全套課件-計量經(jīng)濟學(xué)

1、 計量經(jīng)濟學(xué) （精編本） 第一篇 導(dǎo) 論第一章 計量經(jīng)濟學(xué)概述【本章要點】 本章主要介紹計量經(jīng)濟學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，了解計量經(jīng)濟學(xué)的學(xué)科性質(zhì)、基本概念與內(nèi)容，掌握建立計量經(jīng)濟模型的主要步驟。1.1 什么是計量經(jīng)濟學(xué)一、計量經(jīng)濟學(xué)的含義“計量經(jīng)濟學(xué)是一門由經(jīng)濟學(xué)、統(tǒng)計學(xué)和數(shù)學(xué)結(jié)合而成的交叉學(xué)科，它以經(jīng)濟學(xué)提供理論基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)提供資料依據(jù)，數(shù)學(xué)提供研究方法的一門經(jīng)濟學(xué)是經(jīng)濟的計量學(xué)或計量的經(jīng)濟學(xué)。”二、計量經(jīng)濟學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的地位著名經(jīng)濟學(xué)家諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者薩繆爾森曾經(jīng)說：“第二次世界大戰(zhàn)后的經(jīng)濟是經(jīng)濟計量的時代?！?諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者克萊茵教授在其計量經(jīng)濟學(xué)教科書中闡述“經(jīng)過20世紀(jì)50年代扎實

2、的發(fā)展和60年代的擴張，計量經(jīng)濟學(xué)已經(jīng)在經(jīng)濟學(xué)中居于重要地位，在大多數(shù)大學(xué)和學(xué)院中，計量經(jīng)濟學(xué)的講授已經(jīng)成為經(jīng)濟學(xué)課程中最具權(quán)威的一部分。 ”我們不妨看看從1969年設(shè)立諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎開始至2005年36年中共有57位獲獎?wù)撸渲兴姆种际桥c計量經(jīng)濟學(xué)密切相關(guān)。直接因為對計量經(jīng)濟學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展做出貢獻而獲獎?wù)哌_15位。他們或者是計量經(jīng)濟學(xué)理論方面做出重大貢獻，或者是利用計量經(jīng)濟學(xué)理論和方法解決經(jīng)濟問題取得了杰出成就。這些諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的獲得，從一個側(cè)面反映了計量經(jīng)濟學(xué)在經(jīng)濟科學(xué)中的地位。2003年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎再次垂青計量經(jīng)濟學(xué)家美國的羅伯特F.恩格爾(Robert F.Engle)和英國的

3、克萊夫W.J. 格蘭杰(Clive W.J.Granger)是因為他們在時間序列數(shù)據(jù)研究方法方面的重要貢獻，這再一次向世人證明計量經(jīng)濟學(xué)是經(jīng)濟學(xué)中最重要的學(xué)科之一。另一方面，絕大多數(shù)諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者即使其主要貢獻不在計量經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，也都普遍應(yīng)用了計量經(jīng)濟學(xué)方法。三、計量經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展概況計量經(jīng)濟學(xué)從20世紀(jì)30年代誕生之日起，就顯示出其強大的生命力，經(jīng)過20世紀(jì)40年代至50年代的大發(fā)展及60年代的大擴張，使計量經(jīng)濟學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中占據(jù)重要地位。20世紀(jì)60年代佛蘭克莫迪里亞尼(Franco Modigliani)、默頓H.米勒(Morton H.Miller)、哈里M.馬科維茨(Harry M

4、.Markowitz)、威廉F.夏普(William F.Sharpe)，將計量經(jīng)濟學(xué)方法應(yīng)用于證券與投資研究，開創(chuàng)了金融計量經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用的新領(lǐng)域。20世紀(jì)70年代以來，計量經(jīng)濟學(xué)的理論和應(yīng)用又進入一個新階段。一方面由于計算機的廣泛應(yīng)用和新的計算方法大量出現(xiàn)，使所用的計量經(jīng)濟模型和變量的數(shù)目越來越多。另一方面表現(xiàn)為宏觀計量經(jīng)濟模型的研制和應(yīng)用方面。目前已有一百多個國家編制了不同的宏觀計量經(jīng)濟模型，模型也由地區(qū)模型逐步發(fā)展到國家模型乃至世界模型。宏觀計量經(jīng)濟模型的發(fā)展趨勢，一是模型的規(guī)模越來越大（例如克萊因發(fā)起的世界連接模型，包括7000多個方程、3000多個外生變量），二是模型體系日趨完善，涉及

5、生產(chǎn)、需求、價格及收入等經(jīng)濟生活的各個領(lǐng)域。1998年7月教育部高等學(xué)校經(jīng)濟學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)委員會決定將“計量經(jīng)濟學(xué)”列為高等學(xué)校經(jīng)濟學(xué)門類各專業(yè)的八門核心課程之一（八門核心課包括政治經(jīng)濟學(xué)、西方經(jīng)濟學(xué)、計量經(jīng)濟學(xué)、貨幣銀行學(xué)、財政學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、會計學(xué)、國際經(jīng)濟學(xué)）。將計量經(jīng)濟學(xué)列入經(jīng)濟學(xué)各專業(yè)核心課，是我國經(jīng)濟學(xué)學(xué)科教學(xué)走向現(xiàn)代化和科學(xué)化的重要標(biāo)志，對提高我國經(jīng)濟學(xué)人才培養(yǎng)質(zhì)量和研究水平具有重要意義。1.2 計量經(jīng)濟學(xué)的研究對象、內(nèi)容與步驟一、計量經(jīng)濟學(xué)的研究對象我們知道計量經(jīng)濟學(xué)是以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)，利用數(shù)學(xué)方法，根據(jù)實際觀測的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分析研究經(jīng)濟過程，探討經(jīng)濟規(guī)律的學(xué)科。因此，可以說計量經(jīng)濟

6、學(xué)研究的對象是經(jīng)濟現(xiàn)象，是研究經(jīng)濟現(xiàn)象中的具體數(shù)量規(guī)律?；蛘哒f，計量經(jīng)濟學(xué)是利用數(shù)學(xué)方法，根據(jù)統(tǒng)計測定的經(jīng)濟數(shù)據(jù)，對反映經(jīng)濟現(xiàn)象本質(zhì)的經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系進行研究。二、計量經(jīng)濟學(xué)的研究內(nèi)容計量經(jīng)濟學(xué)的內(nèi)容可概括為兩個方面，一方面是它的方法論，即計量經(jīng)濟學(xué)方法或理論計量經(jīng)濟學(xué)，另一方面是它的實際應(yīng)用，即應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)。但是，無論理論計量經(jīng)濟學(xué)還是應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)它們都應(yīng)包括：理論、方法和數(shù)據(jù)三要素，缺一不可。理論即經(jīng)濟理論，也就是研究對象的行為理論，它是計量經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ)；方法即模型的建立和計算方法，它是計量經(jīng)濟研究的工具和手段；數(shù)據(jù)即反映研究對象活動的信息，它是計量經(jīng)濟研究的原料。三、計量經(jīng)濟模型的研究步

7、驟應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)方法，建立計量經(jīng)濟模型并用于研究客觀經(jīng)濟現(xiàn)象，一般可分為五個步驟：（一）理論計量經(jīng)濟模型的建立（二）樣本數(shù)據(jù)的收集（三）模型參數(shù)的估計（四）模型的檢驗（五）計量經(jīng)濟模型的應(yīng)用根據(jù)經(jīng)濟理論的分析建立計量經(jīng)濟模型收集并整理數(shù)據(jù)資料參數(shù)估計模型檢驗未通過模型應(yīng)用通過經(jīng)濟預(yù)測政策評價結(jié)構(gòu)分析 圖1.2.1 建立與應(yīng)用計量經(jīng)濟模型的主要步驟第二篇 單方程線性回歸模型第二章 一元線性回歸分析【本章要點】（1）最小二乘法的基本思想；（2）能應(yīng)用最小二乘法估計一元線性回歸模型的參數(shù)；（3）能夠?qū)?shù)的性質(zhì)進行討論；（4）能應(yīng)用一元線性回歸模型進行預(yù)測；（5）掌握 EViews的使用方法，能應(yīng)用

8、EViews軟件計算和分析一元線性回歸模型的實際經(jīng)濟問 2.1 一元線性回歸模型及基本假定設(shè)有如下關(guān)系 yi= + xi + ui （i =1,2,n） (2.1.1)其中xi和yi分別代表兩個經(jīng)濟變量，yi稱為因變量或被解釋變量，xi稱為自變量或解釋變量；ui是一個隨機變量，稱為隨機項；和是兩個常數(shù)，稱為回歸參數(shù)；角碼i表示變量的第i個觀察值或與之對應(yīng)的隨機項。關(guān)系(2.1.1)稱為一元線性回歸模型。模型(2.1.1)是對總體而言的，因此也叫做總體回歸模型。要求隨機項u和自變量x滿足的統(tǒng)計假定有五個，這些假定稱為經(jīng)典回歸模型的基本假定或稱經(jīng)典（古典）假定。假定1 每個ui（i = 1,2,3

9、,n）均為服從正態(tài)分布的實隨機變量。假定2 每個ui（ i =1,2,3,n）的期望值均為0，即E(ui)= 0 （i =1,2,3,n）假定3 每個ui（ i = 1,2,3,n ）的方差均為同一個常數(shù)，即V(ui) = E( )= =常數(shù)稱之同方差假定或等方差性。假定4 與自變量不同觀察值xi相對應(yīng)的隨機項ui彼此獨立，即COV(ui，uj) = 0 （ij）這個假定稱為非自相關(guān)假定。假定5 隨機項ui與自變量的任一觀察值xj不相關(guān)，即COV(ui，xj) = 0 (i，j =1,2,3,n ) 顯然，如果x是非隨機變量，則假定5將自動滿足。以上假定通常也叫高斯馬爾可夫 (Gauss Ma

10、rkov)假定，也稱古典假定。滿足以上古典假定的線性回歸模型，也稱為古典線性模型或經(jīng)典線性模型。根據(jù)假定2，對(2.1.1)式兩邊同時取期望值，則有 E(yi) = + xi (2.1.2)表明點（xi，E(yi)）在直線(2.1.2)上，這條直線叫做總體回歸直線（或理論回歸直線或總體方程）。上述五個基本假定中1-4是針對隨機項ui的假定，最后一個是針對ui和xi兩者的假定?；炯俣?-3決定了ui的分布： ui N（0, ） (2.1.3)同時也決定了模型(2.1.1)中yi的分布。事實上，由于yi是ui的線性函數(shù)，而ui服從正態(tài)分布，所以yi也服從正態(tài)分布。根據(jù)假定3，由(2.1.1)和(

11、2.1.2)式可得 V(yi)=E( )= =常數(shù) (2.1.4)因此，yi服從期望值為 + xi，方差為的正態(tài)分布： yi N（ + xi , ） (2.1.5)2.2 回歸參數(shù)的最小二乘估計對模型 yi= + xi + ui (2.2.1)兩邊取期望值得總體方程： E(yi)= + xi (2.2.2)這里參數(shù)和是未知的，實際上總體回歸直線是無法求得的，它只是理論上的存在。 如何作一條直線使它成為總體回歸直線(2.2.2)的最好估計? 假設(shè)樣本回歸直線已做出，設(shè)它為 (2.2.3) 其中 是的估計量， 是的估計量，這樣就可以用樣本回歸直線(2.2.3)估計總體回歸直線(2.2.2)。 設(shè)給

12、定的樣本觀測值（xi,yi），i =1,2，n，在直角坐標(biāo)系里，做出它們的對應(yīng)點（xi,yi），i =1,2，n，構(gòu)成散點圖，如圖2.2.1所示。 . xi x. . . . .圖2.2.1 散點與回歸直線y觀察值yi與它的擬合值（回歸值）之差，記作 (2.2.4)i稱為回歸殘差。于是有 (2.2.5)最小二乘準(zhǔn)則認(rèn)為， 和 應(yīng)這樣選擇：使得i對所有i的平方和最小，即使 (2.2.6)達到最小，這就是最小二乘準(zhǔn)則（原理）。這種估計回歸參數(shù)的方法稱為普通最小二乘法（Ordinary Least Squares,簡記OLS）， 稱為普通最小二乘估計量（Ordinary Least Squares

13、Estimator,簡記OLSE）。由于(2.2.6)是 和 的二次函數(shù)并且是非負的，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，(2.2.6)式的最小值總是存在的，為此，須使(2.2.6)式對 和 的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，即(2.2.7) (2.2.8)(2.2.7) (2.2.8) (2.2.7)、(2.2.8)（或(2.2.7) ,(2.2.8) ）是以, ， 為未知數(shù)的方程組，叫做正規(guī)方程組，或簡稱為正規(guī)方程。解正規(guī)方程(2.2.7)、(2.2.8)，得 , 的表達式： (2.2.9) (2.2.10)其中 ，顯然，當(dāng)常數(shù)項 = 0時，線性模型(2.2.1)變?yōu)?yi = xi + ui (2.2.11)此時參數(shù)估

14、計量的計算公式為比較(2.2.10)與(2.2.12)就會發(fā)現(xiàn)，只要將(2.2.10)中的圓點去掉即得到（2.2.12），這個規(guī)律具有普遍性，即不論對一元線性回歸模型或多元線性回歸模型，常數(shù)項不等于0和常數(shù)項等于0這兩種情形下參數(shù)估計量的公式具有相似結(jié)構(gòu)，差別僅在于：前者公式中所有的變量都帶圓點，而后者公式中所有變量都不帶圓點。 到目前為止，我們得到了四個關(guān)系式如下： 總體回歸模型： yi = + xi + ui 它表示總體變量之間的真實關(guān)系。 總體回歸直線（或稱總體回歸方程）： E(yi) = + xi 它表示總體變量之間的依存關(guān)系。 樣本回歸模型: 它表示樣本顯示出的變量之間的關(guān)系。 樣本

15、回歸直線： 它表示樣本顯示出的變量之間的依存關(guān)系。2.3 參數(shù)最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì) 一、線性所謂線性是指和是yi或ui的線性函數(shù)。(一) 的線性表達式由(2.2.10)有(2.3.1) 其中 (2.3.2)(2.3.1)表明是yi的線性函數(shù)由于yi = + xi + ui，所以 (2.3.3) 其中 ki = 0 (2.3.4) kixi = 1 (2.3.5)(2.3.3)表明是ui的線性函數(shù)(二) 的線性表達式由(2.2.9)有（2.3.6） （2.3.6）表明 是yi的線性函數(shù)。 (2.3.7)(2.3.7)表明 是ui的線性函數(shù)。二、無偏性由(2.3.3)知 ，取期望值便有 (2.

16、3.8)其中E(ui) = 0，(2.3.8)表明 是的無偏估計量。由(2.3.7) 上式兩邊取期望值便有 (2.3.9)(2.3.9)表明 是的無偏估計量。三、最小方差性所謂最小方差性是指在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量的方差最小。方差最小這一性質(zhì)又稱為最佳性。為了證明這一性質(zhì)，我們先導(dǎo)出最小二乘估量 和 的方差。由(2.3.3) (2.3.10)由(2.3.7) (2.3.11) 或者把(2.3.11)寫成形式：(2.3.11) 下面證明 的最小方差性。假設(shè)我們用其它方法求得參數(shù)的估計量為 ，并且滿足線性和無偏性。因而應(yīng)有關(guān)系： (2.3.12) 由于 yi= + xi + ui所以

17、 由此可知，欲使 估計量具有無偏性，ci應(yīng)滿足條件 (2.3.13) 下面我們將在滿足（2.3.13）的前提下，尋求的最小方差：(2.3.14) (2.3.14)式當(dāng)且僅當(dāng) ci = ki 時， 達到最小，此時 與最小二乘估計量 相等： (2.3.15) 將此結(jié)果代入(2.3.14)便有 (2.3.16)此結(jié)果與(2.3.10)式相同。對于 的最小方差性的證明與 的證明完全類似，請讀者自己完成。這樣我們證明了，只要經(jīng)典回歸模型的假定25滿足，回歸參數(shù)的最小二乘估計量就是線性、無偏、最佳估計量，簡稱為最佳線性無偏估計量(BLUE: best linear unbiased estimators)

18、。這一結(jié)論就是著名的高斯-馬爾可夫 (Gauss Markov)定理。無偏性與最佳性結(jié)合起來構(gòu)成了估計量好壞的重要標(biāo)志。由于最小二乘估計量的最佳線性無偏估計量的特性，才使得最小二乘法得到了廣泛的應(yīng)用。2.4 參數(shù)估計量的抽樣分布及 的估計量一、參數(shù)估計量的抽樣分布 和 所服從的分布稱為參數(shù)估計量的抽樣分布。(2.4.1) (2.4.1)就是 和 的抽樣分布。二、我們的任務(wù)是利用自變量xi和因變量yi的觀察值來計算 的估計量我們可以用i的方差 來估計ui的方差 。將i的方差取成如下形式： (2.4.2)其中fe是回歸殘差平方和的自由度，其大小應(yīng)由 的無偏性要求決定。現(xiàn)在我們的任務(wù)是設(shè)法找到 fe

19、的取值。由于所以(2.4.2)式可簡化為 (2.4.3)為此我們先計算i： (2.4.4) 將(2.4.4)平方求和，再取期望值便有 (2.4.5) (2.4.5)式中 (2.4.7) (2.4.6) (2.4.8) 把(2.4.6)、(2.4.7)和(2.4.8)代入(2.4.5)便有或 即取 fe = n -2， 便有的無偏估計量(2.4.9) 為了計算方便， 也可以采用如下計算形式： (2.4.10)2.5 回歸參數(shù)的t檢驗和區(qū)間估計一、回歸參數(shù)的t檢驗在2.4節(jié)中，我們已經(jīng)知道 都服從正態(tài)分布，即(2.5.1) (2.5.2) (2.5.3) (2.5.4) 其中 顯然，統(tǒng)計量 N(

20、0, 1 ) (2.5.5) N( 0, 1) (2.5.6)式中的 可用無偏估計量 代替，由此得出 和 的無偏估計量： (2.5.7) (2.5.8) 在小樣本情況下（一般 n 30）可以證明，用無偏估計量 代替(2.5.5)和(2.5.6)中的 便得 T 統(tǒng)計量（證明略） t (n - 2) (2.5.9) t( n - 2) (2.5.10)通常我們關(guān)心的是回歸模型中的因變量與自變量之間是否存在線性關(guān)系或者說是否 = 0。為此我們對進行t檢驗。提出假設(shè)H0: = 0 ,備擇假設(shè)H1: 0，在H0成立時，有統(tǒng)計量 t ( n - 2) (2.5.11)對給定的顯著水平,查自由度為n -2的

21、t分布表，得臨界值 ，如果T ，則拒絕H0: = 0 ,接受備擇假設(shè)H1: 0，表明回歸模型中因變量與自變量之間確實存在線性關(guān)系。對于的t檢驗可以用類似的方法進行。圖2.5.1陰影部分為t檢驗的否定域二、回歸參數(shù)的區(qū)間估計由于T 統(tǒng)計量服從 t 分布：T = t( n - 2) (2.5.10)對給定的顯著水平，便有即我們有1-的把握說，(2.5.12) (2.5.11) 成立。換句話說，我們有1-的把握說，在(2.5.13) 區(qū)間內(nèi)，或者寫成：(2.5.14) 此范圍稱之為置信區(qū)間，- 稱為置信度。對參數(shù)的區(qū)間估計有類似的結(jié)果：(2.5.15) 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度一、總離

22、差平方和的分解設(shè)由樣本觀察值(xi，yi)，i =1,2 ,，n，得出的回歸直線為 如圖2.6.1所示。圖2.6.1 因變量偏差的分解由（2.2.4）知，因變量的觀察值yi可分解為 與i之和： （2.6.1）此式又可寫成：（2.6.2） 反映全部總離差變化的最好的變量是總離差平方和，記作TSS：TSS = （2.6.3）將（2.6.3）展開： TSS = 其中第二項 便有 TSS 稱為總離差平方和記 RSS 稱為回歸平方和ESS 稱為剩余平方和或殘差平方和于是便有 TSS = RSS + ESS （2.6.4）由平方和分解定理知，三個平方和的自由度之間具有如下關(guān)系： （2.6.5）二、擬合優(yōu)度

23、（樣本決定系數(shù)）用RSS與TSS之比來反映樣本回歸直線與全部觀察值之間的擬合程度： （2.6.6） 稱為擬合優(yōu)度或樣本決定系數(shù)。 越大，表明回歸直線與樣本觀察值擬合得越好，反之，擬合得就越差。由于 所以RSS = （2.6.7）便有（2.6.8） 進一步可以寫成形式： （2.6.9） 取 的平方根，便有（2.6.10） 這就是我們熟悉的相關(guān)系數(shù)公式。（2.6.12） R2越接近1，回歸直線與樣本觀察值擬合得越好。 三、回歸方程顯著性的F 檢驗回歸方程顯著性檢驗是回歸模型總體的顯著性檢驗，也就是判定回歸方程的所有解釋變量x對被解釋變量y的影響的顯著性，即方程的總體的顯著性。這實際上就是對回歸方程

24、擬合優(yōu)度的檢驗，能滿足這一要求的檢驗便是 F 檢驗。 對一元線性回歸模型而言，具體步驟如下：(1)假設(shè)H0: =0 ,備擇假設(shè)H1： 0。(2)構(gòu)造統(tǒng)計量（2.6.13） (3)當(dāng)H0成立時，F(xiàn) F（，n - 2）(4)對給定的顯著水平，確定臨界值F如圖2.6.3所示。(5)判定方程顯著性，若F F，拒絕假設(shè)H0，即不為零，解釋變量總體對y的影響是顯著的，方程估計可靠。若F F，則接受假設(shè)H0，說明所有解釋變量對y的影響不顯著，方程估計不可靠。圖2.6.3 陰影部分為F檢驗的否定域?qū)⑸厦娣治龅慕Y(jié)果可用一張表格來表示，見表2.6.1，這張表叫做回歸問題的方差分析表。離差名稱平方和自由度均方（方差

25、）F值回歸（因素x）1剩余（隨機因素）n-2總 計n-1表2.6. 一元回歸方差分析表由（2.6.4）知， ESS = TSS - RSS即（2.6.15） 把（2.6.15）代入（2.6.14）便有由2.節(jié)的（2.4.9）知 （2.6.14）這便是公式（2.4.10）。四、F 與 R2 的關(guān)系由（2.6.11）知，擬合優(yōu)度可表為（2.6.16） 又統(tǒng)計量（2.6.17） 把(2.6.6)和（2.6.16）代入（2.6.17）便有 （2.6.18）可以看出，F(xiàn) 與 R2 成正比，R2越大，F(xiàn)值也越大。 2.7 預(yù)測一、點預(yù)測設(shè)有模型 yt = + xt+ ut t =1,2 ,n （2.7.1

26、）t表示第t個抽樣時期，現(xiàn)在假設(shè)屬于抽樣時期以外的某個時期 f（預(yù)測期）的自變量值 xf 已知，并且（2.7.1）式同樣適用于第 f個時期，這時因變量有 yf = + xf + uf （2.7.2）且uf滿足基本假定。 由于每一個xf 值都對應(yīng)著yf 的一個分布，所以，討論yf 的預(yù)測值有兩個含義：預(yù)測與xf 值相對應(yīng)的yf 的期望值；預(yù)測與xf 值相對應(yīng)的yf 的單個（當(dāng)期）值。具體預(yù)測辦法是：我們可以利用模型（2.7.1）和樣本觀察值（xt,yt）得出回歸方程 將t外推到抽樣期之外的某個預(yù)測期 f，就有 （2.7.3）其中xf 已知。此時既可作為 的估計量也可以作為yf 的估計量。事實上表

27、明： 是 的無偏估計量。又有 表明：二者之差在多次觀察中平均來說等于零。綜上所述， 用來估計 和 是合理的。二、區(qū)間預(yù)測(一) 的區(qū)間預(yù)測為了求出 的置信區(qū)間，我們先求出估計量的方差：其中于是有（2.7.4） 用估計量 代替 ，便得 的估計量： （2.7.5）利用（2.7.5）構(gòu)造 T 統(tǒng)計量，顯然有 t(n -2) （2.7.6） 則置信度為1- 的置信區(qū)間為：（2.7.7） (二) 的區(qū)間預(yù)測為了求出 的預(yù)測區(qū)間，須先計算 - 的方差。 由于所以（2.7.8） 用估計量 代替 ，得（2.7.9） 利用（2.7.9）構(gòu)造統(tǒng)計量，顯然有 t (n -2)則置信度為1- 的置信區(qū)間為 圖2.7.

28、1 E(yf)和yf的置信帶 由（2.7.7）和（2.7.10）結(jié)合圖2.7.1可以看出：樣本容量n越大，預(yù)測越準(zhǔn)確，預(yù)測精度越高。 xf 距 越近，預(yù)測精度越高。 越大，即抽樣范圍越寬，預(yù)測精度越高。第三章 多元線性回歸分析【本章要點】1.掌握多元線性回歸模型的概念和模型經(jīng)典假定；2.掌握多元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計和檢驗；3.模型的檢驗和預(yù)測；4.能應(yīng)用EViews軟件計算和解決線性回歸模型的實際經(jīng)濟問題。3.1 多元線性回歸模型及其基本假定假定因變量y與解釋變量x1,x2，,xk具有線性關(guān)系，它們之間的線性關(guān)系，可用線性回歸模型表示為yi = 0 + 1x1i + 2x2i + +

29、 k xki + ui （3.1.1）稱為總體線性回歸模型。下標(biāo)i表示第i期觀察值（yi，x1i，x2i, ，xki），ui 為對應(yīng)的隨機項，i =1，2，n。 由于有n期樣本觀察值，這一模型實際上是包含n個方程的模型： y1 = 0 + 1x11 + 2x21+ + kxk1 + u1 y2 = 0 + 1x12 + 2x22+ + kxk2 + u2 (3.1.2)yn = 0 + 1x1n + 2x2n+ + kxkn + un 把（3.1.2）改寫成矩陣形式： （3.1.3） （3.1.3）簡化為 Y = X + U （3.1.4）其中對多元線性回歸模型基本假定如下：假定1 隨機項U的

30、每一個元素ui均為實隨機變量，且服從正態(tài)分布。假定2 隨機項U的每一個元素的期望值均為零，即假定3 所有隨機項的ui的方差均相同，即有 i = 1,2,n （3.1.5）假定4 不同期的兩個隨機項ui和uj彼此不相關(guān)，即有 （ij） （3.1.6） i,j =1,2,，n假定3和假定4稱作高斯馬爾可夫（Gauss-Markov）假定。它可以統(tǒng)一表示為（3.1.7） 假定5 （3.1.8） j =1,2,，k ， i=1,2,，n即說明解釋變量x1，x2，xk與隨機項ui不相關(guān)。與一元線性回歸分析相同，為了數(shù)學(xué)處理方便，一般情況下我們都假定所有自變量均為非隨機變量。假定6 所有自變量彼此線性無關(guān)

31、，即 rk（X）= k + 1 且 k + 1 n （3.1.9）也就是說矩陣X的秩等于參數(shù)的個數(shù)，或者說，解釋變量x1,x2,，xk彼此不相關(guān)。3.2多元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計一、一般模型的參數(shù)最小二乘估計設(shè)與總體線性回歸模型（3.1.1）對應(yīng)的樣本線性回歸模型為（3.2.1） i =1,2,，n或表示為矩陣形式為其中 相應(yīng)的樣本線性回歸方程為（3.2.2） i =1, 2 ,，n利用最小二乘法求參數(shù)估計量 ：設(shè)殘差平方和為Q，則Q = 我們的任務(wù)是尋求適當(dāng)?shù)?使Q達到最小。根據(jù)多元函數(shù)的極值原理，應(yīng)是下列方程組的解： 整理可得正規(guī)方程組： 由（3.2.3）第一個方程，可以得到：(3

32、.2.3) （3.2.4） 將正規(guī)方程組寫成矩陣形式： （3.2.3） 其中于是正規(guī)方程組的矩陣形式為（3.2.5） （3.2.6） 于是有二、中心化模型的參數(shù)最小二乘估計我們已經(jīng)知道，總體線性回歸模型可以表示為 （3.2.7）相應(yīng)的樣本線性回歸模型可以表示為（3.2.8） 對于樣本容量為n 的 y 的均值可分別表示為（3.2.9） 其中心化模型（3.2.11） （3.2.12） （i =1,2,，n）和（3.2.10） 這里 =0，可以看作是對參數(shù)施加一個限制條件。將它們寫成矩陣形式：（3.2.13） （3.2.14） （3.2.13）為總體回歸模型的中心化形式（或離差形式），（3.2.14

33、）為樣本回歸模型的中心化形式（或離差形式）。其中殘差平方和（3.2.15） 其中用到 是標(biāo)量的性質(zhì)。將殘差平方和（3.2.15）對 求導(dǎo)，并令其為零：整理得正規(guī)方程組 （3.2.16） 解方程組（3.2.16）得（3.2.17） 由（3.2.17）式可以看出，參數(shù)估計量的表達式與（3.2.6）式相比形式基本相同，但應(yīng)注意（3.2.17）中的 不包含 ， 比 少一列常數(shù)1。對于（3.2.17）的計算可采用以下形式：（3.2.18） （3.2.19） 對于k =2的情形，（3.2.17）式可以表示為（3.2.20） 解之可得（3.2.21） （3.2.22） 記D(2) = （3.2.23）D1(

34、2) = （3.2.24）D2(2) = （3.2.25）從而參數(shù)估計量的表達式可以簡記為（3.2.26） （3.2.27） 推廣至 k 元線性回歸，其參數(shù)的表達式便有： j =1,2,，k （3.2.28） （3.2.29） 3.3回歸參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)總體模型 （3.3.1）的參數(shù)是通過樣本模型 （3.3.2） 來計算出其估計值 。那么用 來估計效果怎樣，因此，我們需要討論 的統(tǒng)計性質(zhì)。 一、線性（3.3.3） 可見， 既是Y的線性函數(shù)也是U的線性函數(shù)。二、無偏性（3.3.4） 可見， 是的無偏估計量。三、方差協(xié)方差和最小方差我們先導(dǎo)出 的方差，然后證明在的一切線性無偏估計量中，以 的方

35、差最小。由方差協(xié)方差矩陣的定義（3.3.5） （3.3.5）是一個對稱矩陣，其主對角線上的元素是參數(shù)估計量的方差，非主對角線元素是不同參數(shù)估計量之間的協(xié)方差，所以稱為 的方差協(xié)方差矩陣。另一方面，由（3.3.3）有 即（3.3.6） 與（3.3.5）比較知 （3.3.7） （ij，i,j = 0,1,k ）（3.3.8） 由（3.3.7）和（3.3.8）式知，只要算出逆矩陣 ，所有參數(shù)的方差，協(xié)方差都可算出。（3.3.9） （3.3.10） （3.3.11） （ij , i , j=1,2,k）對于中心化變量的方差協(xié)方差，有類似的結(jié)果：再證明由（3.3.7）給出的方差具有最小方差性（最佳性）。

36、為此，設(shè)另外有一個的線性無偏估計量：（3.3.12） 其中P為(k +1)n階非隨機矩陣，代表對最小二乘估計量 的一個干擾。 （3.3.13） 要使 滿足無偏性要求，矩陣P必須滿足條件： PX = 0 （3.3.14）此時（3.3.15） （3.3.16） 由于P為(k +)n階矩陣且k + 0時，隨后的若干個隨機項ut+1,u t+2,都有大于0的傾向，當(dāng)ut 0時，隨后若干個隨機項都有小于0的傾向，我們說u具有正相關(guān)性；而負自相關(guān)則意味著兩個相繼的隨機項ut和ut+1具有正負號相反的傾向。在經(jīng)濟數(shù)據(jù)中，常見的是正自相關(guān)現(xiàn)象。二、產(chǎn)生自相關(guān)的原因1.經(jīng)濟變量的慣性作用2.模型中略去了具有自相

37、關(guān)的解釋變量3.經(jīng)濟沖擊的延續(xù)4.模型設(shè)定的不正確三、自相關(guān)強度的量度自相關(guān)系數(shù) 假定u存在自相關(guān)，若ut的取值僅與前一期ut-1有關(guān)，即ut = f (ut-1)，則稱這種相關(guān)為一階自相關(guān)。若ut不僅與ut-1相關(guān)，而且還同ut-2相關(guān)，即ut = f (ut-1, ut-2)，則稱這種相關(guān)為二階自相關(guān)。 兩個隨機項在時間上相隔越遠，前者對后者的影響就越小。如果存在自相關(guān)的話，最強的自相關(guān)應(yīng)表現(xiàn)在相鄰兩個隨機項之間，即一階自相關(guān)是主要的。因此，我們只討論一階自相關(guān)，而且假定這是一種線性自相關(guān)，即具有一階線性自回歸形式：若ut的取值與它的前 s 期取值有關(guān)，即ut = f (ut-1, ut-

38、2, ut-s)，則稱這種相關(guān)為 s 階自相關(guān)。二階以上的自相關(guān)統(tǒng)稱為高階自相關(guān)。(6.1.1) (6.1.1)式中是一個常數(shù)，稱為自相關(guān)系數(shù)， vt是一個新的隨機項，它滿足經(jīng)典回歸的全部假定：(6.1.2) (6.1.1)式可以看成是一個一元線性回歸模型，ut是因變量，ut-1是自變量，是回歸系數(shù)。由于vt滿足經(jīng)典回歸的全部基本假定，可用OLS法估計：(6.1.3) 當(dāng)樣本容量很大時，有 ，于是(6.1.3)式可以改寫為 (6.1.4) (6.1.4)式右端的表達式完全符合樣本相關(guān)系數(shù)的定義，所以把稱為自相關(guān)系數(shù)是合理的。四、ut的方差和協(xié)方差由(6.1.1)式知即 (6.1.5) 當(dāng)0時，

39、為正自相關(guān)，當(dāng)0時，為負自相關(guān)。當(dāng)=0時，由式(6.1.1)知ut = vt，此時ut變?yōu)橐粋€沒有自相關(guān)的隨機變量。當(dāng) = 1時，則ut與ut-1之間的相關(guān)最強?？梢?，自相關(guān)系數(shù)是一階線性自相關(guān)強度的一個度量，的絕對值的大小決定自相關(guān)的強弱。 (6.1.5)可以改寫成：(6.1.6) 再計算協(xié)方差(6.1.7) (6.1.8) 類推下去，便有(6.1.9) 令 將上面的結(jié)論(6.1.6)、(6.1.7)、(6.1.8)、(6.1.9)式合并在一起可用矩陣表示：(6.1.10) 其中 代入(6.1.10)便有(6.1.11) 記(6.1.12) (6.1.11)可寫成 是一個(nn)維正定對稱矩

40、陣，其逆矩陣為(6.1.14) 6.2 自相關(guān)對參數(shù)估計量的影響一、自相關(guān)不影響OLS估計量的線性和無偏性不失一般性，我們這里只討論一元線性回歸模型。設(shè) (t = 1，2，n) (6.2.1)而且隨機項存在一階線性自相關(guān)：(6.2.2) 其中vt滿足經(jīng)典回歸基本假定。 模型(6.2.1)的OLS估計量具有如下形式：(6.2.3) 故無論u是否存在自相關(guān)， (i = 0，1) 仍然是隨機項ut的線性函數(shù)。對(6.2.3)取期望值：(6.2.4) 故無論u是否存在自相關(guān)， (i = 0，1)均是 的無偏估計。即自相關(guān)不影響參數(shù)OLS估計量的線性和無偏性。二、自相關(guān)使參數(shù)OLS估計量失去最佳性1.所

41、謂失去最佳性，就是直接應(yīng)用普通最小二乘法求得參數(shù)估計量的方差可能偏小，因而低估了真實方差。由(6.2.3)式知(6.2.5) 當(dāng)u無自相關(guān)時， 便有(6.2.6) 當(dāng)u存在自相關(guān)時參看(6.1.9)(6.2.7) 于是(6.2.8) (6.2.8)式中 是自變量x的各階樣本自相關(guān)系數(shù)。若u和x都是正自相關(guān)(在經(jīng)濟現(xiàn)象中，這種情況是最常見的)，便有0和 ，因此，方括號內(nèi)的數(shù)值必然大于1。便有(6.2.9) (6.2.9)式表明OLS估計量低估了 的真實方差。2.普通最小二乘法還低估了隨機項u的方差，在無自相關(guān)情況下， 的無偏估計量為(6.2.10) 其中 為回歸殘差。在有自相關(guān)的情況下，(6.2

42、.10)便失去無偏性，成為 的下偏估計量。這是因為(6.2.11) 其中所以(6.2.12) (6.2.12)式兩邊取期望值：把(6.1.9)和(6.2.8)代入(6.2.13)，便有 (6.2.14) 基于前面相同的理由(u和x均系正自相關(guān))，(6.2.14)方括號內(nèi)的數(shù)值肯定是正值。于是(6.2.15) 即OLS估計量 不再是 的無偏估計量，而是下偏估計量，也就是說，它低估了隨機項u的方差。三、自相關(guān)對參數(shù)顯著性檢驗的影響在隨機項u存在自相關(guān)的情況下，對模型(6.2.1)應(yīng)用OLS法，由(6.2.9)知，在不考慮自相關(guān)時，估計量 的方差 的數(shù)值偏小，使得t 檢驗中值偏大，在給定顯著水平下，

43、T 值增加了大于t分布臨界值 的機會，使得本來不該否定的原假設(shè)( )給否定了，從而導(dǎo)致模型變量選擇的錯誤，失去了檢驗的意義。 6.3 檢驗自相關(guān)的方法一、圖解法(一)按時間順序繪制殘差圖(二)繪制 的散點圖二、杜賓沃森(Durbin-Watson)檢驗法在解析法檢驗中，用的最多的是杜賓沃森檢驗法，簡稱D-W檢驗。目前檢驗自相關(guān)性最常用的方法就是D-W檢驗。 (一) D-W檢驗的基本思想對一階線性自相關(guān) ，顯然，當(dāng) = 0 時，u不具有一階線性自相關(guān)，當(dāng) 0時，u具有一階線性自相關(guān)。D-W檢驗是通過構(gòu)造統(tǒng)計量 (6.3.1) (其中 )來建立 d 與的近似關(guān)系，從而判斷隨機項 u 的自相關(guān)性。事

44、實上(6.3.2) 對于大樣本(即n很大)來說，可以認(rèn)為于是(6.3.2)式可以改寫成(6.3.3) 注意t是隨機項ut的估計量，根據(jù)(6.1.3)便有 (6.3.4) 把(6.3.4)代入(6.3.3)便有 (6.3.5) 由表達式(6.3.5)可以看出：如果 = 0則d 2；如果 =1則d 0；如果 = -1則d 4；因此，得出以下結(jié)論： d 值介于0與4之間； d = 2表明隨機項u沒有自相關(guān)（ ），d = 0表明隨機項u有很強的正自相關(guān)( = 1)，d = 4表明隨機項u有很強的負自相關(guān)( = -1)。由此可見，我們可以利用統(tǒng)計量 d 來對自相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗。 杜賓沃森證明了d

45、的實際分布介于兩個極限分布之間：一個稱為下極限分布，其下臨界值 用表示，另一個稱為上極限分布，其下臨界值用 表示；而下極限分布的上臨界值為(4- )，上極限分布的上臨界值為(4- )如圖6.3.3所示。圖6.3.3 統(tǒng)計量d的極限分布和臨界值對于不同樣本的dL和du值的確定，可根據(jù)杜賓沃森臨界值表查出。 (二) D-W檢驗的步驟綜合上述分析過程，Durbin-Watson檢驗的過程可歸納如下：(1)建立原假設(shè)H0: = 0；備擇假設(shè)H1: 0。(2)用OLS法估計線性回歸模型，并算出殘差t (t =1,2，n)。(3)根據(jù)(6.3.1)式計算統(tǒng)計量d的現(xiàn)實值。(4)根據(jù)樣本容量n，自變量個數(shù)和

46、顯著水平0.05(或0.01)從D-W檢驗臨界值表中查出dL和du。(5)將d 的現(xiàn)實值與臨界值進行比較：若d 4- dL，則否定H0，即u存在一階線性負自相關(guān)；若du d 4- du，則不否定 ，即u不存在（一階）線性自相關(guān)；若dL d du或4- du d 4- dL，則不能作結(jié)論。(三) 應(yīng)用D-W檢驗應(yīng)注意的問題D-W檢驗法不適用自回歸模型。(2) D-W檢驗只適用于一階線性自相關(guān)，對于高階自相關(guān)或非線性自相關(guān)皆不適用。(3) 一般要求樣本容量至少為15，否則很難對自相關(guān)的存在性做出明確的結(jié)論。(4)若出現(xiàn)d值落入不定區(qū)域，則不能做出結(jié)論。 (5)如果樣本容量n不太大，則可采用公式 (

47、6.3.6) 來計算 ，式中k是模型中自變量的個數(shù)。此公式可以使的偏倚程度減少。三、回歸檢驗法它的具體步驟如下：(1)對樣本觀測值用OLS法建立線性回歸模型，然后計算殘差t。(2)由于事先不知道u自相關(guān)的類型，可以對不同形式的自回歸結(jié)構(gòu)進行試驗，例如：(6.3.7) (3)根據(jù)回歸的擬合優(yōu)度R2和 的統(tǒng)計顯著性，判斷是否存在自相關(guān)。這種檢驗方法的優(yōu)點是適用于任何自相關(guān)形式，同時還可以給出自相關(guān)關(guān)系式中的系數(shù)估計值。缺點是在尋找不同形式的自回歸時，沒有一個可遵循的原則。等等。四、偏相關(guān)系數(shù)檢驗法偏相關(guān)系數(shù)是衡量多個變量之間相關(guān)程度的重要指標(biāo)，它可用來判斷自相關(guān)的類型。利用EViews軟件計算偏相

48、關(guān)系數(shù)，具體有兩種方法：1.命令方式：在命令窗口輸入: IDENT RESID 2.菜單方式：在方程窗口中點擊：ViewResidual TestCorrelogram-Q-statistics 屏幕將直接輸出隨機項 （p為事先指定的滯后期的長度）的相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)及其圖形，可以直觀地看出殘差序列的相關(guān)情況。在分析過程中，為了排除相關(guān)關(guān)系的相互影響，應(yīng)該使用偏相關(guān)系數(shù)（Partial Correlation PAC）判斷自相關(guān)性。這種方法不僅可判斷有沒有一階自相關(guān)，還可以判斷高階自相關(guān)。 圖6.3.5 由圖6.3.5知，相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)都具有一階自相關(guān)。6.4 消除自相關(guān)影響的方法一、

49、擬自相關(guān)情況二、真正自相關(guān)情況真正自相關(guān)又可分為自相關(guān)系數(shù)已知和未知兩種情況。(一)自相關(guān)系數(shù)已知的情況設(shè)模型 (t =1，2，n) (6.4.1)中的隨機項有一階線性自相關(guān)：(6.4.2) vt 滿足經(jīng)典回歸的全部假定，且的數(shù)值已知。將(6.4.1)滯后一期并乘以： (6.4.3) 用(6.4.1)減(6.4.3)式，得(6.4.4) 令 (6.4.5) 變換(6.4.5)稱為廣義差分變換。將(6.4.4)改寫成：(6.4.6) 變換后的模型(6.4.6)叫做廣義差分模型，由于vt滿足全部經(jīng)典假定，已沒有自相關(guān)，因此，可用OLS法估計參數(shù)和1。應(yīng)該注意，變換后的數(shù)據(jù)( )將損失一個觀測值，這

50、是因為變換 中不存在x0和y0。為了避免這一損失，K.R.Kadiyala提出對第一個觀測值作如下變換：對模型(6.4.6)應(yīng)用OLS法，可得參數(shù)估計值 ，再利用(6.4.5)可得(6.4.7) 的方差估計量為(6.4.8) 再由(6.4.7)可得(6.4.9) 其中(6.4.10) 以上過程就是將原回歸模型進行廣義差分變換得到廣義差分模型，再對廣義差分模型應(yīng)用普通最小二乘法，這種方法稱為廣義差分法。對于多元回歸模型，廣義差分法也同樣適用。設(shè)模型 (6.4.11) (6.4.12) 其中已知，vt 滿足經(jīng)典回歸的基本假定。(6.4.11)滯后一期并乘以：(6.4.13) 將(6.4.11) -

51、 (6.4.13)得：(6.4.14) 令(6.4.15) 模型(6.4.14)可改寫成：(6.4.16) 由于vt 滿足經(jīng)典回歸全部假定，因此，可以對模型(6.4.16)應(yīng)用OLS法。(二)自相關(guān)系數(shù)未知的情況在（一）段中對參數(shù)估計的方法都是假定已知，但是，實際上的值往往是未知的，因此在對參數(shù)估計之前，必須先對的值進行估計，然后用的估計值代替（一）段中的，問題便解決了。 1.由d 統(tǒng)計量估計由6.3節(jié)給出的兩個的估計式：(6.4.17) (6.4.18) 2.Cochrane-Orcutt(柯克蘭奧卡特)迭代法設(shè)模型(t1,，n) (6.4.19)中的隨機項有一階線性自相關(guān)(6.4.20)

52、vt 滿足經(jīng)典回歸的全部假定，未知。求自相關(guān)系數(shù)的步驟如下：(1)對原始數(shù)據(jù)應(yīng)用OLS法，求出模型(6.4.19)中的參數(shù)估計值 ，其回歸方程為： (6.4.21) 計算第一輪殘差：求的第一輪估計值：(2)用自相關(guān)系數(shù)第一輪估計值 對原模型(6.4.19)進行差分變換，變換后的模型為 (6.4.22) 對(6.4.22)再應(yīng)用OLS法，可得估計值 ，且有回歸方程： (6.4.23) 計算第二輪殘差：求的第二輪估計值：(3)用自相關(guān)系數(shù)第二輪估計值 再對原模型(6.4.19)進行差分變換，變換后的模型為(6.4.24) 再對(6.4.24)應(yīng)用OLS法，可得參數(shù)估計值 ，再計算第三輪殘差 ，然后

53、求第三輪的估計值 ，這樣反復(fù)計算，可得一串的估計值，直到這串估計值收斂或滿足給定的精度為止。也可以每經(jīng)一輪迭代，便求出d統(tǒng)計量來檢驗隨機項自相關(guān)是否還存在，若通過原假設(shè)檢驗，便可停止迭代。3.區(qū)間收索法（Hildreth-Lu法）第一步，將 -1 1的范圍劃分成間隔為0.1的一組數(shù)據(jù)，例如，在正自相關(guān)情況下，0 1，可取0.1，0.2，0.9，1.0，對原始數(shù)據(jù)分別進行差分變換。第二步，對變換后的10組數(shù)據(jù)分別應(yīng)用普通最小二乘法，建立回歸方程。第三步，利用各個值對應(yīng)的回歸方程，計算殘差平方和 ，取殘差平方和最小的那個方程的值為第一次試算最優(yōu)值，記作 。第四步，以最優(yōu)值 為中心，在 0.1的范圍

54、內(nèi)，以0.01為步長繼續(xù)搜索，再次，找出使殘差平方和最小的第二次最優(yōu)值 。例如，第一次試算得 = 0.6，在0.5 0.7范圍內(nèi)，以0.01為步長繼續(xù)搜索。第五步，如此反復(fù)進行，直至求出使殘差平方和達到最小的為最優(yōu)值。4.杜賓(Durbin)兩步法設(shè)模型為 (6.4.25) 其隨機項存在一階線性自相關(guān)：(6.4.26) 滿足經(jīng)典回歸全部假定。第一步，對模型(6.4.25)進行廣義差分變換：整理得：(6.4.27) 對(6.4.27)式應(yīng)用OLS法，求得的估計值 ,它就是yt -1項的系數(shù)。第二步，用估計值 對原始數(shù)據(jù)進行差分變換：(6.4.29) 于是原模型(6.4.25)變?yōu)?6.4.29)

55、 對(6.4.29)應(yīng)用OLS法，可求得估計值其中 。此種方法適用于各種容量的樣本，不同階的自回歸相關(guān)形式，其模型參數(shù)估計值具有最優(yōu)漸近性。杜賓兩步法不但求出了自相關(guān)系數(shù)的估計值，而且也得出了模型參數(shù)的估計值，因此，它是一種簡單而又行之有效的方法。值得注意地是此方法，在進行差分變換(6.4.28)時，也將損失一個觀測值。(三)廣義最小二乘法的應(yīng)用之二：自相關(guān)問題的處理設(shè)有線性回歸模型 (6.4.30) 其中Y為(n1)維向量，X為n(k+1)維矩陣，為(k+1)1維向量，U為(n1)維向量，并且具有一階線性自回歸形式的自相關(guān) (6.4.31) 利用6.1節(jié)的結(jié)果由(6.1.13)式知，有協(xié)方差

56、矩陣：(6.4.32) (6.4.32)式中是一個(nn)維正定對稱矩陣：(6.4.33) 其逆矩陣(參看6.1.14)為： (6.4.34) 對正定對稱矩陣，存在(nn)非奇異矩陣P，使得并且有(6.4.35) (6.4.36) 利用P對原模型(6.4.30)作變換： PYPX PU (6.4.37)令 (6.4.38) 于是，(6.4.37)可改寫成(6.4.39) 由于(6.4.40) 表明變換后的模型(6.4.39)已經(jīng)沒有自相關(guān)。對模型(6.4.39)應(yīng)用OLS法，便得出的最佳線性無偏估計量：(6.4.41) 或(6.4.41) 的協(xié)方差矩陣為 (6.4.42) 或(6.4.42)

57、的無偏估計量為：(6.4.43) 或(6.4.43) 擬合優(yōu)度的表達式為：(6.4.44) 或(6.4.44) 其中 (6.4.45) 以上分析過程中，我們使用了兩個矩陣P和。但是，在實際計算過程中只用二者之一即可?？梢宰C明P具有如下形式(6.4.46) 可以驗證P滿足(6.4.35)和(6.4.36)。用P作用于X和Y可得如下一組變換觀測值：(6.4.47) (6.4.48) 以上公式只有當(dāng)已知時才能使用，如果未知，就應(yīng)先對進行估計，再用估計量 代替P和中的，問題便得以解決。第七章 多重共線性【本章要點】（1）多重共線性的概念，產(chǎn)生多重共線性的原因。（2）多重共線性對模型參數(shù)估計的影響；（3

58、）檢驗多重共線性的主要方法；（4）消除多重共線性的方法。 7.1 多重共線性的概念一、多重共線性的基本概念如果在經(jīng)典回歸模型Y X +U中，經(jīng)典假定6遭到破壞，則有rk(X) k+1，此時稱解釋變量間存在完全多重共線性。 解釋變量的完全多重共線性，也就是，解釋變量之間存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，即數(shù)據(jù)矩陣的列向量線性相關(guān)，因此，必有一個列向量可由其余列向量線性表示。這種完全多重共線性是一種極端情形。在實際中還有另外一種情況，即解釋變量之間雖然不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，卻有近似的線性關(guān)系，即指解釋變量之間高度相關(guān)。完全多重共線性和不完全多重共線性，統(tǒng)稱為多重共線性。因此，所謂多重共線性是指解釋變量之間存在完

59、全的線性關(guān)系或近似的線性關(guān)系。多重共線性基本上是一種樣本現(xiàn)象。因為人們在制定模型時，總是盡量避免將理論上具有嚴(yán)格線性關(guān)系的變量作為自變量收集在一起，因此，實際問題中的多重共線性并不是自變量之間存在理論上或?qū)嶋H上的線性關(guān)系造成的，而是由于所收集的數(shù)據(jù)(自變量觀察值)之間存在近似的線性關(guān)系所致。 二、出現(xiàn)多重共線性的原因引起多重共線性的具體原因是各種各樣的，一般常見的有：1.兩個自變量具有相同或相反的變化趨勢；2.數(shù)據(jù)收集的范圍過窄，造成某些自變量之間似乎有相同或相反變化趨勢的假象；3.經(jīng)濟變量之間往往存在著密切的關(guān)聯(lián)度，因此，使某些自變量之間存在某種類型的近似線性關(guān)系；4.一個自變量是另一個自變

60、量的滯后值。5.模型中解釋變量選擇不適當(dāng)，可能引起變量之間的多重共線。7.2 多重共線性的后果一、完全多重共線為了簡單起見，我們先以二元線性回歸模型(7.2.1)為例進行討論?？紤]模型(7.2.1) 并且假設(shè) 常數(shù)0。 顯然，1的最小二乘估計量為(7.2.2) 用同樣的方法可得：(7.2.3) 由(7.2.2)和(7.2.3)式知，參數(shù)估計值無法確定。再來考慮參數(shù)估計量的方差：(7.2.4) 用同樣的方法可得(7.2.5) (7.2.4)和(7.2.5)式表明， 的方差變?yōu)闊o窮大。以上分析表明，當(dāng)解釋變量存在完全多重共線性時，利用普通最小二乘法無法將參數(shù)估計出來，并且估計值的方差變?yōu)闊o窮大。二