向量組以及線性相關(guān)性

1、資料考點(diǎn)大提綱請(qǐng)按照編號(hào)順序閱讀，方便建立知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)。注：本資料只有技巧總結(jié),不涉及概念性的基礎(chǔ)類總結(jié).若要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)性概念請(qǐng)查閱教材.主要掌握:向量的基本概念：(注意：不加說明的向量a是指列向量)向量組的基本概念.向量的基本運(yùn)算：(加減、數(shù)乘)向量的線性相關(guān)性的概念：線性組合的概念線性表出的概念線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念.矩陣秩的概念、向量組秩的概念.向量的線性相關(guān)無關(guān)的基本判定方式：向量8可以由向量組a 1，a 2,，a n線性表出-非齊次線性方程組 ii 向量組a 1，a 2，a n線性相關(guān)齊次線性方程組la ,ax1- %，八：2.xn=p 有解.ra ,a,a = ra ,a ,a ,

2、pn12n% 1xa , a ,.,a .2 = 0 有解ra , a ,., a =n )必定相關(guān).r(A)n,A向量(n為向量個(gè)數(shù))組必定相關(guān).v 部分無關(guān)一整體無關(guān)，整體相關(guān)一部分相關(guān).vi向量組A線性相關(guān)的充分必要條件是向量組總存在一個(gè)向量可由其余向量線 性表出.vii 若 a 1，a 2，a n 無關(guān)，a 1，a 2，a n，8 相關(guān)，那么8 可由a 1，a 2，a n線性表出，且表出法唯一.極大無關(guān)組的概念，等價(jià)向量組的概念.用初等變換來求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組，并且用極大無關(guān)組來表示其他向量。有關(guān)的重要公式或定理：三秩相等初等變換不改變矩陣的秩等價(jià)的矩陣秩相等，反之相等的矩陣等價(jià)

3、如果A只經(jīng)過初等行變換為B,那么A,B行向量組等價(jià).8.有關(guān)秩的等式和不等式:A為mXn的矩陣，B是滿足相應(yīng)運(yùn)算的矩陣r (A) = min(m,n)r(A+B) = r(A)+r(B)r (4) = r (A)r(AB)=r(A)+r(B)-n(注：這公式常和上面公式連用，來確定r(AB)的值)n r(A) = nr(A*)= =3)，且8 1 =a 1+a 2，P 2=a 1-2a 2，p 3=3a 1+2a 2.求證：向量組p 1，p 2，p 3 相關(guān).解析：我們按照方法來先設(shè)出k1、k2、k3列出等式.k1*8 1+k2*8 2+k3*8 3=0 帶入題目條件：k1*( a 1+a 2

4、 )+k2*( a 1-2a 2 )+k3*( 3a 1+2a 2. )=0； 化簡(jiǎn)整理：(k1+k2+3k3)a 1+(k1-2k2+2k3)a 2=0.無論a 1,a 2是否相關(guān)，只要系數(shù)為0上式成立。那么列出向量組。解出有非零解。 說明相關(guān)。例：設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使得= 0有解向量a，且A*-A豐0證明：a，Aa，Az-1 a線性無關(guān).解析：我們按照方法來先設(shè)出k1、k2、kn列出等式 k1*a +k2*Aa +kn* AkTa =0,我們來利用條件。上式左乘Ak-1，則有k1*a =0,則有k1=0，同理可以求出其他ki都等于0，所以無關(guān).求向量組的極大無關(guān)組這類的題目有

5、具體矩陣也有抽象矩陣。具體的矩陣直接用初等行變換化成最簡(jiǎn)形就可以確定極大無關(guān)組了(具 體方法見教材)。如果是抽象矩陣呢？ 一般求抽象矩陣的極大無關(guān)組，題目中會(huì)給出一系列 條件，一般我們是先通過條件求出這個(gè)抽象向量組的秩也就是極大無關(guān)組里向 量的個(gè)數(shù)，然后利用其他性質(zhì)變形得到向量組中某些向量相關(guān)，逐步排除這些 已經(jīng)相關(guān)的向量。最后剩下的就是極大無關(guān)組了.(0 )f 0 )f1 )f-1)0,a =1,a =-1,a =1234c1 c/ c1 /=r(A)+r(B)-n ,那么 r(A(A-E)=r(A)+r(A-E)+n,變形，r(A)+r(A-E)=n,又因?yàn)?r(A+B) =r(A+A-E

6、)=n,綜上 r(A)+r(A-E)=n;例：A是個(gè)n階矩陣，Aij為元素aij的代數(shù)余子式，且滿足Aij+aij = 0，則有r(A)=_. 解析：由條件Aij+aij = 0，我們可以得出J + A = 0，變形有U* =一A .可見 r婦)=r(A* )= r(A),又根據(jù)：伴隨矩陣和原矩陣秩的關(guān)系，可以得出r(A)=n;判斷向量組的等價(jià)這類題記住一點(diǎn)，只要兩邊的向量組都能夠通過某個(gè)線性組合表示對(duì)方向量組，那么這 兩個(gè)向量組等價(jià).(線性組合可以通過矩陣相乘的形式給出，這個(gè)前面說過，這不再累述)例：設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若AB=C,且B可逆，則有()A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)D.矩陣C的列向量組與矩陣B的