教師培訓(xùn)課件：新課程教學(xué)設(shè)計(jì)案例-

1、Teaching Design of HPM運(yùn)用歷史的兩種方式 1 歷史材料的直接利用 2 歷史啟示下的教學(xué)方法發(fā)生教學(xué)法 Teaching Design of HPM嚴(yán)格演繹的方法 更強(qiáng)調(diào)結(jié)果，而忽略導(dǎo)致該結(jié)果的問題。引入新概念、理論、證明的動(dòng)機(jī)被隱藏了。（弗賴登塔爾：“違反教學(xué)法的顛倒”）嚴(yán)格歷史的方法 主要關(guān)心“學(xué)科發(fā)展過程中起作用的思想、事件的精確記錄”Teaching Design of HPM發(fā)生教學(xué)法 基本思想：在學(xué)生具備足夠的動(dòng)機(jī)后、在心理發(fā)展的適當(dāng)時(shí)間講授某個(gè)主題。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所引入的新主題乃是解決問題需要。 不強(qiáng)調(diào)如何運(yùn)用理論、方法和概念，而強(qiáng)調(diào)為什么它們?yōu)樘囟ǖ臄?shù)學(xué)問題提

2、供了答案。Teaching Design of HPM 教師需要：了解該概念的歷史發(fā)展過程；確定歷史發(fā)展過程中的若干關(guān)鍵環(huán)節(jié)（步驟）一個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)因是什么？數(shù)學(xué)家遇到何種困難和障礙？在此基礎(chǔ)上，重構(gòu)這些環(huán)節(jié)（步驟），使其適合于課題教學(xué)；設(shè)計(jì)出一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的問題（可以是歷史上的問題或改編的問題）Teaching Design of HPMFuringhetti: 將數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)的過程Teaching Design of HPM 設(shè)計(jì)發(fā)生教學(xué)法時(shí)影考慮的因素：學(xué)生的學(xué)習(xí)（心理學(xué)領(lǐng)域）概念的歷史（數(shù)學(xué)史領(lǐng)域）數(shù)學(xué)教材課程標(biāo)準(zhǔn)案例1 一元一次方程概念一元一次方程歷史的重

3、構(gòu) 案例1 一元一次方程概念 例1、（1）有一塊面積為240平方米的長方形空地，長為20米，求寬。（2）如果要在這塊空地的一頭建一座房子，要求留下72平方米做草坪，則房子地基的長應(yīng)為多少？設(shè)房子的長為x米，試建立關(guān)于x的方程。(四則)例2、（1）已知電線桿的3/14部分在地下。若地下部分長為2.7米，則電線桿的總長為多少？（2）已知電線桿的3/14部分在地下。若地上部分長為10米，則電線桿總長為多少？設(shè)電線桿的總長為x，試建立關(guān)于x的方程。 (四則)案例1 一元一次方程概念例3、小強(qiáng)的爸爸和小強(qiáng)做數(shù)學(xué)游戲。爸爸讓小強(qiáng)在心里隨便選定一個(gè)數(shù)（但不要說出來），按如下步驟做計(jì)算：將這個(gè)數(shù)乘以5，再將所

4、得乘積加上6，再將所得和乘以4，再將所得乘積加上9，最后，將所得的和乘以5。經(jīng)過計(jì)算，小強(qiáng)得到465。小強(qiáng)爸爸立刻說出小強(qiáng)心里選定的那個(gè)數(shù)。你知道這個(gè)數(shù)是多少嗎？試列出方程。(四則)案例1 一元一次方程概念例4、（1）甲、乙、丙三人制磚，一天各能完成300、250和200塊。三人合作制磚1500塊，需多長時(shí)間？（2）若甲先工作一天后乙、丙加入，還需多長時(shí)間？設(shè)需x天完成，試列出關(guān)于x的方程。(合作)例5、（1）第一艘船從甲地出發(fā)，需行5天才抵達(dá)乙地；第二艘船從乙地出發(fā)，需行7天才能抵達(dá)甲地。今兩船各從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，問幾天后相遇？（2）如果第二艘船先行2天，第一艘船才出發(fā)，那么，

5、兩船幾天后相遇？設(shè)x天后兩船相遇，試列出關(guān)于x的方程。(行程)案例1 一元一次方程概念題 次未知數(shù)（x）方 程問題來源1（1）長方形的寬九章算術(shù)（2）房子地基的長2（1）電線桿的長計(jì)算之書（2）電線桿的長3小強(qiáng)心里選定的數(shù)17世紀(jì)趣味數(shù)學(xué)問題4（1）完成天數(shù)希臘選集（2）完成天數(shù)5（1）相遇時(shí)間計(jì)算之書（2）相遇時(shí)間案例1 一元一次方程概念例6、開學(xué)第一天，小明問新來的數(shù)學(xué)老師幾歲了，數(shù)學(xué)老師回答說：“取我年齡的一半，加上我年齡的1/3，又加上我年齡的1/4，最后再加上我的年齡，總數(shù)剛好是100。”請問新來的數(shù)學(xué)老師多大了？試列出一元一次方程。（定和）案例1 一元一次方程概念例7、自從小淳上初

6、中以來，爸爸媽媽每月都給他同樣數(shù)目的零用錢，并讓他把每次花錢的情況記錄下來。9月份，小淳的消費(fèi)記錄如左表。問：小淳每月的零用錢有多少？”試列出一元一次方程。(定和)日 期花費(fèi)情況用 途9月1日花去1/2計(jì)算器9月5日花去剩下的1/3教輔書9月12日花去剩下的1/4筆和紙9月19日花去剩下的1/5涂改液9月26日花去剩下的1/6電 池總 計(jì)100元案例1 一元一次方程概念例8、在一次課外活動(dòng)中，菁菁班里有一半同學(xué)去聽講座，三分之一的同學(xué)去踢球，七分之一的同學(xué)去跑步。剩下菁菁一人在琴房練琴。請問菁菁班里共有多少人？試列出一元一次方程。（余數(shù)）例9、在意大利數(shù)學(xué)家斐波納契所著的計(jì)算之書（1202）中

7、，有這樣一個(gè)問題：“一人經(jīng)過7座大門進(jìn)入樂園，摘蘋果若干。當(dāng)他離開果園時(shí)，他把一半蘋果加上1個(gè)蘋果給了第一個(gè)門衛(wèi)；把剩下的一半加上一個(gè)給了第二個(gè)門衛(wèi)；類似地，依次把剩下的蘋果分給其他五個(gè)門衛(wèi)。當(dāng)他離開果園時(shí)，只剩下了1個(gè)蘋果。問：此人在樂園摘了多少個(gè)蘋果？”試列出一元一次方程。（余數(shù)）案例1 一元一次方程概念題次未知數(shù)(x)一元一次方程問題來源6數(shù)學(xué)老師的年齡益智問題集計(jì)算之書7小淳每月零花錢數(shù)九章算術(shù)8菁菁班里的人數(shù)希臘選集9蘋果數(shù)計(jì)算之書案例1 一元一次方程概念 練習(xí)：1、一個(gè)水池，有兩個(gè)進(jìn)水口和兩個(gè)排水口。用第一個(gè)進(jìn)水口注水，1天可注滿；用第二個(gè)進(jìn)水口注水，2天可注滿。用第一個(gè)排水口排水

8、，3天可排完；用第二個(gè)排水口排水，4天可排完。問：同時(shí)打開兩個(gè)進(jìn)水口和兩個(gè)排水口，多長時(shí)間可注滿水池？”試建立一元一次方程。（改編自九章算術(shù)、希臘選集和計(jì)算之書）2、第一艘船從甲地出發(fā)，需行5天才抵達(dá)乙地；第二艘船從乙地出發(fā)，需行7天才能抵達(dá)甲地。今兩船各從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，問幾天后第二次相遇（假設(shè)兩船到達(dá)的目的地后，各自立即返回）？試列出一元一次方程。（改編自九章算術(shù)和計(jì)算之書）案例1 一元一次方程概念3、在約制作于公元前1800年的巴比倫泥版上，有這樣一道題：“我找到一石，但未稱其重量。它的6倍，加上2 斤，再加上所得重量三分之一的七分之一的24倍，共重60斤。問：石子原重幾何

9、？”試列出關(guān)于石重的一元一次方程。4、在印度算書麗羅娃蒂（12世紀(jì)）中有這樣一個(gè)問題：“某數(shù)乘以5，減去乘積的1/3，余數(shù)除以10；又加上此數(shù)的2倍、1/2、3/4，得68。求此數(shù)?！绷谐鲆辉淮畏匠獭０咐? 一元一次方程概念5、小明花77元買4本書。第二本書的價(jià)格是第一本的2/3；第三本的價(jià)格是第二本的3/4；第四本的價(jià)格是第三本的4/5。求各本書的價(jià)格?！绷谐鲆辉淮畏匠?。（改編自計(jì)算之書）6、菁菁有蘋果若干。她把其中的三分之一、四分之一、五分之一和八分之一分別給了四位好朋友。又給她媽媽10個(gè)，自己只剩下一個(gè)蘋果。問：菁菁原有幾個(gè)蘋果？列出一元一次方程。（改編自希臘選集）案例1 一元一次方

10、程概念7、成書于公元4世紀(jì)的孫子算經(jīng)卷下有這樣一道題：“今有器中米，不知其數(shù)。前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。問：本米幾何？”（注：1斗 = 10升）列出一元一次方程。8、斐波納契計(jì)算之書中設(shè)題：一人臨終前對(duì)他的長子說，“你們之間這樣來分我的可動(dòng)財(cái)產(chǎn)：你拿1比贊和余下財(cái)產(chǎn)的1/7”；又對(duì)次子說，“你拿2比贊和余下財(cái)產(chǎn)的1/7”；又命第三個(gè)兒子拿3比贊和余下財(cái)產(chǎn)的1/7 。這樣依次分下去，他給每個(gè)兒子比前一個(gè)兒子多1比贊以及余下財(cái)產(chǎn)的1/7 。把剩余的最后一份財(cái)產(chǎn)分給最小的兒子后，恰好不再有剩余。結(jié)果，每個(gè)兒子所得恰好一樣多。問此人有幾個(gè)兒子，有多少財(cái)產(chǎn)？列出一元一次方程。案

11、例1 一元一次方程概念9、自己設(shè)計(jì)一個(gè)可用一元一次方程來求解的實(shí)際問題。 本設(shè)計(jì)的主要目的是讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中尋找數(shù)量關(guān)系、建立一元一次方程這一數(shù)學(xué)模型的過程，并了解一元一次方程的概念。一方面，通過歷史上出現(xiàn)過的各類實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)一元一次方程對(duì)于問題解決的必要性，從而創(chuàng)造學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；另一方面，根據(jù)重構(gòu)的歷史順序，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，由易至難對(duì)問題進(jìn)行編排，體現(xiàn)一元一次方程概念的可接受性，從而遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。從下表中我們看到，發(fā)生教學(xué)法與新課程的理念或要求是一致的。 案例1 一元一次方程概念發(fā)生教學(xué)法的特征新課程的理念主題之必要性數(shù)學(xué)模型可以有效地

12、描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)主題之可接受性數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上案例1 一元二次方程的概念案例2 一元二次方程的概念例 1 矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（埃及紙草書）例 2 已知矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。例 3 已知矩形面積為60，長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。 （巴比倫泥版 ）案例2 一元二次方程的概念序問 題地 區(qū)時(shí) 間1長30英尺的梯子靠

13、墻直立，當(dāng)頂端沿墻下移6英尺時(shí)，底端離墻移動(dòng)多遠(yuǎn)？巴比倫公元前1600-1800年2一根蘆葦靠墻直立，當(dāng)頂端沿墻下移3英尺時(shí)，底端離墻移動(dòng)9英尺。問蘆葦有多長？巴比倫公元前100年3今有垣高一丈。倚木于垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問木長幾何？中 國公元1世紀(jì)4長20英尺的矛，靠塔直立。若將底端離墻外移12英尺，則尖端抵塔多高？意大利1202年5長25英尺的梯子，斜靠在墻上，頂端距墻角比底端距墻角遠(yuǎn)17英尺。問梯子頂端距墻角的距離為多少？美 國1970年案例2 一元二次方程的概念例 4 長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻向下滑動(dòng)6英尺時(shí)，底端離墻滑動(dòng)多遠(yuǎn)？例 5 在例 3

14、 中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動(dòng)6英尺，那么底端將再一次滑動(dòng)多遠(yuǎn)？試列出底端再一次滑動(dòng)的距離所滿足的方程。案例2 一元二次方程的概念例 6 如圖，有一所正方形的學(xué)校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個(gè)學(xué)生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見到學(xué)校北面的大榕樹。問這所學(xué)校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。案例2 一元二次方程的概念案例2 一元二次方程的概念（展示圖片）現(xiàn)在大家看到的是 中世紀(jì)歐洲最偉大的一位數(shù)學(xué)家， 他叫斐波納契。他在1225年寫成 一本書，叫花朵（聽起來不 像數(shù)學(xué)書名）。在該書中，斐波 納契提出了如下問

15、題斐波納契案例2 一元二次方程的概念 例7、如圖2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底邊BC上的高。在AB、AC上各求一點(diǎn) E、F，在BC上求兩點(diǎn)G和H，使AEGHF是等邊五邊形。案例2 一元二次方程的概念在教師的引導(dǎo)下，基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生從例2、3、5、6、7中分別得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。 案例2 一元二次方程的概念題 次所建立的方程利用的知識(shí)1矩形面積2矩形面積3矩形面積4勾股定理5勾股定理6三角形的相似性7軸對(duì)稱、三角形的相似性、勾股定理案例2 一元二次方程的概念 練習(xí)1、兩個(gè)正方形面積之和為1000。一個(gè)正方形邊長是另一正方形邊長的

16、減去10。求這兩個(gè)正方形的邊長。（巴比倫泥版上的問題） 練習(xí)2、在某公園內(nèi)一塊邊長為50米的正方形空地上建造一個(gè)正方形魚池，要求水池旁邊有供人觀賞行走的通道，且水池占地面積為空地面積的60%。請完成你的設(shè)計(jì)。案例2 一元二次方程的概念案例2 一元二次方程的概念 本教學(xué)設(shè)計(jì)在以下幾個(gè)方面貫徹了新課程的思想、理念、目標(biāo)和要求。 1、包含濃郁的歷史文化氣息，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是人類的一種文化。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的悠久歷史，數(shù)學(xué)與人類文明的密切相關(guān)性，數(shù)學(xué)文化的多元性。 2、教學(xué)活動(dòng)建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，在引出新知識(shí)的同時(shí)也鞏固了舊知識(shí)（如開平方、軸對(duì)稱、勾股定理、圖形的相似性等）。案例2 一元二次方程

17、的概念本教學(xué)設(shè)計(jì)在以下幾個(gè)方面貫徹了新課程的思想、理念、目標(biāo)和要求。3、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。4、使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程，感受一元二次方程作為一種數(shù)學(xué)模型的重要性。5、使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。案例2 一元二次方程的概念6、利用背景知識(shí)以及古人的問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心與學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)。7、使學(xué)生體會(huì)到不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系。8、創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為后面一元二次方程解法的教學(xué)埋下了伏筆。案例3 一元二次方程的解法1 引入教師可以從案例1中的例1和例4引入。在上節(jié)課，我們遇到過古埃及矩形面積問題以及古巴比倫的梯子問題，所得方程分

18、別為 和我們通過直接開方得到問題的答案。但對(duì)于其他例子以及練習(xí)題中的方程，我們無法直接求平方根。怎樣求這些一元二次方程的根呢？案例3 一元二次方程的解法 從歷史上看，古代巴比倫人最早給出一元二次方程的解法。對(duì)于矩形面積問題中關(guān)于矩形長的方程 ，巴比倫人的解法如下： “取7的一半 ，得 ；自乘，得 ；與 60 相加，得 ，開方得 。將 與 相加，得12，即為矩形的長?！?案例3 一元二次方程的解法 教師可以告訴學(xué)生，古代巴比倫人列方程和解方程過程中，完全是用文字來敘述的（上面的分?jǐn)?shù)完全是今天的寫法），沒有使用我們今天意義下的任何代數(shù)符號(hào)。 接著，讓學(xué)生驗(yàn)證答案是否正確，并把上述解法寫成一個(gè)運(yùn)算式

19、子： 。 案例3 一元二次方程的解法 讓學(xué)生觀察上述式子與方程 的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，再讓他們討論：一般方程 （b 0，c 0）的根是否可用一個(gè)公式來表示呢？在學(xué)生猜想得出 之后，教師接著問：這個(gè)猜想是否正確？ 案例3 一元二次方程的解法 進(jìn)一步問：一般地，方程 （a、b、c可正可負(fù)）的根是否可用它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)來表示呢？從而引出本節(jié)課的主題：怎樣求一元二次方程的根？案例3 一元二次方程的解法2 配方法與公式法 解一元二次方程的基本思路是降次。從歷史上看，婆什迦羅（Bhskara, 11141185）在其麗羅娃蒂中已經(jīng)表達(dá)了這一思路：在一元二次方程兩邊乘以某數(shù)，再在兩邊加上某數(shù)，使得

20、方程一邊為完全平方，另一邊為常數(shù)，從而開方得方程的根。案例3 一元二次方程的解法 由于全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出在教學(xué)中應(yīng)“介紹有關(guān)代數(shù)內(nèi)容的幾何背景”，“注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系” ，我們可以從花拉子米的平方法入手。 案例3 一元二次方程的解法例 1、解方程 。 公元9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（Al-Khwarizmi, 780?850?）在其代數(shù)學(xué)中解過這個(gè)一元二次方程，不過他把方程寫成 的形式（在當(dāng)時(shí)，人們還不能接受負(fù)數(shù)，因此，人們并不把方程寫成一邊等于零的形式。方程的書寫往往以不出現(xiàn)負(fù)系數(shù)為準(zhǔn)。） 案例3 一元二次方程的解法 花拉子米把方程左邊 看作是由一個(gè)正方形（邊長為 x）和兩

21、個(gè)同樣的矩形（長為 x，寬為5）構(gòu)成的矩尺形，它的面積為39，如圖所示。于是只要在該圖形上添加一個(gè)邊長為5 的正方形，即可得一完整的正方形，其面積為 。于是知它的邊長為8，因而得方程的正根x = 3。 案例3 一元二次方程的解法引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)過程用代數(shù)語言寫出來，就是： 案例3 一元二次方程的解法 教師適時(shí)地告訴學(xué)生：上述解一元二次方程的方法叫配方法：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊配成完全平方，然后直接開方。 接著，讓學(xué)生用配方法解一般方程 （b 0，c 0）： 案例3 一元二次方程的解法 案例3 一元二次方程的解法例2、解方程 。 從幾何上看，方程左邊就是圖中

22、邊長為x的正方形中挖去一個(gè)長為x、寬為5的矩形、一個(gè)長為x-5、寬為5的矩形以及一個(gè)邊長為5的正方形后所得的矩尺形，它的面積為 39。因此，添加一個(gè)邊長為5的正方形，即得邊長為x-5的正方形，其面積為 。于是知它的邊長為8，故得方程的正根x = 13。案例3 一元二次方程的解法引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)過程用代數(shù)語言寫出來，就是： 案例3 一元二次方程的解法接著，讓學(xué)生用配方法解一般方程 （b 0，c 0）： 案例3 一元二次方程的解法讓學(xué)生總結(jié)首項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的配方法：不論一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是正還是負(fù)，只要將常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊，然后在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，如果方程右邊的常數(shù)非負(fù)，就

23、可以直接開方。 例3、解下列方程： （1） (Brahmagupta, 7世紀(jì)) ； （2） (Ramus, 16世紀(jì))； （3） (Ghaligai,16世紀(jì)) ； （4） 案例3 一元二次方程的解法在學(xué)生掌握二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的配方法之后，讓學(xué)生思考：如何用配方法來解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程 ？引導(dǎo)學(xué)生將其化為二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程，然后用上面學(xué)過的配方法得到一元二次方程的求根公式：案例3 一元二次方程的解法在數(shù)學(xué)史上，一元二次方程的上述求根公式被稱為“印度求根公式”。原來，12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在其著作中引用了釋律達(dá)羅（Sridhara, 11世紀(jì)）的解一元二次方程的方

24、法，這種方法并不需要將二次項(xiàng)系數(shù)化成1?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生作這樣的思考：如果不將二次項(xiàng)系數(shù)化成1，是否也能配方呢？需要在方程兩邊乘以什么數(shù)呢？案例3 一元二次方程的解法方法1：案例3 一元二次方程的解法方法2：案例3 一元二次方程的解法 方法2的優(yōu)點(diǎn)是配方過程中可以盡量避免使用分?jǐn)?shù)。教師說明：利用上述公式來解一元二次方程的方法叫公式法。 例4、解下列方程：（1） （美洲，1556年） ；（2） （幾何原本黃金分割作圖） ；（3） ； （4） 案例3 一元二次方程的解法3 因式分解法從歷史上看，最早用因式分解法來解方程的是17世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家哈里奧特（T. Harriot, 15601621）。他在實(shí)用

25、分析術(shù)（1631）中將一元二次方程 （ b 0，c 0）寫成將方程左邊分解成 ，得 ，于是求得正根 。案例3 一元二次方程的解法哈里奧特（T. Harriot, 1560-1621）：案例3 一元二次方程的解法笛卡兒(R. Descartes, 1596-1690)幾何學(xué)(1637)： 將一元一次方程 x -2 = 0和 x - 3 = 0相乘，得一元二次方程 ，它的兩個(gè)根為 2 和 3。借鑒歷史，教師可以先給出下面的例子。 例 1 解下列方程： （1）(x-4)(x+4)=0；（2）(x- 3) (x-4) = 0； （3）(2x+3)(x-1)=0。案例3 一元二次方程的解法 在得到諸方程

26、的根之后，教師進(jìn)一步問：上面三個(gè)方程是否一元二次方程？讓學(xué)生將方程左邊展開，得到一般形式的一元二次方程之后，讓學(xué)生思考：對(duì)于一般的一元二次方程，我們能否反過來把左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，從而得出兩個(gè)根呢？ 例2 解下列方程： （1） ；（2） 。案例3 一元二次方程的解法教師說明：將一元二次方程寫成右邊等于零的形式，然后將左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，從而求出方程的根，這種解方程的方法叫因式分解法。上例中第二個(gè)方程的解法中利用了配方法，并沒有顯示出因式分解法的優(yōu)勢。教師接著進(jìn)一步舉例講述因式分解法。案例3 一元二次方程的解法例7、解下列方程：（1） （Fibonacci） ；（2） （Pa

27、cioli ）；（3） （Baskara）；（4） （Baskara） 。案例3 一元二次方程的解法設(shè)計(jì)第一個(gè)方程的目的是告訴學(xué)生，不含常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程用因式分解法最方便；設(shè)計(jì)后三個(gè)方程的目的是介紹十字相乘法。教師通過這些例子說明：因式分解法與配方法、公式法各有千秋，都是十分重要的解方程方法。 案例3 一元二次方程的解法4 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)建議中指出：“本學(xué)段（7-9年級(jí)）的教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展的模式展開發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望與信心。”在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法之后，讓學(xué)生回過頭來解決第一次課上遇到的各個(gè)問題。在解方程之后，強(qiáng)

28、調(diào)應(yīng)根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理。諸問題的信息見下表。案例3 一元二次方程的解法題次方 程未知數(shù)意義合題意的根不合題意的根解法2356案例4 二元一次方程組的概念例1、列一元一次方程，解下列各文字題：（1）已知長方形的長和寬的倍之和等于7，長、寬之和等于10。求長和寬。（古巴比倫泥版）（2）已知兩塊地共1畝，第一塊地畝產(chǎn)4擔(dān)糧食，第二塊地畝產(chǎn)3擔(dān)糧食。第一塊地的產(chǎn)量比第二塊的產(chǎn)量多擔(dān)。問：兩塊地的面積各為多少？（古巴比倫泥版）案例4 二元一次方程組的概念（3）已知每立方寸玉重7兩；每立方寸石重6兩?，F(xiàn)有一塊邊長為3寸的立方石塊，其中含有玉，總重11斤。問：這塊立方石塊所含玉、石的重量各

29、為多少？（中國九章算術(shù)）（4）已知兩數(shù)之和為100，差為40，求這兩個(gè)數(shù)。（丟番圖算術(shù)）案例4 二元一次方程組的概念（5）某人工作1月（30天），得7比贊（古羅馬貨幣）；怠工一月，付給工頭4比贊。月末，他從工頭處得到1比贊。問：此人工作幾天？怠工幾天？（斐波納契計(jì)算之書）（6）為了鼓勵(lì)兒子學(xué)好算術(shù)，兒子每做對(duì)一道題，父親給他8分錢；做錯(cuò)一道題，罰5分錢。做完26道題后，誰也不用給誰錢。問：兒子做對(duì)了幾道題？（克拉維斯代數(shù)）案例4 二元一次方程組的概念教師先讓學(xué)生解上述諸題，然后讓學(xué)生回答：所選擇的未知量是什么？另一個(gè)量是什么？如何表示？根據(jù)題意得到怎樣的一元一次方程？最后，教師作出總結(jié)，如下表

30、所示。案例4 二元一次方程組的概念題次未知量另一個(gè)量一元一次方程（1）長方形的長（x）（2）第一塊地的面積（x）（3）玉的體積（x）（4）較小的數(shù)（x）（5）工作天數(shù)（x）（6）做對(duì)題數(shù)（x）案例4 二元一次方程組的概念接著，教師讓學(xué)生思考：上面六個(gè)問題各涉及兩個(gè)量，我們在求解的時(shí)候，只設(shè)其中一個(gè)為 x，而另一個(gè)量則根據(jù)題設(shè)的其中一個(gè)數(shù)量關(guān)系，用x來表示，最后利用另一個(gè)數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)于x的一元一次方程。如果我們把另一個(gè)量也看作未知量，并設(shè)為 y，情形又如何呢？在學(xué)生討論之后，讓他們回答：兩個(gè)未知量分別是什么？根據(jù)題意可得怎樣的等式？有幾個(gè)等式？ 案例4 二元一次方程組的概念題次未知量之一未知

31、量之二方程一方程二（1） 長方形長（x）長方形的寬（y）（2）第一塊地面積（x）第二塊地面積（y）（3）玉的體積（x）石的體積（y）（4）較小的數(shù)（x）較大的數(shù)（y）（5）工作天數(shù)（x）怠工天數(shù)（y）（6）做對(duì)題數(shù)（x）做錯(cuò)題數(shù)（y）案例4 二元一次方程組的概念例2、閱讀下列問題，設(shè)未知數(shù)，分別列出一元一次方程和二元一次方程組：（1）有一位行人傍晚經(jīng)過一個(gè)樹林，忽聽得林間有人在說話，細(xì)聽方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽得竊賊說：“每人6匹，則多出5匹；每人7匹，則又少了8匹?！眴枺汗灿袔讉€(gè)竊賊，幾匹贓物？（高彥休唐闕史）（2）若干人共同出錢購物，若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則又少

32、了4元。問：共有幾個(gè)人？物價(jià)是多少？（九章算術(shù)）案例4 二元一次方程組的概念例3、設(shè)未知數(shù)，列二元一次方程組：（1）5頭牛、2只羊，共值10兩（古代錢幣單位）；2頭牛、5頭羊，共值8兩。問：牛和羊的單價(jià)各為多少？（九章算術(shù)）（2）甲、乙二人各有錢若干。甲若得到乙的1/2，則有50；乙若得到甲的2/3，則也有50元。問：甲和乙各有多少錢？（九章算術(shù)）（3）9個(gè)李子、7個(gè)蘋果共值107；7個(gè)李子9個(gè)蘋果共值110。問：一個(gè)李子和一個(gè)蘋果各值多少？（摩訶毗羅文集）案例4 二元一次方程組的概念例4、設(shè)未知數(shù)，列二元一次方程組：（1）騾子和驢馱著酒囊行走在路上。為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著。聽到驢的

33、怨言，騾子給她出了這樣一道題：“媽媽，你為何眼淚汪汪，滿腹牢騷，抱怨的應(yīng)該是我才對(duì)呀！因?yàn)椋绻憬o我一袋酒，我負(fù)的重量就是你的2倍；若你從我這兒拿去一袋，則你我所負(fù)重量剛好相等?！焙眯牡南壬?，數(shù)學(xué)大師，請告訴我，他們所負(fù)酒囊各有幾袋？（歐幾里得，前3世紀(jì)）案例4 二元一次方程組的概念（2）甲對(duì)乙說：“如果你給我10邁納（古希臘貨幣單位），那么我的錢將是你的3倍?！币覍?duì)甲說：“如果我從你那兒拿同樣多的錢，那么我的錢將是你的5倍?！眴柤?、乙各有多少錢？（希臘選集）（3）若甲得乙之7第納爾（古羅馬金幣），則甲的錢是乙的5倍多1；若乙得甲之5第納爾，則乙的錢是甲的7倍多2。問：甲、乙各有多少錢？（計(jì)

34、算之書）案例4 二元一次方程組的概念在學(xué)生深刻體會(huì)二元一次方程組知識(shí)的形成過程以及二元一次方程組作為一種數(shù)學(xué)模型的重要性、充分領(lǐng)略豐富多彩的數(shù)學(xué)文化之后，教師再回到例1上來，引入二元一次方程組的解的概念。案例4 二元一次方程組的概念練習(xí)1、先列出一元一次方程解下列各題，然后列出二元一次方程組，并說出方程組的解。（1）13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波納契在計(jì)算之書第12章中設(shè)題：“將11分成兩部分，使其中一部分的9倍等于另一部分的10倍?！保?）15世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家休凱在算術(shù)三部中設(shè)題：“木匠工作一天，獲酬5.5元；怠工一天，賠償6.6元。30天后，木匠收支剛好相等。問：木匠工作了幾天？”（3）九章算術(shù)贏

35、不足問題：“若干人共同出錢買豬，每人出100，多出100；每人出90，剛好夠豬價(jià)。問：有多少人？豬價(jià)為多少？”（4）程大位在算法統(tǒng)宗卷16中以“浪淘沙”為詞牌名設(shè)題：“昨日獨(dú)看瓜，因事來家。牧童盜去眼昏花。信步廟東墻外過，聽得爭差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借問人瓜各有幾？已會(huì)先答?！卑咐? 二元一次方程組的概念練習(xí)2、閱讀下列各文字題，列出二元一次方程組。（1）九章算術(shù)方程問題：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕?；Q其中一只，恰好一樣重。問：每只雀、燕的重量各為多少？”（2）斐波納契在計(jì)算之書第13章中設(shè)題：“甲、乙二人各有錢幣若干。甲對(duì)乙說：如果把你的錢幣的1

36、/3給我，我就有14第納爾；乙對(duì)甲說：如果把你的錢幣的1/4給我，我就有17第納爾。問：甲、乙各有多少錢？”（3）斐波納契在計(jì)算之書第12章中設(shè)題：“若甲得乙之7第納爾，則甲的錢是乙的5倍；若乙得甲之5第納爾，則乙的錢是甲的7倍。問：甲、乙各有多少錢？”案例4 二元一次方程組的概念（4）程大位在算法統(tǒng)宗卷十一中設(shè)題：“今有馬三匹、牛四頭，共價(jià)銀一百一十四兩；又馬四匹、牛五頭，共價(jià)一百六十二兩五錢。問馬、牛價(jià)各若干？”（5）程大位在算法統(tǒng)宗卷十一中設(shè)題：“今有綾三尺、絹四尺，共價(jià)四錢八分；又綾七尺、絹二尺，共價(jià)六錢八分。問綾、絹各價(jià)若干？” 案例 5 全等三角形的應(yīng)用“全等三角形的判定”是初中平

37、面幾何重要內(nèi)容之一，課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”。華師大版討論了“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”和“邊邊邊”四種判別法，但并沒有涉及到知識(shí)的歷史背景和實(shí)際應(yīng)用，這與同一教材對(duì)“相似三角形”的處理并不一致，對(duì)照發(fā)生教學(xué)法，教材在體現(xiàn)“主題之必要性”上，做得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。本文的目的是將有關(guān)歷史知識(shí)融入該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)之中。案例 5 全等三角形的應(yīng)用從歷史上看，和相似三角形情形一樣，古人對(duì)全等三角形的認(rèn)識(shí)源于測量，可以上溯到古代埃及和巴比倫文明，但很難判斷古人認(rèn)識(shí)“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”三個(gè)全等條件的先后順序。表1給出三個(gè)定理在幾何原本和華師大版教材中分別出現(xiàn)的先后順

38、序以及證明方法。華師大版中的順序也是現(xiàn)代教材通常采用的順序，與美國數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家史密斯（D. E. Smith, 18601944）幾何的教學(xué)1中安排的順序一致。采用與幾何原本不同的順序，顯然是出于證明的需要。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用定 理幾何原本華師大版教材順 序證 法順 序證 法邊角邊1（卷1命題4）疊 置1疊 置邊邊邊2（卷1命題8）反證法3利用邊角邊定理角邊角3（卷1命題26）反證法2疊 置表1 全等定理的順序與證法案例 5 全等三角形的應(yīng)用盡管歐幾里得在幾何原本中利用疊置的方法來證明邊角邊定理，但這似乎處于無奈，因?yàn)樗麑?shí)際上總是盡量地避免使用這種證法。16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家佩勒

39、蒂埃（J. Peletier, 15171582）在注釋幾何原本時(shí)對(duì)疊置法提出置疑，他指出，如果可以隨意把疊置當(dāng)作證明方法，那么它將充斥于幾何學(xué)中：作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線，等等。案例 5 全等三角形的應(yīng)用對(duì)于邊邊邊定理，歐幾里得放棄了疊置法。他先引入如下命題（卷1命題7）：過線段兩端點(diǎn)，在線段同一側(cè)，不可能作出兩組相交直線，使得過同一端點(diǎn)的線段對(duì)應(yīng)相等。利用這一命題，歐幾里得用反證法證明：將一個(gè)三角形移到另一個(gè)三角形上，使得其中一組對(duì)應(yīng)邊重合，且另兩組對(duì)應(yīng)邊在同一側(cè)時(shí)，這兩組對(duì)應(yīng)邊分別重合。顯然，后世數(shù)學(xué)家對(duì)這一證法并不滿意，拜占庭時(shí)期數(shù)學(xué)家菲羅（Philo, 公元前1世紀(jì)，又譯

40、菲?。┙o出新證法：移動(dòng)其中一個(gè)三角形，使其一條邊與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊重合，而該邊所對(duì)頂點(diǎn)與另一三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)位于它的兩側(cè)。連接這兩個(gè)頂點(diǎn)，得兩個(gè)等腰三角形。故知重合邊所對(duì)的角相等。于是，根據(jù)邊角邊定理，兩個(gè)三角形全等。案例 5 全等三角形的應(yīng)用華師大版教材即采用了這一證法。對(duì)于角邊角定理，歐幾里得再次采用了反證法，后人同樣感到不滿意。10世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾奈里茲（Al-Nairizi）在注釋幾何原本時(shí)，仍采用了疊置法，但阿爾奈里茲說，這種方法很久以前已經(jīng)為人們所采用。因此，盡管疊置法并不完美，但從教學(xué)上看，它比反證法更易于接受，教材的處理還是比較合理的。案例 5 全等三角形的應(yīng)用1 邊角

41、邊我們認(rèn)為，歷史上人們認(rèn)識(shí)三種全等條件的先后順序大致是由測量的難易程度來決定的，因此，幾何原本中的順序可能更符合歷史順序。教師可以從最簡單的長度測量方法入手。案例 5 全等三角形的應(yīng)用古人往往 “就地取材”，用自己的手或腳來測量長度。在古代巴比倫和埃及，常用的長度單位為“肘尺”（cubit）從肘到中指端的長度（約53cm）；在古代希臘和羅馬，常用的長度單位是“尺”（foot）腳掌的長度（從275mm到330mm不等）和“掌”（palm）四指寬（1肘尺6掌）；在中世紀(jì)的英國，據(jù)說“碼”（yard）是根據(jù)亨利一世（Henry I, 10681135）的手臂長確定的。我國古代的長度單位之一是“步”，

42、荀子勸學(xué)篇云：“不積跬步，無以至千里”，按秦時(shí)的度量制度，一步等于二跬，一跬等于三尺，即單腳一次跨出的長度。介紹上述度量知識(shí)之后，教師提出如下問題：假設(shè)一個(gè)人的雙腿伸直，那么在什么條件下他前后兩次跨出的長度相等？案例 5 全等三角形的應(yīng)用案例 5 全等三角形的應(yīng)用 教師引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：已知兩個(gè)等腰三角形的腰相等，那么，在什么條件下底邊也相等？要解決這個(gè)問題，就要研究腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的條件。通過疊置方法，引導(dǎo)學(xué)生得出“兩個(gè)等腰三角形頂角相等”這個(gè)條件。對(duì)于兩個(gè)一般的三角形，如果兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等，是否全等呢？提出這個(gè)問題后，安排給定兩邊長度和頂角大小的三角形作圖活

43、動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生得出“邊角邊確定了一個(gè)三角形形狀”的結(jié)論，并借助圓規(guī)這一作圖工具加以說明：當(dāng)圓規(guī)的兩腳和張角固定時(shí)，兩腳尖之間的距離是固定的，所以用圓規(guī)可以畫出圓來。最后利用疊置方法證明邊角邊定理。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用驢橋定理 在歐洲中世紀(jì)，歐幾里得的證明為幾何原本第1卷命題5贏得了“驢橋定理”之名。這個(gè)名稱有著雙重含義：一是中世紀(jì)數(shù)學(xué)教育十分落后，該定理成了一般學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，故“驢橋”意指“笨蛋難過的關(guān)卡”；二是歐幾里得的圖1下半部分很象一座簡單的桁架橋。案例 5 全等三角形的應(yīng)用 2 邊邊邊 教師可以從橋梁的桁架重新引出三角形“穩(wěn)定性”的話題：給定三邊長度，三角形的形狀是固定的。

44、接著，安排作圖活動(dòng)，引出“邊邊邊”定理，并利用菲羅的方法加以證明。邊邊邊定理的應(yīng)用有著十分悠久歷史。案例 5 全等三角形的應(yīng)用古代的水準(zhǔn)儀 在古代埃及和巴比倫，一些測量工具和基本的幾何圖形，往往被看作神圣的符號(hào)而被用作護(hù)身符。下圖是埃及古墓中出土的測量工具形狀的護(hù)身符，其中第二種顯然是測水準(zhǔn)的工具。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用古代的水準(zhǔn)儀由一個(gè)等腰三角形以及懸掛在頂點(diǎn)處的鉛垂線組成。測量時(shí)，調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過底邊中點(diǎn)，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。這就是“邊邊邊”定理的應(yīng)用。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用我們有理由相信，埃及人在建造金字塔時(shí)必用到這種測量工具。 案例 5 全

45、等三角形的應(yīng)用 在古羅馬土地丈量員的墓碑上，我們也看到了這種水平儀。中世紀(jì)和文藝復(fù)興時(shí)代，這種工具仍被廣泛使用。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用 17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Pomodoro的實(shí)用幾何一書中給出的利用水準(zhǔn)儀測量山坡高度的方法案例 5 全等三角形的應(yīng)用 3 角邊角 希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus, 5世紀(jì)）告訴我們：“歐得姆斯在其幾何史中將該定理歸于泰勒斯。因?yàn)樗f，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理?！?案例 5 全等三角形的應(yīng)用 坦納里（P. Tannery, 18431904）認(rèn)為，泰勒斯應(yīng)該

46、是用右圖所示的方法來求船到海岸的距離的：設(shè)A為海岸上的觀察點(diǎn)，作線段AC垂直于AB，取AC的中點(diǎn)D，過C作AC的垂線，在垂線上取點(diǎn)E，使得B、D和E三點(diǎn)共線。利用角邊角定理，CE的長度即為所求的距離。這種方法為后來的羅馬土地丈量員所普遍采用。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用希思（T. L. Heath, 1861-1940）提出了另一種猜測：如圖，泰勒斯在海邊的塔或高丘上利用一種簡單的工具進(jìn)行測量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以固定在任一位置上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動(dòng)EF（保持與底面垂直），將細(xì)竿對(duì)準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)C。則根據(jù)角邊角定理，D

47、C = DB。 案例 5 全等三角形的應(yīng)用上述測量方法廣泛使用于文藝復(fù)興時(shí)期。右圖是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝里（S. Belli, ?1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。有一個(gè)故事說，拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎(jiǎng)。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。案例6 相似三角形的應(yīng)用“圖形的相似”是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容之一，其中相似三角形的判定、性質(zhì)和應(yīng)用是其中最重要的內(nèi)容。從歷史上看，相似三角形很早就已經(jīng)被人們所認(rèn)識(shí)。在古巴比倫泥版文獻(xiàn)中已經(jīng)出現(xiàn)相似三角形的應(yīng)用問題；

48、公元前6世紀(jì)，古希臘薩莫斯島上的工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）在設(shè)計(jì)隧道挖掘工程時(shí)可能已經(jīng)運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)；泰勒斯（Thales）已經(jīng)會(huì)運(yùn)用相似三角形來進(jìn)行測量。案例6 相似三角形的應(yīng)用公元前3世紀(jì)的歐幾里得（Euclid）、公元1世紀(jì)的海倫（Heron）在有關(guān)著作中都曾利用相似三角形性質(zhì)來解決有關(guān)測量問題。我國漢代的遠(yuǎn)距離測量技術(shù)也正是建立在相似三角形性質(zhì)之上的。為了將歷史知識(shí)用于課堂教學(xué)，我們選擇若干史料，如表1。案例6 相似三角形的應(yīng)用時(shí) 間作者或著作工 作相似三角形的性質(zhì)前2000年？巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對(duì)于邊平方比前6世紀(jì)泰勒斯測量金字高度及輪船與海岸距

49、離對(duì)應(yīng)邊成比例前6世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理面積之比等于對(duì)于邊平方比前6世紀(jì)歐帕里諾斯開掘直線穿山隧道對(duì)應(yīng)角相等前3世紀(jì)歐幾里得光學(xué)測量塔高對(duì)應(yīng)邊成比例前2世紀(jì)周髀算經(jīng)測量太陽直徑對(duì)應(yīng)邊成比例公元1世紀(jì)九章算術(shù)遠(yuǎn)距離測量對(duì)應(yīng)邊成比例公元1世紀(jì)海 倫遠(yuǎn)距離測量對(duì)應(yīng)邊成比例案例6 相似三角形的應(yīng)用 例 1、古塔測高 如圖所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，測得影長為11.3米。 現(xiàn)將一長為0.8米的竹竿直立，使其影子的末端與塔影的末端重合，測得竹竿的影長為0.2米。求塔高。案例6 相似三角形的應(yīng)用 這個(gè)例子根據(jù)古希臘哲學(xué)家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得光學(xué)中測量物體高度問題改編而成，原型為杭州西湖北岸寶石山上的保俶塔。教師在講完這個(gè)例子后，可向?qū)W生介紹泰勒斯測量金字塔高度的故事，讓學(xué)生明白，歷史上人們對(duì)相似三角形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用很早，我們今天的方法早在兩千五百多年前就以經(jīng)為泰勒斯所用。真是“太陽底下沒有新鮮事”！案例6 相似三角形的應(yīng)用例2、隔河測距 如圖所示，在A和B兩點(diǎn)之間有一條河。在BA延長線上取一點(diǎn)C，作BC的垂線AD和CE，點(diǎn)D位于BE上。測得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之間的距離。案例6 相似三角形