多變數(shù)函數(shù)的極值課件

1、微積分二版林光賢陳天進(jìn)劉明郎著Chapter 7 多變數(shù)微積分Chapter 7 多變數(shù)微積分課程內(nèi)容多變數(shù)函數(shù)偏微分多變數(shù)函數(shù)的極值受制型極值與拉氏乘子法最小平方法全微分二重積分學(xué)習(xí)目標(biāo)如何在三維坐標(biāo)上描繪出二個(gè)變數(shù)函數(shù)的圖形如何求偏導(dǎo)數(shù)與多變數(shù)函數(shù)的極值如何使用拉氏乘子法求受制型的極值 如何使用最小平方法建立數(shù)學(xué)模型瞭解全微分的意義及其應(yīng)用 如何求二重積分多變數(shù)函數(shù)本章之前所討論的函數(shù)都只有一個(gè)自變數(shù)，其格式為 y = f(x)。許多函數(shù)可能含有若干個(gè)自變數(shù)，例如長(zhǎng)途電話費(fèi)就與三個(gè)變數(shù)有關(guān)：距離、通話時(shí)段與通話時(shí)間。首先介紹兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)，函數(shù) f 與二個(gè)變數(shù) x，y 有關(guān)，則寫成 z =

2、 f(x, y)，f(x, y) 的定義域?yàn)楹瘮?shù)有定義的所有有序?qū)?(x, y) 的集合。值域則為所有函數(shù)值的集合。7-1 多變數(shù)函數(shù)求定義域與函數(shù)值設(shè) ，求(a)定義域(b) f(9, -2) 。設(shè) f(x, y) = exy - lny ，求(a)定義域(b) f(2, 1) 。7-1 多變數(shù)函數(shù)成本函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)求成本函數(shù)某公司生產(chǎn)腳踏車與直排輪鞋，其每週的固定成本為120000元。其變動(dòng)成本分別為腳踏車2200元，直排輪鞋700元。(a)求其成本函數(shù)。(b)求生產(chǎn)200臺(tái)腳踏車與300雙直排輪鞋的總成本。Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家用來(lái)描述資本財(cái)與勞動(dòng)力兩者間的關(guān)係稱為Co

3、bb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，其形式如下： 其中 K 表示資本財(cái)?shù)膯挝?，L 表示勞動(dòng)力的單位。通常資本財(cái)則包括建築物、設(shè)備與原物料，勞動(dòng)力都以工時(shí)為單位。若 P(K, L)=100K1/4L3/4，求 P(150, 220) 。7-1 多變數(shù)函數(shù)三個(gè)或更多變數(shù)的函數(shù)求體積與面積一個(gè)上面有開(kāi)口的箱子，中間有隔板均分成二部分如下圖所示。求箱子的體積 v 與箱子所需的紙板面積 M。解: v = xyz M = yz + 2xy + 3xz7-1 多變數(shù)函數(shù)描繪函數(shù)圖形格式為 z = f(x, y) 的函數(shù)，欲描繪 z = f(x, y) 的圖形需要使用三維空間才能描出點(diǎn) (x, y, z)。例如點(diǎn)

4、(2, 3, 4) 與 (-2, -2, 3) 描繪於右圖。通常函數(shù) z = f(x, y) 的圖形為三度空間的曲面 (surface) 。繪製含有二變數(shù)的函數(shù)圖形需應(yīng)用到三度空間的圖，是一件不容易的事。7-1 多變數(shù)函數(shù)描繪函數(shù)圖形繪出 f(x, y) = x2 + y2 的圖形。解:先令 z = x2 + y2 。然後選擇若干個(gè) x 與 y 的值。當(dāng) x = y = 0 ，得 z = 0 + 0 = 0 ，表示點(diǎn) (0, 0, 0) 。當(dāng) x = 1 與 y = 1 ，得 z = 12 + 12 = 2 ，表示點(diǎn) (1, 1, 2) 。當(dāng) x = 0 與 y = -2 ，得 z = 0 +

5、 (-2)2 = 4 ，表示點(diǎn) (0, -2, 4) 。其完整的圖形如右圖。7-1 多變數(shù)函數(shù)相對(duì)極點(diǎn)定義7-1: 曲面 z = f(x, y) 上的點(diǎn) (a, b, c) ，若對(duì) (a, b) 周圍某個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有 (x, y) 均有 f(a, b) f(x, y)，稱為相對(duì)極大點(diǎn)。定義7-2: 曲面 z = f(x, y) 上的點(diǎn) (a, b, c)，若對(duì) (a, b)周圍某個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有 (x, y) 均有f(a, b) f(x, y)，稱為相對(duì)極小點(diǎn)。7-1 多變數(shù)函數(shù) 鞍 點(diǎn)我們有時(shí)也會(huì)以相對(duì)極點(diǎn) (relative extreme point) 來(lái)統(tǒng)稱相對(duì)極大點(diǎn)與相對(duì)極小點(diǎn)這兩種極

6、點(diǎn)。曲面上可能會(huì)有若干個(gè)相對(duì)極點(diǎn)，甚至沒(méi)有極點(diǎn)。另外下圖的點(diǎn)稱為鞍點(diǎn) (saddle point)，從曲面的一個(gè)曲線來(lái)看鞍點(diǎn)是最高點(diǎn)，從另一條曲線來(lái)看這個(gè)最高點(diǎn)卻又變成最低點(diǎn)，所以鞍點(diǎn)不是相對(duì)極點(diǎn)。7-1 多變數(shù)函數(shù)隨堂演練7-11. 繪出 f(x, y) = 3x + y + 2z = 6的圖形。2. 存款 10,000 元於銀行帳戶內(nèi)，若連續(xù)型複型複利為 r% 且存款 t 年，將帳戶的累積總存款記為 r 與 t 的函數(shù)為 A(r, t)，求 A(5, 10)。3. 求下列函數(shù)的定義域：4. 將下圖圓柱體的表面積表示成 r 與 h 的函數(shù) S(r, h)，並求 S(3, 10)。7-1 多變

7、數(shù)函數(shù)偏微分對(duì)於單一變數(shù)的函數(shù) f(x) ，其導(dǎo)數(shù) f (x) 是用來(lái)度量當(dāng)獨(dú)立變數(shù) x 產(chǎn)生變化時(shí)，函數(shù)值 f(x) 的變化率。對(duì)於超過(guò)一個(gè)變數(shù)的函數(shù) y = f(x1, x2, , xn) 我們當(dāng)然也可以問(wèn)當(dāng)獨(dú)立變數(shù) xi 改變時(shí) f(x1, x2, , xn) 的變化為何？多變數(shù)函數(shù)有多個(gè)導(dǎo)數(shù)，每個(gè)單一變數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)我們稱為偏導(dǎo)數(shù) (partial derivative)，其過(guò)程稱為偏微分 (partial differentiation)。偏導(dǎo)數(shù)是用來(lái)度量當(dāng)其中一個(gè)變數(shù)變動(dòng)而其餘固定不變時(shí)，多變數(shù)函數(shù)值的變化率。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)定義7-3: 1. 函數(shù) f(x, y)

8、對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)為 在計(jì)算 時(shí)，y 維持固定不變。 2. 函數(shù) f(x, y) 對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)為 在計(jì)算 時(shí)，x 維持固定不變。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)常以寫在函數(shù)下的足標(biāo)來(lái)表示，足標(biāo)為 x 表示對(duì) x 的偏微分，足標(biāo)為 y 表示對(duì) y 的偏微分。即若 f(x, y) = 5x3 - 3x2y4 - 6y3，求 fx(x, y)，fy(x, y) 。若 f = exln y ，求 fx，fy。若 f = (xy3 + 2)3，求 fx。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)若 ，求 gy。若 f(x, y) = ln(x3+y3)，求 fy(x, y)。若 ，求 fx(2, 1) 。求 。偏

9、導(dǎo)數(shù)的意義偏導(dǎo)數(shù)只對(duì)其中的一個(gè)變數(shù)微分，其餘的維持不變，因此偏導(dǎo)數(shù)可解釋為一次只針對(duì)一個(gè)變數(shù)的瞬時(shí)變化率。fx(x, y) = (當(dāng) y 固定時(shí)，函數(shù) f 對(duì) x 的瞬時(shí)變化率) fy(x, y) = (當(dāng) x 固定時(shí)，函數(shù) f 對(duì) y 的瞬時(shí)變化率)7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)的意義設(shè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 20K0.3L0.7。求 PK(150, 120) 及 PL(150, 120) ，並解釋其意義。解: PK = 6K-0.7L0.7, PK(150, 120)= 6(150)-0.7(120)0.7 5.13 意義: PK = 5.13 表示當(dāng)資本財(cái)額外增加一

10、單位時(shí)，產(chǎn)能約增加 5.13 單位。這稱為資本財(cái)?shù)倪呺H生產(chǎn)量。 解: PL=14K0.3L-0.3, PL(150, 120)=14(150)0.3(120)-0.3 14.96 意義: PL = 14.96 表示當(dāng)勞動(dòng)力額外增加一單位時(shí)，產(chǎn)能約增加 14.96 單位。這稱為勞動(dòng)力的邊際生產(chǎn)量。 這兩個(gè)值表示在 K = 150 與 L = 120 單位時(shí)，欲增加生產(chǎn)量增加勞動(dòng)力一單位的效果約等於增加一單位資本財(cái)?shù)?3 倍。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)的意義就如同導(dǎo)數(shù)一樣，偏導(dǎo)數(shù)也可以解釋成邊際函數(shù)。令 C(x, y) 為生產(chǎn) x 單位產(chǎn)品 A 與 y 單位產(chǎn)品 B 的成本函數(shù)，則 Cx(x, y) =

11、 (產(chǎn)品 A 的邊際成本函數(shù)，當(dāng)產(chǎn)品 B 的產(chǎn)量維持不變時(shí)) Cy(x, y) = (產(chǎn)品 B 的邊際成本函數(shù)，當(dāng)產(chǎn)品 A 的產(chǎn)量維持不變時(shí)) 同理，對(duì)收入與利潤(rùn)函數(shù)上述之定義同樣適用。偏微分只定義一個(gè)變數(shù)的邊際函數(shù)，這時(shí)其他的變數(shù)均維持不變。7-2 偏微分求邊際利潤(rùn)函數(shù)某公司每日由生產(chǎn) x 臺(tái)電腦與 y 臺(tái)鍵盤所得的利潤(rùn)為 P(x, y) = 6x3/2 + 4y3/2 + xy。求其邊際利潤(rùn)函數(shù)，計(jì)算 Py(225, 400) 並解釋其意義。解: Px(x, y) = 9x1/2 + y, Py(x, y) = 6y1/2 + x Py(225, 400) = 6(400)1/2 + 22

12、5 = 345 意義: 當(dāng)產(chǎn)量為 225 臺(tái)電腦與 400 臺(tái)鍵盤時(shí)，這時(shí)鍵盤的產(chǎn)量由 y = 400 增為 y = 401 時(shí)，利潤(rùn)約增加345元。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)就是斜率函數(shù) f(x, y) 在三度空間上表示成曲面，偏導(dǎo)數(shù)則是曲面上不同方向的斜率： 表示曲面上 P 點(diǎn)在 x 方向的斜率， 表示曲面上 P 點(diǎn)在 y 方向的斜率，如圖所示。在右圖中，想像由點(diǎn) P 往 y 軸的方向前進(jìn)這時(shí)是上坡還是下坡呢？這時(shí)是上坡的方向，因?yàn)?。由點(diǎn) P 沿 x 軸的方向前進(jìn)則是下坡，因?yàn)?。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)就是斜率某公司每週生產(chǎn)電視與收音機(jī)的數(shù)量分別表示為 x 與 y 。其利潤(rùn)函數(shù) P(x, y)

13、= 40 x - x2 + 80y - y2 ，求此函數(shù)圖形 z = P(x, y) 在點(diǎn) (20, 40, 2000) 往 x 軸與 y 軸方向的斜率。解: Q = (20, 40, 2000) 為圖形 z = P(x, y) 的最高點(diǎn)，這時(shí)正是二個(gè)方向斜率均為 0 之時(shí)。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)可用來(lái)描述二種商品彼此為互相競(jìng)逐型還是互補(bǔ)型。二種商品稱為彼此競(jìng)逐型，當(dāng)一種商品的需求增加時(shí)伴隨的結(jié)果是另一種商品需求的減少。咖啡與茶葉就是最古典的競(jìng)逐型商品的範(fàn)例，還有如國(guó)產(chǎn)汽車與進(jìn)口汽車的競(jìng)爭(zhēng)、自用車通勤與大眾運(yùn)輸工具通勤、白米與麵粉的消費(fèi)?；パa(bǔ)型商品表示二種商品間有同向的關(guān)係，

14、當(dāng)一種商品的需求增加時(shí)，另一種商品的需求也跟著增加。例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、刮鬍刀與刮鬍泡等。7-2 偏微分商品互為競(jìng)逐型與互補(bǔ)型假設(shè)有二種商品 A 與 B。x 與 y 分別表示商品 A 與 B 每單位的價(jià)格。令函數(shù) f(x, y) 表示商品 A 的需求函數(shù)，函數(shù) g(x, y) 表示商品 B 的需求函數(shù)。此函數(shù)恆有下列關(guān)係： :因?yàn)樯唐?A 的價(jià)格 x 上升，則商品 A 的需求會(huì)下降。兩商品在價(jià)格 (x0, y0) 時(shí)為競(jìng)逐型 :表示當(dāng)商品 B 的價(jià)格上升時(shí)，商品 A 的需求增加；知 B 的價(jià)格上升時(shí)，商品 B 的需求減少；商品 B 的需求減少導(dǎo)致商品 A 的需求增加。兩商品在價(jià)格 (x

15、0, y0) 時(shí)為互補(bǔ)型 :表示某商品價(jià)格的上升必使另一商品的需求減少，就是二者需求均減少。7-2 偏微分競(jìng)逐型與互補(bǔ)型兩種商品 A 與 B，當(dāng)其價(jià)格分別為 x 與 y 時(shí)的需求函數(shù)為 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函數(shù)) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函數(shù)) 試問(wèn)這兩種商品為競(jìng)逐型還是互補(bǔ)型？?jī)煞N商品 A 與 B，當(dāng)其價(jià)格分別為 x 與 y 時(shí)的需求函數(shù)為 (A的需求函數(shù)) (B的需求函數(shù)) 試問(wèn)這兩種商品為競(jìng)逐型還是互補(bǔ)型？7-2 偏微分高階偏導(dǎo)數(shù)重複執(zhí)行偏微分於多變數(shù)函數(shù)上將產(chǎn)生高階偏導(dǎo)數(shù) (higher order par

16、tial derivative)。因這時(shí)會(huì)遇到混合的偏微分，要注意其符號(hào)的用法，就是先針對(duì)某個(gè)特定變數(shù)做偏微分，然後再對(duì)其他變數(shù)執(zhí)行偏微分。我們將二階偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)及意義表列如下：7-2 偏微分求二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù) f(x, y) = x2y3 + e2x lny 的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)。解: 首先求 fx = 2xy3 + 2e2x lny 然後再求 fxx 與 fxy : 再回到 f = x2y3 + e2x lny，我們求 fy : 然後再計(jì)算 fyx 與 fyy : fxy = fyx，這表示調(diào)換偏微分的先後次序並無(wú)不同。7-2 偏微分隨堂演練7-21. 求 fx(x, y) 與 fy(x, y

17、)。2. 驗(yàn)證 fxy = fyx：3. 存款 10,000元 於銀行帳戶內(nèi)，存款 t 年以年息 r 的連續(xù)型複利計(jì)息，則其帳戶總額為 A(r, t) = 10000ert，求 ，並解釋其意義。4. 求函數(shù)的三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)：5. 根據(jù)所給的一組需求函判別這兩種商品為競(jìng)爭(zhēng)型或互補(bǔ)型：7-2 偏微分多變數(shù)函數(shù)的極值函數(shù) f(x, y) 的圖形可看成曲面，這個(gè)曲面就像地表的地形有相對(duì)極大點(diǎn)(山峰)與相對(duì)極小點(diǎn)(谷底)以及鞍點(diǎn)。以函數(shù)的觀點(diǎn)而言，函數(shù)在這些點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)極大值與相對(duì)極小值或者兩者皆不是。本節(jié)將討論如何求出臨界點(diǎn)及使用二階導(dǎo)數(shù)判別法來(lái)判別函數(shù)的相對(duì)極值。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值山丘的最高點(diǎn)的

18、斜率(或稱坡度)，不論從那個(gè)方向看都是 0。這時(shí)可以將一枝旗桿水平放在最高點(diǎn)上(如圖)。偏導(dǎo)數(shù) fx 與 fy 分別表示 x 與 y 方向的斜率，所以在相對(duì)極大點(diǎn)與極小點(diǎn)上這二個(gè)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該均為0。我們就稱此點(diǎn)為臨界點(diǎn) (critical point)。臨界點(diǎn)定義7-4: 若 fx(a, b) = 0 且 fy(a, b) = 0 ，則稱點(diǎn) (a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的臨界點(diǎn)。求臨界點(diǎn)求函數(shù) f(x, y) = 6x + 3y - x2 - y2 xy 的臨界點(diǎn)。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值 D 判別法 D 判別法: 若點(diǎn) (a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的臨界點(diǎn)，令 D D =

19、fxx(a, b)fyy(a, b) - fxy(a, b)21. 若 D 0 且 fxx (a, b) 0 且 fxx (a, b) 0，則 f(a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的相對(duì)極小值。3. 若 D 0 並不足以保證該臨界點(diǎn)為相對(duì)極大值或相對(duì)極小值。需再檢查二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)(即檢查 fxx 或 fyy 均可)，才能判定為相對(duì)極大或相對(duì)極小。D 0表示臨界點(diǎn)是鞍點(diǎn)，不必考慮 fxx 的正負(fù)。D = 0 表示 D 判別法無(wú)法判別，這個(gè)臨界點(diǎn)可能是相對(duì)極大、相對(duì)極小或鞍點(diǎn)。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值利用 D 判別法求極值利用 D 判別法求極值求函數(shù) f(x, y) = 6x + 3y - x

20、2 - y2 xy 的極值。求相對(duì)極值求函數(shù) 的相對(duì)極值。求最大利潤(rùn)某汽車廠生產(chǎn)小型與中型轎車，小型車的價(jià)格函數(shù)為 p(x) = 60 - 8x，x 7；中型車的價(jià)格函數(shù)為 q(y) = 80 - 4y，y 20 ，價(jià)格以萬(wàn)元為單位，生產(chǎn)量 x 與 y 則表示每小時(shí)的產(chǎn)量。若該車廠的生產(chǎn)成本為 C(x, y) = 52x + 64y - 8xy + 20萬(wàn)元。求車廠追求最大利潤(rùn)的最佳生產(chǎn)量與售價(jià)為何？並求其最大利潤(rùn)。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值求相對(duì)極值求最大利潤(rùn)與最佳售價(jià)某超商有白色蛋和棕色蛋可供顧客選購(gòu)，這兩種蛋互為競(jìng)逐型商品，其銷售量依售價(jià)互相消長(zhǎng)。假設(shè)該超商已知當(dāng)白色蛋每斤 x 元，棕色蛋

21、每斤 y 元時(shí)，白色蛋每日的銷售量為 W(x, y) = 350 - 15x + 6y (斤) 。棕色蛋每日的銷售量為 B(x, y) = 250 - 10y + 4x (斤) 。求超商每日售蛋的最大收入，最佳售價(jià) x 與 y 分別為何？求相對(duì)極值求函數(shù) f(x, y) = x2 + y3 - 8x - 27y 的相對(duì)極值。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)與偶佔(zhàn)事業(yè)最後我們介紹法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Antoine Cournot 於1938年比較獨(dú)佔(zhàn)事業(yè) (monopoly，市場(chǎng)只有一家供應(yīng)商)與偶佔(zhàn)事業(yè) (duopoly，市場(chǎng)有二家競(jìng)爭(zhēng)的供應(yīng)商)的差異。這個(gè)比較方法，應(yīng)用多變數(shù)函數(shù)求極大值的技巧，得到

22、相當(dāng)有趣的結(jié)果。獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)：假設(shè)劉先生擁有一口良質(zhì)的礦泉，使用自有的泉源生產(chǎn)礦泉水且為小鎮(zhèn)的唯一供應(yīng)商，因?yàn)樯a(chǎn)成本極低，此處不予計(jì)算。如果他的價(jià)格函數(shù)為 p = 60 - 0.01x，x6000，其中 p 表示每日可以賣出 x 公升的價(jià)格。故劉先生的收入函數(shù)為 R(x) = (60 - 0.01x)x = 60 x - 0.01x2。要使收入最大，求 R(x) 並令其等於0： 因此劉先生每日售出3000公升，售價(jià)則為 p = 60 - 0.01( 3000) = 30 (元/公升) 。最大收入為(因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)為負(fù)) R(3000) = 603000 - 0.01(3000)2 = 90000。

23、7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值偶佔(zhàn)事業(yè)偶佔(zhàn)事業(yè)：劉先生的鄰居陳先生發(fā)現(xiàn)賣水還頗有賺頭，也開(kāi)了一口泉井生產(chǎn)起礦泉水和劉先生競(jìng)爭(zhēng)。這時(shí)劉先生與陳先生需爭(zhēng)食同一塊市場(chǎng)。設(shè)陳先生每日售出 y 公升。這時(shí)兩人的價(jià)格函數(shù)為 p = 60 - 0.01(x + y) = 60 - 0.01x - 0.01y這兩人的收入仍是價(jià)格乘以數(shù)量：(劉的收入) = px = (60 - 0.01x - 0.01y)x = 60 x - 0.01x2 - 0.01xy(陳的收入) = py = (60 - 0.01x - 0.01y)y = 60y - 0.01xy - 0.01y2兩人都想追求最大收入，故取偏導(dǎo)數(shù)並令其為0：

24、 所以每人每日都賣出2000公升。售價(jià)則為 p = 60 - 0.01(2000 + 2000) = 60 40 = 20 (元/公升) 。每個(gè)人的收入則為40000元。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)與偶佔(zhàn)事業(yè)我們列一個(gè)表比較獨(dú)佔(zhàn)與偶佔(zhàn)的差異如下：由上表可知偶佔(zhàn)的情況生產(chǎn)較多的礦泉水，且售價(jià)也降低了。 Cournot 下結(jié)論認(rèn)為競(jìng)爭(zhēng)的狀態(tài)較獨(dú)佔(zhàn)的狀態(tài)對(duì)消費(fèi)者有利。但是，聰明的商人最後終究瞭解其收入40000元小於90000元的一半，這會(huì)趨使他們走向合作，共享市場(chǎng)，最後變成獨(dú)佔(zhàn)的狀態(tài)。這種狀態(tài)稱為聯(lián)合壟斷 (collusion)。這就是當(dāng)市場(chǎng)僅有極少數(shù)的供應(yīng)商時(shí)，最後會(huì)趨向聯(lián)合壟斷而不是完全競(jìng)

25、爭(zhēng)的理由。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值隨堂演練7-31. 求函數(shù) f (x, y) = 3x2 - 2xy + y2 + x 的臨界點(diǎn)。2. 求函數(shù) 的相對(duì)極值。3. 求體積為27平方公尺的立方體，表面積最小的長(zhǎng)、寬與高。4. 求三個(gè)正數(shù)其和為48，其乘積為最大。5. 某工廠生產(chǎn) A 與 B 兩產(chǎn)品，其需求函數(shù)分別為p(x, y) = 4 - x + 3y 與 q(x, y) = 8 + x - 2y，求其收入最大的定價(jià)為何？7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值受制型極值與拉氏乘子法許多商業(yè)上的應(yīng)用，希望找到多變數(shù)函數(shù)的最大值與最小值，並且這些變數(shù)需滿足某些限制式 (constraint)。例如，公司想要獲取

26、最大利潤(rùn)並使其花費(fèi)在原定預(yù)算之內(nèi)，或者某酒廠想要設(shè)計(jì)一個(gè)鋁罐希望所使用的材料最小但容量正好為 500cc。這類受制型極值的問(wèn)題可使用拉氏乘子法 (Lagrange multiplier method)求解，這方法是法國(guó)數(shù)學(xué)家 Joseph Louis Lagrange (1736-1813)所發(fā)明的。7-4 受制型極值與拉氏乘子法求受制型的最大利潤(rùn)某家電公司，希望訂定最適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)型與豪華型洗碗機(jī)的生產(chǎn)數(shù)量，以獲取最大的利潤(rùn)。若已知其利潤(rùn)函數(shù)為 P(x, y) = 40 x + 20y - x2 - y2 (元)，其中 x 與 y 分別表示標(biāo)準(zhǔn)型與豪華型洗碗機(jī)的每日產(chǎn)量。該公司每日的產(chǎn)能為 20

27、 臺(tái)洗碗機(jī)。每日的產(chǎn)能為 20 臺(tái)，可以寫成 x + y = 20。在例中我們欲求 P(x, y) 的最大值，此 P(x, y) 稱為目標(biāo)函數(shù) (objective function)。產(chǎn)能受制於 (subject to, s.t.) x + y 20 = 0 的限制式。問(wèn)題可以寫成7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法我們利用多變數(shù)函數(shù)的方法來(lái)求解。首先，我們引入一個(gè)新的變數(shù) l，將此問(wèn)題改寫成函數(shù) L(x, y, l) 稱為拉氏函數(shù) (Lagrange function)，為目標(biāo)函數(shù)加上 l 乘以限制式：拉氏函數(shù)有三個(gè)變數(shù) x 、 y 與 l，我們分別對(duì)這三個(gè)變數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)並令其為 0：聯(lián)

28、立方程式解為 x = 15，y = 5， l = -10 因此 P(15, 5) 即為最大利潤(rùn)。所引進(jìn)的變數(shù) l 稱為拉氏乘子 (Lagrange multiplier) 。7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法當(dāng)利用拉氏乘子法找出臨界點(diǎn)後，這方法並未保證所找到的臨界點(diǎn)即為目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。D 判別法， D = fxxfyy - (fxy)2，只適用於非受制型的極值問(wèn)題，在解受制型的極值問(wèn)題並不適用。遇到受制型的極值問(wèn)題時(shí)，我們必須確認(rèn)最大值或最小值確實(shí)存在，也就是確定問(wèn)題有答案，則解答必在由拉氏乘子法所求出的臨界點(diǎn)之中。要如何確認(rèn)所求的問(wèn)題有

29、解呢？事實(shí)上，大部分合理的應(yīng)用問(wèn)題都有解。7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求最大面積農(nóng)夫想要沿著房子的一面牆圍一座矩形的畜欄，靠牆的這邊不需要柵欄，如果他只準(zhǔn)備80公尺的柵欄，請(qǐng)問(wèn)如何圍出最大的面積？解:問(wèn)題變?yōu)? 先寫出拉氏函數(shù) 求拉氏函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)令其為 0：7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求半徑與高製罐公司設(shè)計(jì)容量為五公升的圓柱型鐵罐，希望使用最少的材料，求此鐵罐的半徑與高。解:為使鐵罐所使用的材料為最少，就是要求鐵罐有最小的表面積。令半徑為 r，高為 h，則鐵罐的表面積為 A = 2p r2 + 2p rh 體積則為 V = p r2 h 。所以原問(wèn)題變成： 拉氏函數(shù)為

30、求拉氏函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)令其為0： 7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求最大產(chǎn)能某工廠預(yù)估其生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 100K1/4 L3/4，其中 K 與 L 分別代表資本財(cái)與勞動(dòng)力的單位數(shù)量。每單位的資本財(cái)成本為 200 元，每單位的勞動(dòng)力成本為 100 元。若每小時(shí)所能使用的資本財(cái)及勞動(dòng)力限制為 8000 元，求資本財(cái)與勞動(dòng)力的配置數(shù)量使產(chǎn)能為最大。解:原問(wèn)題變成 拉氏函數(shù)為令其偏導(dǎo)數(shù)為0：7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子的意義拉氏乘子 l 有極重要的意義，若我們將目標(biāo)函數(shù)的單位稱為目標(biāo)單位，限制式所使用的單位稱為限制單位，則 l 的意義如下。 |l| = 每增加額外一單位的

31、限制單位約可增加的目標(biāo)單位的數(shù)量。觀察農(nóng)夫圍畜欄的例子，農(nóng)夫總共有 80 公尺的柵欄，這是他的預(yù)算。因此 l 為每增加 1 公尺的材料畜欄所增加的面積。該例題的l = -20 ，表示每增加 1 公尺的材料則畜欄約增加 20 平方公尺。設(shè)農(nóng)夫現(xiàn)有 81 公尺的材料，他可以將長(zhǎng)度 y 增加 1 公尺，用掉多出來(lái)的1公尺，面積就多出 20 平方公尺；他也可以將寬度增加 0.5公尺，多出來(lái)的面積還是 20 平方公尺；但是如果我們以材料 81公尺，使用拉氏乘子法重解，所得的答案為 x = 20.25，y = 40.5 ，A = (20.25)(40.5) = 820.125 其所增加的面積應(yīng)為 20.1

32、25 平方公尺，這是我們前面解釋 l 時(shí)均宣稱約的原因。7-4 受制型極值與拉氏乘子法 受制型極值的幾何意義求解:拉氏函數(shù)為L(zhǎng)(x, y, l) = 16 x2 y2 + l(x + y 2) Lx = -2x + l = 0 Ly = -2y + l = 0 Ll = x + y 2 = 0目標(biāo)函數(shù) f(x, y) = 16 - x2 - y2 為開(kāi)口向下的拋物面，其最大值出現(xiàn)在 (0, 0, 16)。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法求最大值與最小值求函數(shù) f(x, y) = 4xy 滿足 x2 + y2=50 的最大值與最小值。解:拉氏函數(shù)為 L(x, y, l) = 4xy + l(x2

33、 + y2 50) Lx = 4y + 2lx = 0 Ly = 4x + 2ly = 0 Ll = x2 + y2 50 = 0 即 y2 = x2，所以 y = x。代入 Ll = 0 ，得2x2 - 50 = 0。因此， x = 5，y = 5。 x = 5 與 y = 5 的組合，共可組成四個(gè)臨界點(diǎn)，如下表：7-4 受制型極值與拉氏乘子法隨堂演練7-41. 求三個(gè)正數(shù)其和為 48，其乘積為最大。2. 某人欲建一塊矩形的停車場(chǎng)，其中一邊利用現(xiàn)成建築物的一面牆，其餘三邊使用圍籬。若他有 200 公尺的圍籬，應(yīng)該如何圍出面積最大的停車場(chǎng)？3. 某工廠其生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 100

34、K0.8L0.2，其中 K 與 L 分別代表資本財(cái)與勞動(dòng)力的單位數(shù)量。 每單位的資本財(cái)成本為200 元，每單位的勞動(dòng)力成本為 100 元。若每日能使用的總成本限制為 20000 元，求資本財(cái)與勞動(dòng)力的配置數(shù)量使產(chǎn)能為最大。4. 計(jì)算隨堂演練第 2 題與第 3 題的 l 值，並解釋其意義。5. 7-4 受制型極值與拉氏乘子法最小平方法本書使用許多數(shù)學(xué)模型描述利潤(rùn)函數(shù)、生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)等函數(shù)。這些函數(shù)如何得到的？例如Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù) P = aKbL1-b。如何決定 a 與 b 的值？這個(gè)問(wèn)題稱為擬合曲線 (fitting curve)，就是尋找一個(gè)函數(shù)，使該函數(shù)的圖形與所收集資

35、料呈現(xiàn)的圖形非常地?cái)M合。最簡(jiǎn)單的問(wèn)題為直線擬合 (fitting a straight line)，就是給予一組資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) 找到最擬合的直線方程式 y = ax + b ，最常使用的方法為 最小平方法 (method of least squares)。所求出的直線可用來(lái)描述資料的趨勢(shì)或作預(yù)測(cè)。7-5 最小平方法最小平方法例如某公司三年的年銷售額(百萬(wàn)元)，如下表所示。如何找一條直線來(lái)擬合這三點(diǎn)。當(dāng)然這三點(diǎn)並非完全在一條直線上，我們希望求出直線 y = ax + b 使之與這三點(diǎn)非常地接近。對(duì)於圖上的每個(gè)點(diǎn) (xj, yj) 我們定

36、義 ej 為其與直線的誤差，即 ej = yj (axj + b)使誤差平方和最小的直線，這直線就稱為最小平方直線 (least squares line)或迴歸線 (regression line)。7-5 最小平方法最小平方法設(shè)有 n 個(gè)資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) ，且最佳擬合直線為 y = ax + b，則誤差的平方和為首先，令 ，得接著，令 ，得7-5 最小平方法最小平方法由 可得將 b 的表示法代入第一式，得7-5 最小平方法最小平方直線給定 n 個(gè)資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) 其最小平方直線(

37、迴歸線)為 y = ax + b ，其中 a 與 b 分別為7-5 最小平方法求最小平方直線給定資料如下表： 求最小平方直線。解:7-5 最小平方法求最小平方直線某公司人事處統(tǒng)計(jì)該公司過(guò)去五年加入員工互助計(jì)畫的比例如下表： (a) 以最小平方法求最小平方直線。 (b) 利用此直線模型預(yù)測(cè) 2002 年與 2004 年參加的比率。解: (a)首先我們將年度之值轉(zhuǎn)成 1 到 5。 7-5 最小平方法呈現(xiàn)曲線形態(tài)的資料點(diǎn)最小平方法除了能擬合直線外也能擬合形式為 y = BeAx 的指數(shù)曲線，其曲線顯示於下圖。將 y = BeAx 兩邊取自然對(duì)數(shù)得 ln y = ln(BeAx) = ln B + l

38、n eAx = ln B + Ax 我們令新變數(shù) Y = ln y 與 b = ln B ，則 ln y = ln B + Ax 可改寫成 Y = Ax + b。我們要擬合的直線是針對(duì)資料點(diǎn) (x1, ln y1), (x2, ln y2) , , (xn, ln yn) 。因此最小平方法仍能適用於此處的情形。7-5 最小平方法呈現(xiàn)曲線形態(tài)的資料點(diǎn)自1960年以來(lái)的世界人口如下表，找出最適合這些資料的指數(shù)曲線，並預(yù)測(cè)2010年的世界人口數(shù)。解:首先將年轉(zhuǎn)成1至4來(lái)表示。1.列出 x 與 y 的值。2.將 y 的值取自然對(duì)數(shù) Y = ln y。3.求 xY。4.求 x 的平方。5.取每欄的和(

39、y 欄除外) 。6.使用最小平方法公式計(jì)算 A 與 b。7. 計(jì)算B = eb (因?yàn)?b = ln B )。7-5 最小平方法隨堂演練7-51. 求下列各點(diǎn) (-5, 1)、(1, 3)、 (2, 4)、(3, 6) 的最小平方直線。2. 農(nóng)夫研究使用肥料與農(nóng)作物產(chǎn)量的關(guān)係如下表：a. 以最小平方法求最小平方直線。 b. 利用此直線模型預(yù)估產(chǎn)量為150時(shí)應(yīng)使用多少肥料？ 3. 求下列各點(diǎn)的最佳擬合曲線。a. (1, 1.5), (2.5, 8.4), (5, 14.2), (7, 16.2), (9,19.5)b. (0, 0.5), (1, 7.5), (3, 58), (4, 120),

40、 (5, 175)肥料 x（百公斤/每公畝）1.01.52.02.5玉米產(chǎn)量 y（百公斤/每公畝）425058637-5 最小平方法全微分本節(jié)我們將定義多變數(shù)函數(shù)的全微分 (total differential)，用此全微分來(lái)估計(jì)獨(dú)立變數(shù)改變時(shí)，函數(shù)值改變的近似值。單變數(shù)函數(shù) f(x) 的微分 df ，其定義為 df = f (x)dx。定義7-5: 函數(shù) f(x, y) 的全微分為 df = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy這個(gè)全微分的定義也可以用 的記號(hào)表示： 當(dāng)函數(shù)表示成 z = f(x, y) 時(shí)，全微分亦可寫成7-6 全微分求全微分求函數(shù) f(x, y) = 5x3 -

41、 4xy + 2y2 的全微分。解: 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 所以全微分為求函數(shù) z = ln(x4 + y2) 的全微分。解: 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 所以全微分為7-6 全微分全微分近似公式函數(shù) f(x, y) 的值會(huì)隨著 x 與 y 的變動(dòng)而改變，這個(gè)變動(dòng)量 Df 可以經(jīng)由改變後的值與原值相減而得： Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)對(duì)於獨(dú)立變數(shù) x 與 y ，使用 D 或 d 表示這個(gè)變動(dòng)，就是 Dx = dx 與 Dy = dy但是，對(duì)於應(yīng)變數(shù)，D與 d 所代表的意義並不同：D表示實(shí)際的變動(dòng)，而 d 表示全微分。某些函數(shù)，計(jì)算實(shí)際的變動(dòng)相當(dāng)複雜。利用全微分可以很容易求出

42、實(shí)際變動(dòng)的近似值。全微分近似公式: Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) fx Dx + fy Dy = df Df df7-6 全微分求變動(dòng)量與全微分設(shè)函數(shù) f(x, y) = x3+ 5xy + y2，當(dāng) x = 2 與 y = 3，Dx = 0.1，D y = -0.2。求(a) Df (b) df。解: (a)首先計(jì)算 x + Dx = 2.1，y + Dy = 2.8 實(shí)際變動(dòng)量為 (b)全微分為 7-6 全微分求近似值利用全微分求 的近似值。解:首先令 ，為求 f(3.02, 3.97) 的近似值，我們令 x = 3，y = 4，很容易計(jì)算 f(3, 4

43、) = 5。 令Dx = 0.02，Dy = -0.03，可得 f(x + Dx, y + Dy) = f(3.02, 3.97)。全微分為 利用df Df，可得7-6 全微分Df 與 df 的幾何意義函數(shù) f(x, y) 的圖形在三度空間上是一個(gè)曲面，函數(shù)的變動(dòng)量 Df 表示沿著曲面 P 移至另一點(diǎn) Q 時(shí)高度的變動(dòng)量，如圖所示。全微分 df 表示沿著 P 點(diǎn)的切平面移動(dòng)至 R 的高度變化量，如圖。這個(gè)平面稱為曲面上 P 點(diǎn)的切面 (tangent plane)。7-6 全微分相對(duì)誤差與百分誤差任何的測(cè)量都無(wú)法保證正確無(wú)誤。如果我們能預(yù)估出每個(gè)測(cè)量值的最大誤差，就可以用全微分來(lái)估算出最後計(jì)算

44、值的誤差。這個(gè)誤差可以直接算出其實(shí)際誤差或表示成百分誤差 (percentage error) 或相對(duì)誤差 (relative error)。若近似值表示成 ，真實(shí)值表示成 f(x, y)，則近似值的百分誤差為 百分誤差=近似值的相對(duì)誤差為 相對(duì)誤差=7-6 全微分估計(jì)百分誤差計(jì)算圓柱體的體積需測(cè)量其半徑 r 與高 h，若這些測(cè)量值的最大誤差為1%，估計(jì)圓柱體體積的百分誤差。解:半徑與高的誤差為1%表示 Dr = 0.01r Dh = 0.01h 結(jié)果為 dV = 0.03V，表示若半徑與高有1%的誤差，則體積的誤差可達(dá)3%。7-6 全微分圓柱體的體積 V = pr2h ，其全微分為估計(jì)誤差與

45、相對(duì)誤差一個(gè)紙箱的長(zhǎng)寬高分別為 30、26 與 12 英吋。若其製造上的最大誤差分別為 0.3、0.2 與 0.1 英吋，估計(jì)其體積的誤差與相對(duì)誤差。解:紙箱的體積為 V = xyz 。依題意求當(dāng) x = 30，y = 26 與 z = 12 在Dx = 0.3，Dy = 0.2，Dz = 0.1 時(shí)體積變動(dòng)的近似值。V 之全微分為 體積誤差為243.6。 相對(duì)誤差= 。7-6 全微分拉氏乘子l 的意義求目標(biāo)函數(shù) f(x, y) 的極值同時(shí)滿足限制式 g(x, y) = 0 。這個(gè)方法令拉氏函數(shù) L(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)為零然後解聯(lián)立方程式求出

46、x、y 與l 的值。首先令 L 的偏導(dǎo)數(shù)為 0，得若我們將 x 與 y 增加Dx 與Dy，則目標(biāo)函數(shù)的變動(dòng)量可用全微分來(lái)近似之：拉氏乘子l 的意義：每額外增加一單位的限制式單位可增加的目標(biāo)單位的數(shù)量。7-6 全微分隨堂演練7-61. 求函數(shù) 的全微分。2. 求生產(chǎn)函數(shù) f (K, L) = CKaL1-a 的全微分。3. 利用全微分求 的近似值。4. 令函數(shù) f (x, y) = x2e-y 利用 f (1, 0) 的值估計(jì) f (1.2, -0.2) 的值。5. 一圓柱體經(jīng)測(cè)量後發(fā)現(xiàn)半徑為 5 公分且高為 20 公分，若半徑與高測(cè)量的最大誤差均為 0.2 公分，估計(jì)圓柱體積的誤差與百分誤差。7-6 全微分二重積分單變數(shù)函數(shù)的定積分，定義為近似和的極限。當(dāng) f(x) 0 時(shí)這個(gè)近似和就是 xy 平面上圖形 y = f(x) 下的矩形面積和。我們將定積分的定義推廣至兩個(gè)變數(shù)的情形稱為二重積分 (double integral)。同理二重積分也可視為曲面 z = f(x, y) 下的體積。7-7 二重積分平面上，所有點(diǎn) (x, y) ，a x b，c y d ，構(gòu)成一