第8章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合課件

1、第8章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析 與綜合8.1 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述8.1.1 狀態(tài)空間的基本概念(1)狀態(tài)和狀態(tài)變量表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息稱為狀態(tài)，足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。(2)狀態(tài)向量把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個(gè)狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，xn(t)看作向量x(t) 的分量，則向量x(t) 稱為n維狀態(tài)向量，記作：(3)狀態(tài)空間以n個(gè)狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所構(gòu)成n維空間稱為狀態(tài)空間。(4)狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。用圖8.1所示的R-L-C網(wǎng)絡(luò)說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖8.1 R-L-C電路(5)輸出方程系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量輸入

2、量的關(guān)系稱為輸出方程。式（8.3）就是圖8.1系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示式為：（8.3）或或(6)狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程和輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),xn(t)，則狀態(tài)方程的一般形式為：（8.4）用向量矩陣表示時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式則為：（8.6）簡(jiǎn)寫為：因而多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量形式為：（8.7）8.1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(1)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式(2)由系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式1）傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)由圖8.3，容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

3、：（8.8）（8.9）圖8.3 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖寫成矩陣形式，則為：（8.10）簡(jiǎn)寫為：順便指出，當(dāng)A陣具有式（8.10）的形式時(shí)，稱為友矩陣，友矩陣的特點(diǎn)是主對(duì)角線上方的元素均為1，最后一行的元素可取任意值，而其余元素均為零。2）傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：（8.11）為了說明方便，又不失一般性，這里先從三階微分方程出發(fā)，找出其實(shí)現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到n階系統(tǒng)。設(shè)待實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：（8.12）圖8.4 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖（8.13）（8.14）從圖8.5可以看出，輸入函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù) 作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?dòng)，就可以用圖8.6(a) 表示，只要0,1,2,3系數(shù)選擇適當(dāng)，從系統(tǒng)的輸入輸出看，

4、二者是完全等效的。將綜合點(diǎn)等效地移到前面，得到等效模擬結(jié)構(gòu)圖如圖8.6(b)所示。圖8.5 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖圖8.6 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖圖8.6 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖（8.15）（8.18）（8.19）（8.20）8.1.3 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù) 陣設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為：（8.21）（8.22）8.1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及 規(guī)范化(1)線性變換設(shè)給定系統(tǒng)為（8.23）線性變換是線性代數(shù)學(xué)內(nèi)容，下面僅概括指出本書中常用的幾種變換關(guān)系。1)化A為對(duì)角形若A陣為任意形式且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值1,2,n，即|I - A|=0的根，則可由A的特征根直接寫出對(duì)角陣（8.2

5、5）（8.26）（8.27）（8.28）若A陣為友矩陣形式且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值1,2,n，則T陣是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為：若A陣有q個(gè)實(shí)特征值1，其余(n-q)個(gè)為互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解Api= i pi (i =1，2，q)時(shí)，仍有q個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量p1， pq，則仍可使A化為對(duì)角陣 。（8.29）2）化A為約當(dāng)形若A陣為任意形式且有q個(gè)實(shí)特征值1，其余（n q）個(gè)為互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解Api =i pi (i=1，2，q)時(shí)，只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量p1，則只能使A化為約當(dāng)陣J（8.30）(2)系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1)具有互異根情況式中1，2，n

6、系統(tǒng)的特征根。（8.33）（8.34）（8.36）（8.37）或圖8.7 并聯(lián)型模擬結(jié)構(gòu)圖2)具有重根的情況具有圖8.8所示的結(jié)構(gòu)，除重根是取積分器串聯(lián)的形式外，其余均為積分器并聯(lián)。（8.38）圖8.8 并聯(lián)型模擬結(jié)構(gòu)圖8.1.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表 達(dá)式相應(yīng)的系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：（8.41）（8.42）離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：8.2 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解8.2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）所謂系統(tǒng)的自由解，是指系統(tǒng)輸入為零時(shí)，由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)。狀態(tài)方程為齊次狀態(tài)方程：（8.45）（8.45）（8.44）（8.43）定義則眾所周知，純量微分方程 稱為指數(shù)函數(shù)，

7、而向量微分方程的解在形式上與其是相似的，故把 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)。8.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1或性質(zhì)2（8.47）（8.48）性質(zhì)3或性質(zhì)4對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，有：或（8.49）（8.50）性質(zhì)5（8.51）8.2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解現(xiàn)在討論線性定常系統(tǒng)在控制作用u (t)作用下的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。此時(shí)狀態(tài)方程為非齊次矩陣微分方程：（8.52）當(dāng)初始時(shí)刻為t0=0，初始狀態(tài)為x (0) 時(shí)，其解為：很明顯，式（8.52）的解x (t)是由兩部分組成：等式右邊第一項(xiàng)表示由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)，第二項(xiàng)表示由控制激勵(lì)作用引起的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。（8.53）8.2.4 離散時(shí)間系統(tǒng)

8、狀態(tài)方程的解離散時(shí)間狀態(tài)方程有2種解法：遞推法和z變換法。線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（8.55）用迭代法解矩陣差分方程（8.55）：（8.56）8.2.5 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離 散化在以上假定情況下，對(duì)于連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)空間表達(dá)式：將其離散化后，則得離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中：（8.57）（8.58）在采樣周期T較小時(shí)，一般當(dāng)其為系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)的1/10左右時(shí)，離散化的狀態(tài)方程可近似表示為：即：（8.59）8.3 線性定常系統(tǒng)的能控性和能 觀性8.3.1 能控性問題(1)線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)：（8.60）(2)能控性的判別線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)：其能控

9、的充分必要條件是由A，b構(gòu)成的能控性矩陣：（8.62）（8.61）要使系統(tǒng)能控，則對(duì)任意給定的初始狀態(tài) x (t0)，應(yīng)能從式（8.66）解出0，1， ,n-1來，因此，必須保證： 的逆存在，亦即其秩必須等于n。同理，可以證明，對(duì)于多輸入系統(tǒng)：其能控的充分必要條件是由A，B構(gòu)成的能控性矩陣：（8.68）（8.67）8.3.2 能觀性問題(1)能觀性定義能觀性表示的是輸出y（t）反映狀態(tài)矢量x（t）的能力。(2)能觀性的判別線性連續(xù)定常系統(tǒng)：其能觀的充分必要條件是由A，C構(gòu)成的能觀性矩陣：滿秩，即rankN = n。否則當(dāng)rankN n時(shí)，系統(tǒng)為不能觀的。（8.71）（8.72）8.3.3 能控

10、標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型(1)能控標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（8.74），則可直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型：（8.75）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：若系統(tǒng)是完全能控的，則存在線性非奇異變換：（8.76）（8.77）8.4 對(duì)偶性原理(1)線性定常系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系（8.90）圖8.9 對(duì)偶系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖(2)對(duì)偶原理8.5 線性定常系統(tǒng)的極點(diǎn)配置8.5.1 狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置1)狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制規(guī)律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。圖8.10是一個(gè)多輸入-多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。圖8.10 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間

11、表達(dá)式為：狀態(tài)線性反饋控制律u為：將式(8.93)代入式(8.92)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：（8.92）（8.93）（8.94）(2)極點(diǎn)配置問題控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。 完全能控，通過狀態(tài)反饋必成立（8.95） 完全能控，必存在非奇異變換：（8.96）受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2）加入狀態(tài)反饋增益陣（8.98）（8.99）閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3）使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足：（8.102）由等式兩邊同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可解出反饋陣各系數(shù)：于是得：（8.103）（8.104）（8.105）8.5.2 輸出反饋與極點(diǎn)配置輸出反饋有2種形式：一是將輸

12、出量反饋至狀態(tài)微分處；一是將輸出量反饋至參考輸入。輸出量反饋至狀態(tài)微分處的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8.12所示：圖8.12 輸出量反饋至狀態(tài)微分設(shè)受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為：輸出反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：式中G為n1輸出反饋陣。（8.106）（8.107）輸出量反饋至參考輸入的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8.13所示：其中：該輸出反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：式中輸出反饋矩陣G為r1維。若令GC =K，該輸出反饋便等價(jià)為狀態(tài)反饋。（8.108）（8.109）圖8.13 輸出量反饋至參考輸入8.6 狀態(tài)觀測(cè)器通常，稱 為x (t)的重構(gòu)狀態(tài)或估計(jì)狀態(tài)，而稱這個(gè)用以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測(cè)器。一般， 和x (t)間的等價(jià)性常采用漸近等價(jià)提

13、法，即使得兩者僅成立：圖8.14 狀態(tài)重構(gòu)問題的直觀說明表明狀態(tài)重構(gòu)問題含義的直觀說明如圖8.14所示。觀測(cè)器也是一個(gè)線性定常系統(tǒng)。8.6.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器（8.110）所謂全維狀態(tài)觀測(cè)器，就是以y和u為輸入，且其輸出 滿足如下關(guān)系式：（8.111）圖8.15 全維狀態(tài)觀測(cè)器圖8.15 全維狀態(tài)觀測(cè)器從圖8.15（a）可以導(dǎo)出，按上述方式所構(gòu)成的全維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為：可以看出，如此得到的觀測(cè)器就是對(duì)被估計(jì)系統(tǒng)的直接復(fù)制，即為：（8.112）（8.113）結(jié)論 若線性定常系統(tǒng) 是能觀的，則必可采用由式（8.114）所表述的全維狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)其狀態(tài)，并且必可通過選擇增益陣G而任意配置(A

14、-GC)的全部特征值。（8.114）（8.115）8.6.2 利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋 的系統(tǒng)圖8.17是一個(gè)帶有全維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)：（8.116）（8.117）圖8.17 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)（8.118）（8.119）（8.120）（8.121）（8.122）（8.123）（8.124）（8.125）（8.126）則分離定理： 若受控系統(tǒng) 能控能觀，用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。（8.127）例13 設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置為-4j6。并設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的狀態(tài)觀測(cè)器。（設(shè)其極點(diǎn)為- 10, - 10）。解

15、 由傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)能控能觀，因此存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器。根據(jù)分離定理可分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。求狀態(tài)反饋矩陣K直接由傳遞函數(shù)可以寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：令K=k0 k1，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：與期望特征多項(xiàng)式：比較得：求全維觀測(cè)器。比較得：全維觀測(cè)器方程為：閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8.18所示：圖8.18 例13全維觀測(cè)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖8.18 例13全維觀測(cè)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖8.7 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1892年俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論乃是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論，已經(jīng)采用狀態(tài)向量來描述，它不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)，在分析某

16、些特定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，李雅普諾夫理論有效地解決過用其他方法未能解決的問題。8.7.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義設(shè)系統(tǒng)方程為：式中x為n維狀態(tài)向量，且顯含時(shí)間變量t。f (x，t)為線性或非線性、定?；驎r(shí)變的n維函數(shù)，其展開式為：（8.128）假定方程的解為x (t；x0,t0)，式中x0和t0分別為初始狀態(tài)向量和初始時(shí)刻，那么初始條件x0必滿足x (t0；x0，t0)=x0（8.129）(1)平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的研究均針對(duì)平衡狀態(tài)而言。對(duì)于所有的t，滿足：(2)李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義（8.130）李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為4種情況。李

17、雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心、半徑為r 的閉球域S（r）內(nèi)，即：（8.131）若能使系統(tǒng)方程的解x （t；x0，t0）在t的過程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的半徑為的閉球域S()內(nèi)，即：則稱該xe是穩(wěn)定的，通常稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。（8.132）該定義的平面幾何表示見圖8.19（a）。式中稱為向量的范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。如x0 - xe表示狀態(tài)空間中x0點(diǎn)至xe點(diǎn)之間的距離的尺度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（8.133）圖8.19 有關(guān)穩(wěn)定性的平面幾何表示圖8.19 有關(guān)穩(wěn)定性的平面幾何表示圖8.19 有關(guān)穩(wěn)定性的平面幾何表示漸近穩(wěn)定性不僅具有李雅

18、普諾夫意義下的穩(wěn)定性，而且有：稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。大范圍（全局）漸近穩(wěn)定性。（8.134）當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。不穩(wěn)定性不論r規(guī)定得多么小，只要在S（r）內(nèi)有一條從xe出發(fā)的軌跡超出S ()以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。8.7.2 李雅普諾夫第2法李雅普諾夫第1法李雅普諾夫第2法1)標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)（8.135）（8.136）（8.137）3）幾個(gè)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)，它滿足：V(x)對(duì)所有x都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。V(x)是正定的，即當(dāng)x=0，V(x)=0；x0，V(x)0。（8.138）V(x)沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù) =dV(x)/dt分別滿足下列條件：（a）若 為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。此為穩(wěn)定判據(jù)。（b）若 為負(fù)定，或者雖然 為半負(fù)定，但對(duì)任意初始狀態(tài)x (t0)0來說，除去x=0外，對(duì)x0， 不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步還有當(dāng)x時(shí)，V(x) ，則系統(tǒng)是大范圍漸近