第25講巧用乘法原理與加法原理解題

1、 才子教育 小學(xué)奧數(shù)系列第25講 巧用乘法原理與加法原理解題巧點(diǎn)晴方法和技巧乘法原理：如果完成一件事需要n個步驟，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有m1m2mn種方法。由于上述的各個步驟彼此互不影響，因此各個步驟安排的先后順序不同并不影響結(jié)果。這就使我們可以選擇適當(dāng)順序來研究它們，以使問題簡便地得到解決。加法原理：如果所要計(jì)數(shù)的對象有n類，第一類有m1種，第二類有m2種第n類有mn種，那么這些對象總計(jì)有m1m2mn種。應(yīng)用加法原理的關(guān)鍵是將所有計(jì)數(shù)的對象依據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)，分為不重、不漏的若干類。巧指導(dǎo)例題精講A級 沖刺名?；A(chǔ)點(diǎn)晴【例1】王芳、小華、

2、小花三人約好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動的跳遠(yuǎn)、跳高、100米跑、200米跑四項(xiàng)比賽中的一項(xiàng)，問報(bào)名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同情形？分析 三人報(bào)名參加比賽，彼此不受影響，可看做分三步完成。首先王芳報(bào)名，她可以報(bào)四個項(xiàng)目的任何一項(xiàng)，有4種不同情形；再由小華報(bào)名，仍可報(bào)四項(xiàng)中的任何一項(xiàng)，也有4種不同情形；最后小花報(bào)名，同樣有4種不同情形；再由小華報(bào)名，仍可報(bào)四項(xiàng)中的任何一項(xiàng)，也有4種不同情形；最后小花報(bào)名，同樣有4種不同情形。根據(jù)乘法原理，共有不同情形444=64（種）做一做 有5件不同的上衣，3條不同的褲子，4頂不同的帽子，從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的裝束？【例2】從

3、3名男生、2名女生中選出優(yōu)秀學(xué)生干部3人，要求其中至少有一名學(xué)生，一共有多少種不同選法？分析與解 所有不同的選法可以分為兩類：第一類是恰好選出一名女生；第二類是選出兩名女生。第一類的選法可以分兩步：首先從2名女生中選出1人，有2種選法；其次再從3名男生中選出2人，有3種選法。根據(jù)乘法原理，第一類方法共有23=6（種）。第二類的選法也可分兩步：首先從2名女生中選2名女生，只有唯一選法；再從3名男生中選出1名，有3種選法。根據(jù)乘法原理，第二類方法共有13=3（種）。當(dāng)然，第二類方法也可以直接判斷出來。根據(jù)加法原理，共有63=9（種）不同選法。做一做2 3名男生、2名女生排成一行照相，女生不站兩頭，

4、且女生站在一起，問有多少種不同站法?！纠?】用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析與解 根據(jù)題意，百位上可取1，2，3，4這4個數(shù)字，有4種取法；百位數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字可從余下四個數(shù)字中任取一個，有4種取法；個位數(shù)字從余下的三個數(shù)字中任取一個，有3種取法。根據(jù)乘法原理，能組成443=48（個）沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。做一做3 有五張卡片，分別寫著數(shù)字1,2,4,5,8?，F(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起，組成一個三位數(shù)，如1 2 3 。問：可以組成多少個不同的偶數(shù)？B級 培優(yōu)競賽更上層樓A C BD【例4】地圖上有A，B，C，D四個國家，如右圖所示?，F(xiàn)用紅、藍(lán)、

5、黃、綠四種顏料給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同。問：有多少種不同的染色方法？分析與解 對于任一種符合要求的染色方案，比如，A著紅，B著綠，C著黃，D著紅，可以看做是按A，B，C，D的順序著色的，也就是說第一步給A差紅色，第二步給B著綠色，第三步給C著黃色，第四步給D著紅色，所以我們可把給地圖著色分成四個步驟。第一步給A著色有4種選擇；第二步給B著色，因A，B相鄰，只有3種著色方法；第三步給C著色，C與A，B相鄰，只能有2種方法；第四步給D著色，D與B，C相鄰，也只有2種方法。根據(jù)乘法原理，不同的染色方法共有4322=48（種）做一做4 如右圖所示的地區(qū)內(nèi)有六個國家，A，B，C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)對

6、每個國家用紅、黃、藍(lán)、綠、紫這五種顏色中的一種進(jìn)行著色，并使得相鄰國家必須著不同顏色，那么一共有多少種不同的著色方法？【例5】 從1到400的所有自然數(shù)中，不含數(shù)字3的自然數(shù)有多少個？分析 從1到400的自然數(shù)可分為三類：一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)。一位數(shù)中不含數(shù)字3的有72個。這是因?yàn)槭簧系臄?shù)字有1，2，3，5，6，7，8，9這樣8種取法，個位上的數(shù)字有1，2，4，5，6，7，8，9，0這種9種取法，根據(jù)乘法原理應(yīng)有不含數(shù)字3的兩位數(shù)89=72（個）三位數(shù)中不含數(shù)字3的有163個。除去400外，因百位上有1，2兩種取法，十位上與個位上均有0，1，2，4，5，6，7，8，9這樣9種取法，根據(jù)乘法

7、原理，百位是1，2而十位和個位均不含3的三位數(shù)共有299=162（個）根據(jù)加法原理，從1到400自然數(shù)中不含數(shù)字3的有872163=243（個）這道題還可以這樣考慮：把一位數(shù)前面添兩個零，兩位數(shù)前面添一個零，比如2寫成002，45寫成045，這樣一來全變成了“三位數(shù)”。除去400外，考慮不含數(shù)字3的這樣的“三位數(shù)”的個數(shù)。百位上可以取0，1，2有3種情形，十位與個位均可以取0，1，2，4，5，6，7，8，9，各有9種情形。根據(jù)乘法原理，這樣的數(shù)共在399=243（個）但是需要特別注意，數(shù)“000”不合要求，另外還需要補(bǔ)上符合要求的數(shù)字400，這樣，恰好仍有243反而不含數(shù)字3的“三位數(shù)”，再重

8、新刪去添加在前面的零，得到的結(jié)果仍不變。做一做5 從1到1000自然數(shù)中，一共有多少個數(shù)字0？【例6】 從19，20，21，92，93，94這76個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？解 從19到94共計(jì)76個不同的整數(shù)，其中有38個奇數(shù)，38個偶數(shù)。若選取兩數(shù)之和為偶數(shù)，必須且只需選取的兩個數(shù)有相同的奇偶性，所以選取的方法數(shù)分為兩類：第一類，選取兩個不同偶數(shù)的方法數(shù)；第二類，選取兩個不同奇數(shù)的方法數(shù)。依加法原理，這兩類方法數(shù)的總和即為所求的方法數(shù)。第一類是從38個偶數(shù)中選取兩個不同偶數(shù)的方法數(shù)，先取第一個偶數(shù)有38中方法，從其余37個偶數(shù)中選擇第二個有37中方法，依乘法原理

9、，共有（3837）中不同的方法。但注意選取第一個數(shù)比如30，選取第二個數(shù)比如32，與選第一個數(shù)32，再選第二個數(shù)30，是同一組，所以總的選法數(shù)應(yīng)該折半，即共有種不同的選法。第二類是從38個奇數(shù)中選取兩個不同奇數(shù)的方法數(shù)，與上述方法相同，也有種不同的選法。所以，選法總數(shù)是+=3837=1406（種）做一做6 有大小兩個正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6。將兩個正方體投擲在桌面上。向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的情形有多少種？C級 勇奪冠軍【例7】 假如電子計(jì)時器所顯示的十個數(shù)子是“0126 093 028”這樣一串?dāng)?shù)，所表示的是1月26日9時30分28秒。在這串?dāng)?shù)里，“0”

10、出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)。如果在電子計(jì)時器所顯示的這串?dāng)?shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，稱它所表示的時刻為“十全時”，那么2003年一共有 個這樣的“十全時”。解 （1）容易驗(yàn)證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時”。（2）3月中只有形式032 1 符合條件。其中兩個方格中可以填入4或5，四條橫線上可以填6、7、8、9中的一個，于是共有2（4321）=48（個）“十全時”。同理4、5月內(nèi)也分別各有48個“十全時”。（3）6月里

11、有兩種形式符合條件：061 , 062 1 對于形式，兩個方格中可以填4或5，三條橫線上可以填7或8或9，于是共有2（321）=12（個）“十全時”。形式兩個方格中可以填3或4或5中的任意兩個數(shù)，三條橫線上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一個數(shù)。于是共有（32）（4321）=144（個）“十全時”。所以6月里共有“十全時”12+144=156(個)。同理7、8、9月內(nèi)也分別各有156個“十全時”。綜上所述，2003年一共有4831564=768（個）“十全時”。做一做7 在1，2，3，100這100個自然數(shù)中，取兩個不同的數(shù)，使得它們的和是7的倍數(shù)，共有 種不同的取法。巧練習(xí)溫故知新（二

12、十五）A級 沖刺名校基礎(chǔ)點(diǎn)晴1.四個好朋友去看電影，電影院有3個入口，他們進(jìn)入電影院有多少種走法？2.一次作文競賽有20篇范文，老師要從中選出兩篇寄到小學(xué)生作文雜志社去，有多少種選法？3.從3，5，7，11，13，17這六個數(shù)中，取兩個數(shù)構(gòu)成真分?jǐn)?shù)，這樣的真分?jǐn)?shù)有多少個？4.12 321，90 009，41 014有一共同的特征，它們倒過來還是原來的數(shù)。這樣的五位偶數(shù)有多少個？5.從1到500的數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個？B級 培優(yōu)競賽更上層樓6.將一個正方形分割成4個小正方形，用5種顏色染色，要求每個小正方形染同一種顏色，相鄰（即有公共邊的）小正方形染不同的顏色。問：有多少種不同的染色

13、方法？7.自然數(shù)115中含有兩個數(shù)字1，那么從1到1 000這1 000個自然數(shù)中一共有多少個數(shù)字1？8.數(shù)1 447，1 005，1 231有一些共同的特征，它們都以1開頭，含有兩個相同數(shù)字，且都是四位數(shù)。問：這樣的數(shù)共有多少個？9.今有壹角幣、貳角幣、伍角幣各1張，壹元幣4張，伍元幣2張，用這些紙幣任意付款，可以付出多少種不同的金額？10.在4 000到7 000之間有多少個四個數(shù)字均不相同的偶數(shù)？C級 （選學(xué)）決勝總決賽勇奪冠軍11.如圖，一塊圓形的紙片分成4個相同的扇形，用紅、黃兩種顏色分別涂滿各扇形，共有幾種不同的涂法？12.平面上有7個不同直線上的點(diǎn)，任意三點(diǎn)都不在同一直線上。以這7個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，使得任何兩個三角形至多只有一個公共頂點(diǎn)，問：