊松分布來近似，因?yàn)椴此煞植际怯斜?可查的，那么這道題可不可以用泊松分布來近似呢？應(yīng)該說是不可以的，因?yàn)?二項(xiàng)分布去近似泊松分布的時(shí)候，,要求二項(xiàng)分布中的n要比較大，p要比較小，而且np也耍不大，而本題中，np=50,顯然是太大了，所以用泊松分布近似是行不 通的。那么現(xiàn)在再讓我們看看中心極限定理，它是可以用來近似 二項(xiàng)分布b(n,p)的，只要該二項(xiàng)分布中的n較大,.p又不小時(shí)，且當(dāng)p處在np 5和n(1 p) 5時(shí), 就可以用正態(tài)分布來近似。而這里，np 50, n(1 p) 4950，均滿足中心極限 定理的

24、條件，故有了下面的解法二：解法二：(1).設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為 X,則X B(5000,0.01)擁擠的概率是455000k 5000 kp P( 45) 1 P(045) 1-0.01 0.99k 0 k由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，n=5000, p=0.01 , q=0.99 ,np 50,1npq 7.04故 TOC o 1-5 h z 45 500 50P(045)()()( 0.71)( 7.1) 0.23897.047.04即擁擠的概率為P( 45) 1 0.2389 0.7611(2).欲求m,使得P(0 m) 0.95 ,則由棣莫弗一拉普拉斯中心極

25、限定理m 500 50、可知，()() 0.957.047.04由于(0 50)( 7.09) 07.04即(m 50) 0.957.04查表得上應(yīng) 1.6457.04即 m 61.6故需裝62個(gè)水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠。從這一題中，我們可明顯地看出中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中起到很重要的作 用，尤其是棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理能很好地處理好二項(xiàng)分布中的近似計(jì) 算問題。正所謂“人有旦夕禍福，月有陰晴圓缺”，我們生活在這世上并總不是那么 一帆風(fēng)順的，因此很多人都想去買保險(xiǎn)，為的只是以防萬一。而很多年長(zhǎng)的人， 也會(huì)選擇去買養(yǎng)老保險(xiǎn)。那么我們是不是很想知道中心極限定理 柞保險(xiǎn)方面的應(yīng)一

26、 用呢？請(qǐng)看以下這道例題：例6.某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi)，在一 年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 20萬元。問： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于1010萬元，200 ,、,3萬元的概率各為多大？分析：首先，我們先設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機(jī)變量X,保險(xiǎn)公司虧本的概率為P。因?yàn)轭}中人和人之間是獨(dú)立的，而且死亡的概率都一樣為0.002,因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，我們也可用二項(xiàng)分布的方法把p具體地求出來，但要想求出P X k 2500 0.002k (0.998)2500 k絕非易事，更

27、何 k況還要算上幾千個(gè)呢？為此我們不妨用中心極限定理來求解它。解：設(shè) X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則 X B(2500,0.002) , np 5 , np(1 p) 1.99(1)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知15- 5、P(萬本尸 P(20X 300) P(X 15) 1 -P(X 15) 1- ( .) 1- (4.48)4.99=1-0.99993=0.00007所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率為 0.00007,幾乎為0。(2)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知10 5P(利潤(rùn) 100)P(300 20X 100) P(X 10)( f ) 95 5、P(利潤(rùn) 200) P(300

28、 20X 200) P(X 5)( ,) 0.54.99以上結(jié)果說明，保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧本.不過，關(guān)鍵之處是對(duì)死亡率的估 計(jì)必須正確，如果所估計(jì)的死亡率比實(shí)際低，甚至低得多，那么，情況就會(huì)不同。五、中心極限定理與切比雪夫不等式的聯(lián)系與區(qū)別前面我們已經(jīng)學(xué)過了切比雪夫不等式，為了更好地與中心極限定理相比較， 我們先來熟悉一下何為切比雪夫不等式。切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有有限期望 和方差Var(X),則對(duì)與任 意正數(shù)，有如下的不等式成立P(l XVar (X)2從上述切比雪夫不等式的定義可知，它和中心極限定理一樣，都可以對(duì)所求的問題進(jìn)行適度地估計(jì)，而且切比雪夫不等式和中心極限定理都要用到變量

29、的期 望 與方差Var(X)。但不同的是，切比雪夫不等式在應(yīng)川中，是柞隨機(jī)變量X 的分布未知的情況下，.只利用.X的期望與方差，,即可對(duì).X.的概率分布進(jìn)行估值， 但往往這種情況下估出來的值是 粗糙的。而中心極限定理 在生活中的應(yīng)用則是對(duì) 于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列Xn,不管Xi(i 1,2,.,n)服從什么分布，只要它們. 是服從口二分布且有數(shù)學(xué)期望和方差一，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之 n和 Xi就近似地服從正態(tài)分布N( , 2)。為了加深對(duì)它們的理解，請(qǐng)先看以下 i 1這道例題：例7.假設(shè)電站電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是 0.7, 而假定開關(guān)之間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜

30、晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率?；胤治觯菏紫?，我們先設(shè)夜晚開著的燈數(shù)為隨機(jī)變量 X,夜晚開著的燈數(shù)在6800 與7200之間的概率為P。因?yàn)轭}中燈和燈之間是獨(dú)立的，而且開著的概率都一 樣為0.7,因此比較容易看出，此題中的 X是服從二項(xiàng)分布的，所以我們可用二 項(xiàng)分布的方法將P的具體值求出來，但是根據(jù)第四部分的分析，我們可知算一個(gè) PX k10000 07k(0.3)10000 k就很困難，那么如果要算3999個(gè)這樣的值是不是顯得不太實(shí)際呢？仔細(xì)觀察這題的問題， 不難發(fā)現(xiàn)，最后所求的區(qū)間是關(guān)于隨 機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX對(duì)稱的區(qū)間，而且是要估計(jì)最后的結(jié)果，因此我們可以 用切比雪夫不等式

31、來估計(jì)。我們都知道，切比雪夫有著一個(gè)重要的不等式，即P|X E(X) |1 Var!X),所以有著下面的解法一:解法一：因?yàn)閄 B(10000,0.7),所以E(X) 10000* 0.7 7000, Var(X) 10000* 0.7*0.3 2100，因此，根據(jù)切比 雪夫不等式，有2100p P(6800 X 7200) P(| X 7000 | 200) 120.9475200因此由切比雪夫不等式估計(jì)出的最后結(jié)果為p 0.9475,1,區(qū)間長(zhǎng)度較短，結(jié)果較好。切比雪夫不等式估計(jì)出來的結(jié)果是比較好，但是這還只是估計(jì)出結(jié)果屬于的區(qū)間，到底結(jié)果是多少還是不知道。要想知道具體結(jié)果是什么，還是用中

32、心極限定理來研究比較簡(jiǎn)單。根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的積分極限定理，我們可知例題的條件 符合它，為此我們有如下的解法：解法二：因?yàn)閄 B(10000,0.7),所以根據(jù)積分極限定理有，p P(6800 X 720。F(7200 F(680。=(4.37)( 4.37) 2 (4.37) 1,7200 7000. 21006800 7000. 2100據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，有4.370.999993788 ,所以p P(6800 X 720C) 2 0.999993788 1 0.999987576從這一題中，我們可明顯地看出切比雪夫不等式和中心極限定理在 處理二項(xiàng) 分布中的近似計(jì)算問題時(shí)

33、都有著極其強(qiáng)大的功能。但是相比于切比雪夫不等式， 我們也可明顯地看出中心極限定理的精確與方便。例8.現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1,今在其中任選6000粒，試分別用6切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子中良種所占的比例與 之差小于1%勺概率是多少？ 6-分析：我們不妨先設(shè)6000粒種子中良種的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,這些種子中而且即有良種所占的比例與1之差小于1%勺概率為P。因?yàn)轭}中良種之間是獨(dú)立的, 6 1一 .，,， 一， 是良種的概率都一樣為釘所以我們可知，X服從于二項(xiàng)分布,1 X B(6000)。6解：設(shè)選出的種子中的良種粒數(shù)為 X,則X B(6000,-),于是,6116| 10

34、05000XE(X) 1000,Var(X) ，要估計(jì)的概率為 P|66000(1)用切比雪夫不等式估計(jì)此概率：X11P| -I-P| X 10001 6060006100=0.7685。即用切比雪夫不等式來估計(jì)此概率不小于Var(X)60250001636001 0.23150.76851、B(6000 -),可用正態(tài)61060 1000、5000/ 6940 1000.5000/6(2)由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，對(duì)于二項(xiàng)分布分布N。,5000)來近似，于是所求概率為6X 11P|I P940 X 10606000 6 1002 (2.0785) 1 0.9625。即用中心極限定理來估計(jì)此概率不小于0.9625。從上例看出：用切比雪夫不等式只能得到要求的概率不小于0.7685,而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于 0.9625 ,從而知道由切比雪夫不等式 得到的下界是十分粗糙的，.中心極限定理的近似結(jié)果更為精確