第5講套利定價(jià)模型(APT)

1、第5講套利定價(jià)模型(APT)本講的主要內(nèi)容： 1、CAPM模型的缺陷 2、因素模型 3、套利組合 4、APT模型 5、CAPM與APT的比較一、CAPM的局限性（一）相關(guān)假設(shè)條件的局限性 1.市場無摩擦假設(shè)和賣空無限制假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符； 2.投資者同質(zhì)預(yù)期與信息對稱的假設(shè)意味著信息是無成本的，與現(xiàn)實(shí)不符； 3.投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)過于嚴(yán)格。（二）CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)問題 1.市場組合的識別和計(jì)算問題 CAPM刻畫了資本市場達(dá)到均衡時(shí)資產(chǎn)收益的決定方法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特點(diǎn)是，均衡資產(chǎn)的收益率取決于市場資產(chǎn)組合的期望收益率。理論上，市場資產(chǎn)組合定義為所有資產(chǎn)的加權(quán)組合，每

2、一種資產(chǎn)的權(quán)數(shù)等于該資產(chǎn)總市場價(jià)值占所有資產(chǎn)總價(jià)值的比重。但實(shí)際上，市場資產(chǎn)涵蓋的范圍非常廣泛，因此，在CAPM的實(shí)際運(yùn)用中要識別一個(gè)真正的市場組合幾乎是不可能的。 一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家采用一個(gè)容量較大的平均數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾工業(yè)指數(shù)）作為市場資產(chǎn)組合的替代，對CAPM進(jìn)行了檢驗(yàn)，得出的結(jié)果卻與現(xiàn)實(shí)相悖。 2.單因素模型無法全面解釋對現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益率決定的影響因素 Rosenberg and Marshe（1977）的研究發(fā)現(xiàn)，如果將紅利、交易量和企業(yè)規(guī)模加入計(jì)量模型，則系數(shù)會更有說服力。 Basu(1977)發(fā)現(xiàn)，低市盈率股票的期望收益率高于資本資產(chǎn)定價(jià)模型的估計(jì)；Banz(1981)的實(shí)證研究表明，股

3、票收益率存在“規(guī)模效應(yīng)”，即小公司股票有較高的超常收益率；Kleim（1983）發(fā)現(xiàn)股票收益呈季節(jié)性變動，即存在季節(jié)效應(yīng)。 上述兩方面的局限性都削弱了CAPM對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的解釋能力。（三）關(guān)于CAPM檢驗(yàn)的羅爾批評（Rolls Critique） Roll（1977）對CAPM提出了如下批評意見： 1.對于CAPM唯一合適的檢驗(yàn)形式應(yīng)當(dāng)是：檢驗(yàn)包括所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在內(nèi)的市場資產(chǎn)組合是否具有均值-方差效率。 2.如果檢驗(yàn)是基于某種作為市場資產(chǎn)組合代表的股票指數(shù)，那么如果該指數(shù)具有均值-方差效率，則任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都會落在證券市場線上，而這是由于恒等變形引起的，沒有實(shí)際意義； 3.如果檢驗(yàn)是基于某種無效

4、率的指數(shù)，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的任何情形都有可能出現(xiàn)，它取決于無效指數(shù)的選擇。 該結(jié)論斷言，即便市場組合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能夠證明單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均衡收益同風(fēng)險(xiǎn)、市場組合之間存在某種有意義的關(guān)系。 因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理上的模糊，CAPM是無法檢驗(yàn)的。二、套利定價(jià)理論簡介 羅斯（Ross，1976）給出了一個(gè)以無套利定價(jià)為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價(jià)模型，也稱套利定價(jià)理論模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該模型由一個(gè)多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而出，其理論基礎(chǔ)為一價(jià)定律（The Law of One Price），即

5、兩種風(fēng)險(xiǎn)收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價(jià)格出售。該模型推導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動則保證了市場均衡的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，APT對CAPM中的投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)條件作了放松，從而較CAPM具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋能力。三、因素模型 套利定價(jià)理論認(rèn)為，證券收益是跟某些因素相關(guān)的。為此，在介紹套利定價(jià)理論之前，我們先得了解因素模型（Factor Models）。因素模型認(rèn)為各種證券的收益率均受某個(gè)或某幾個(gè)共同因素影響。各種證券收益率之所以相關(guān)主要是因?yàn)樗麄兌紩@些共同的因素起反應(yīng)。因素模型的主要目的就是找出這些因素并確定證券收益率對這些因素變動的敏感度

6、。（一）單因素模型 單因素模型認(rèn)為，證券的收益率只受一種因素的影響。對于任意的證券 i，其在t時(shí)刻的單因素模型表達(dá)式為： （5-1） 其中 表示證券i在t時(shí)期的收益率，F(xiàn)t表示該因素在t時(shí)期的預(yù)測值，bi表示證券i對該因素的敏感度。 為證券i在t時(shí)期的隨機(jī)變量，其均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為 ， i為常數(shù)，它表示要素值為0時(shí)證券i的預(yù)期收益率。因素模型認(rèn)為，隨機(jī)變量與因素是不相關(guān)的，且兩種證券的隨機(jī)變量之間也是不相關(guān)的。 根據(jù)式（5-1），證券i 的預(yù)期收益率為： （5-2） 其中 表示該要素的期望值。 根據(jù)式（5-1），證券i 收益率的方差為： （5-3） 其中 表示F因素的方差， 表示隨機(jī)變量的方差

7、， 式（5-3）表明，某種證券的風(fēng)險(xiǎn)等于因素風(fēng)險(xiǎn) 加上非因素風(fēng)險(xiǎn) 。 在單因素模型下，證券i和j收益率的協(xié)方差為： （5-4） 單因素模型可以大大簡化馬科維茨模型中確定切點(diǎn)處投資組合的麻煩。 在單因素模型中，證券組合的方差等于： （5-4） 其中，（二）兩因素模型 兩因素模型認(rèn)為，證券收益率取決于兩個(gè)因素，其表達(dá)式為： 其中,F1t和F2t分別表示影響證券收益率的兩個(gè)因素在t時(shí)期的預(yù)測值,bi1和bi2分別表示證券i對這兩個(gè)因素的敏感度. 證券i的預(yù)期收益率為： 證券i收益率的方差為： 其中COV(F1,F2)表示兩個(gè)因素F1和F2之間的協(xié)方差。 證券i和證券j的協(xié)方差為：（三）多因素模型 多

8、因素模型認(rèn)為，證券i 的收益率取決于K個(gè)因素，其表達(dá)式為： 應(yīng)該注意的是，與資本資產(chǎn)定價(jià)模型不同，因素模型不是資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型。在實(shí)際運(yùn)用中，人們通常通過理論分析確定影響證券收益率的各種因素，然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用時(shí)間序列法、跨部門法、因素分析法等實(shí)證方法估計(jì)出因素模型。四、套利組合 根據(jù)套利定價(jià)理論，在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下，投資者將利用組建套利組合的機(jī)會來增加其現(xiàn)有投資組合的預(yù)期收益率。那么，什么是套利組合呢？ 根據(jù)套利的定義，套利組合要滿足三個(gè)條件： 條件1： 套利組合要求投資者不追加資金,即套利組合屬于自融資組合.如果我們用xi表示投資者持有證券i金額比例的變化(從而也代表證券i在套利

9、組合中的權(quán)重,注意xi可正可負(fù))，則該條件可以表示為： 條件2： 套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風(fēng)險(xiǎn)。證券組合對某個(gè)因素的敏感度等于該組合中各種證券對該因素敏感度的加權(quán)平均數(shù)，因此在單因素模型下該條件可表達(dá)為： 在雙因素模型下，條件2表達(dá)式為： 在多因素模型下，條件2表達(dá)式為： 條件3： 套利組合的預(yù)期收益率應(yīng)大于零，即：例題： 某投資者擁有一個(gè)3種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為500萬，投資組合的總價(jià)值為1500萬元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預(yù)期收益率分別為16%、20%和13%，其對該因素的敏感度(bi)分別為0.9、3.1和1.9。請問該投資者能否修

10、改其投資組合，以便在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下提高預(yù)期收益率。解： 令三種股票市值比重變化量分別為x1、x2和x3。根據(jù)(條件1)和(條件2)我們有： 上述方程組有多種解.作為其中的一個(gè)解，我們令x1 =0.1，則可解出x2=0.083, x3=0.183。 為了檢驗(yàn)這個(gè)解能否提高預(yù)期收益率，我們把這個(gè)解用(條件3)檢驗(yàn)。則有： 0.10.16+0.0830.20.1830.13=0.881% 由于0.881%為正數(shù)，因此我們可以通過賣出274.5萬元的第三種股票(等于0.1831500萬元)同時(shí)買入150萬元第一種股票(等于0.11500萬元)和124.5萬元第二種股票(等于0.0831500萬元)

11、就能使投資組合的預(yù)期收益率提高0.881%。五、套利定價(jià)模型 投資者的套利活動是通過買入收益率偏高的證券同時(shí)賣出收益率偏低的證券來實(shí)現(xiàn)的，其結(jié)果是使收益率偏高的證券價(jià)格上升，其收益率將相應(yīng)回落；同時(shí)使收益率偏低的證券價(jià)格下降，其收益率相應(yīng)回升。這一過程將一直持續(xù)到各種證券的收益率跟各種證券對各因素的敏感度保持適當(dāng)?shù)年P(guān)系為止。下面我們就來推導(dǎo)這種關(guān)系：（一）單因素模型的定價(jià)公式 投資者套利活動的目標(biāo)是使其套利組合預(yù)期收益率最大化(因?yàn)楦鶕?jù)套利組合的定義,他無需投資,也沒有風(fēng)險(xiǎn))。而套利組合的預(yù)期收益率為： 但套利活動要受到式(條件1)和(條件2)兩個(gè)條件的約束。根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函

12、數(shù)： L取最大值的一價(jià)條件是上式對xi和 的偏導(dǎo)等于零，即： 由此我們可以得到在均衡狀態(tài)下 和 的關(guān)系： （5-5） 這就是在單因素模型APT定價(jià)公式,其中 是常數(shù)。 從式(5-5)可以看出 和 必須保持線性關(guān)系，否則的活，投資者就可以通過套利活動來提高投資組合的預(yù)期收益率。式（5-5）可以用下圖來表示： APT資產(chǎn)定價(jià)線BSbibB=bS式（5-5）中的 代表什么意思呢？ 我們知道，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，即： 。由于式（5-5）適用于所有證券包括無風(fēng)險(xiǎn)證券，而無風(fēng)險(xiǎn)證券的因素敏感度 ，因此根據(jù)式（5-5）我們有： 。由此可見，式（5-5）中的 一定等于 ，因此式（5-5）可重新表

13、示為： （5-6） 為了理解 的含義，我們考慮一個(gè)純因素組合 其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我們有： 由此可見， 代表因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，即擁有單位因素敏感度的組合超過無風(fēng)險(xiǎn)利率部分的預(yù)期收益率。為表達(dá)方便，我們令 ，即 表示單位因素敏感度組合的預(yù)期收益率，我們有： （5-7）（二）兩因素模型的定價(jià)公式 用同樣的方法我們可以求出兩因素模型中的APT資產(chǎn)定價(jià)公式： （5-8） 同理，考慮無風(fēng)險(xiǎn)證券和兩個(gè)充分多樣化的組合，一個(gè)組合對第一種因素的敏感度等于1，對第二種因素的敏感度等于0，其預(yù)期收益率為 ；另一個(gè)組合對第一種因素的敏感度等于0，對第二種因素的敏感度等于1，其預(yù)期收益率為 。則有： (

14、5-9)（三）多因素模型的定價(jià)公式 同樣道理，在多因素模型下，APT資產(chǎn)定價(jià)公式為： (5-10) 如果我們用 表示對第j種因素的敏感度為1，而對其它因素的敏感度為0的證券組合的預(yù)期收益率，我們可以得到： (5-11) 式(5-11)說明，一種證券的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率加上k個(gè)因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。APT與CAPM的比較 APT是比CAPM更為一般的資產(chǎn)定價(jià)模型 1.APT是一個(gè)多因素模型，它假設(shè)均衡中的資產(chǎn)收益取決于多個(gè)不同的外生因素，而CAPM中的資產(chǎn)收益只取決于一個(gè)單一的市場組合因素。從這個(gè)意義上看，CAPM只是APT的一個(gè)特例。 2.CAPM成立的條件是投資者具有均值方差偏好、資產(chǎn)的收益分

15、布呈正態(tài)分布，而APT則不作這類限制，但它與CAPM一樣，要求所有投資者對資產(chǎn)的期望收益和方差、協(xié)方差的估計(jì)一致。 APT比CAPM顯得更為完整穩(wěn)鍵 1.APT沒有關(guān)于資產(chǎn)回報(bào)率分布的假設(shè),而CAPM要求資產(chǎn)回報(bào)率服從多元正態(tài)分布； 2.APT沒有關(guān)于個(gè)人效用函數(shù)的嚴(yán)格假設(shè)，而CAPM要求效用函數(shù)僅是E（RP）和2p 的函數(shù)； 3.APT允許均衡回報(bào)率依賴于多個(gè)因素，而CAPM假設(shè)資產(chǎn)回報(bào)率僅依賴于市場證券組合的回報(bào)率； 4.APT可以對任意資產(chǎn)子集進(jìn)行定價(jià)；人們不必為檢驗(yàn)理論而去對無窮盡的資產(chǎn)進(jìn)行計(jì)量； 5.在APT中，市場證券組合沒有特殊的作用，而CAPM必須要求市場證券組合是有效的； 6

16、.APT容易擴(kuò)展到多期模型中。例1. 考慮一個(gè)單因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分別為 15%和 18%，無風(fēng)險(xiǎn)利率是 6%，股票B的 為1.0。如果不存在套利機(jī)會，股票A的 應(yīng)該是多少？解： 根據(jù)APT，對于股票B：18%=6%+1.0F，解得：F=12% 對于股票A：15%=6%+ F=6%+12% ，解得： =0.75。例2. 考慮一個(gè)多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，關(guān)于因素1的 是1.45，關(guān)于因素2的 是0.86。因素1的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是3.2%，無風(fēng)險(xiǎn)利率是5%，如果不存在套利機(jī)會，那么因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是多少？解： 根據(jù)APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2， 解得：F2=9.26% 因此，因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是9.26%。例3. 考慮