人大版《精算模型(第3版)》習(xí)題解答

第一章習(xí)題答案

1、參數(shù)。=1/a的指數(shù)分布

2、48

3、0.00888889

4、34.29,72.83

5、99499

6、49980.76

7、97.5

8、3996,5605

9、974.567

10、(1)4趨于有比,2更多的正數(shù)階矩。

(2)兩個概率密度函數(shù)的比值匯/與會趨于無窮。

(3)4的危險力函數(shù)比4的危險力函數(shù)增長速度更快。

(4)儲的平均剩余壽命比乙的平均剩余壽命增長更快

11、Loglogistic分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以Loglogistic分布與伽馬分布

有更厚的尾部。。

Paralogistic分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以Paralogistic分布比對數(shù)正

態(tài)分布有更厚的尾部。

逆指數(shù)分布沒有A21的k階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的

尾部。。

12、

證明：單參數(shù)帕累托分布的危險力函數(shù)用下面的公式很容易計算，

即，

InS(x)=a(in8-Inx)

dInS(x)2

dxx

這是一個遞減的函數(shù)。對于伽馬分布，注意到

1力」："(x+y)力

〃(““X)小)’

因此當(dāng)y給定時，若〃x+y)//(x)對于x遞增，則l/〃(x)對于x遞增，也就是說，隨機

變量的危險率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù)a=2,8=500的伽馬分布，

〃x+y)(x+y-e?楸(y\

因此〃(x)對于x是嚴格遞增的,這是一個薄尾分布。

第一章習(xí)題解答

1.X服從一個參數(shù)為a和。的雙參數(shù)帕累托分布，已知:

（v\

y=In-+1

I。J

求卜的分布。

解：

（X

y=I1n-F1

I。）

x=6佇-1)

耳⑺=G(。(，-1))

[6+8(/—/

=1-?、?/p>

所以y的分布是一個參數(shù)。=1/。的指數(shù)分布

2.已知：（1）X服從均值為2的指數(shù)分布；（2）Y=T1-5；計算后［丫2］

解:使用L=矛5的代換來計算指數(shù)分布的三階距更為簡單。

=3!^=6值)=48

3.X服從一個參數(shù)為a=2.5和。=10的伽馬分布。V=1/1，計算上ir（Y）

解：我們來計算￡田和外片］,或者少［『］和￡［『］,注意到TABLE中用于伽馬分

布整數(shù)階距計算的公式少［才［=6"（a+A-1）a。這個公式值提供了當(dāng)左是一個正

整數(shù)的情況，所以不能夠用來計算T和-2階矩。由此，我們必須使用TABLE中更為一般化

的公式，

ekv(?+A)

31=r?

對于A=-1,即為

￡E="？獷)=Unj

因為「(a)=(a--1),對于女=-2,

1

E

(?-1)(?-2)

所以,

11

=0.00888889

102(1.5)(0.5)110(1.5),

4.損失服從一個均值為10和方差為300的帕累托分布。計算風(fēng)險水平為95%和99%時的

VaR,

解：設(shè)X為損失變量，我們通過他的兩階矩來計算參數(shù)a和6,

e

10

a—1

2鏟

=400

(a-1)(a-2)

用第一個公式除以第二個，得

2（a-1）

—------L=4,a=3

a-2

將上述結(jié)果帶入一階矩的式子，得。=20,帕累托分布的95%分位數(shù)滿足S（x）=0.05

e

S(x)Y0.05

e+x)

VaR0、=x=34.29

n0.95

類似的，99%的分位數(shù)滿足S（x）=0.01

VaRun.y0y。=x=72.83

5.損失服從一個e=looo的指數(shù)分布，計算99%的在險價值

解：我們設(shè)99%分位數(shù)的在險價值為X,貝I」，

「looo/*=0.99,x=99499

6.某家保險公司的理賠損失服從一個由兩個占同樣比重的帕累托分布組成的混合分布，第

一個帕累托分布的參數(shù)a=1、。=1000,第二個帕累托分布的參數(shù)a=2、

e=woo,計算這個混合分布99%分位數(shù)的在險價值。

解：我們需要計算99%的在險價值，這個混合分布的生存函數(shù)是兩個生存函數(shù)的加權(quán)平均數(shù),

在分布函數(shù)為0.99是生存函數(shù)為0.01,設(shè)x為99%的分位數(shù),

r1000f1000

S(x)=0.5+0.5=0.01

J000+x,J000+x.

為了方便，設(shè)y=1000/(1000+x),

0.5y2+0.5y=0.01

-1+Jl+0.08mnciIZOA

y=-----------------0.01961524

2

因為y必須為正數(shù)，所以我們拒絕了方程的負數(shù)解。

1000

=0.01961524

1000+x

1000

-1000=49980.76

0.01961524

7.才是一個在[0,100]上的均勻分布，計算”叫.95(才)

解：我們通過方程的方式來解決，對于4，lOOpth的分位數(shù)為100。所以,

f100y故

50-45.125

TVaR.95田=-....=97.5

。.95V)1-0.950705

然而，這個結(jié)果是很直觀的，對于在一個給定的均勻分布95和100之間的條件期望就是它

的中間點。

8.X服從一個均值為1000的指數(shù)分布，計算7后勺95(4)和7%或).99(刀。

解：使用公式，

TVaR^=1000(1-In0.05)=3996

1000

95=(1~In0.01)=5605

9.X是一個用來表示損失的隨機變量。X服從一個參數(shù)為。=1000,a=2,6=1

的貝塔分布。計算7儂勺go(1)。

解:這個貝塔分布的密度函數(shù)為/'(x)=2x/1000)0WxW1000。首先我們計算90%

的分位數(shù)，

尸(才)=L-]=0.9,x=100075??

I，J1000211000J

超出x=iooo?3的部分為,

1000Q2j

(l-p)^0.90(J)=jW=97.4567

除以1—p=0.1,我們得到974.567o

同樣的結(jié)果可以通過方程解出，

整合可得，

3/2

'r2000(1-0.9

(1-P)TVaR^(J)=1000J6力=——-------

0.93

io.對于服從分布￡,概率密度函數(shù)為4的隨機變量儲與服從分布“，概率密度函數(shù)為《

的隨機變量"2,如何判斷兩種分布的尾部。

解：(1)4趨于有比/更多的正數(shù)階矩。

(2)兩個概率密度函數(shù)的比值￡/與會趨于無窮。

(3)占的危險力函數(shù)比42的危險力函數(shù)增長速度更快。

(4)4的平均剩余壽命比4的平均剩余壽命增長更快

11.使用合適的指標(biāo)比較下列分布的尾部：(1)Loglogistic分布與伽馬分布;

(2)Paralogistic分布與對數(shù)正態(tài)分布(3)逆指數(shù)分布與指數(shù)分布

解：Loglogistic分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以Loglogistic分布與伽馬分布

有更厚的尾部。。

Paralogistic分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以Paralogistic分布比對數(shù)正

態(tài)分布有更厚的尾部。

逆指數(shù)分布沒有A21的k階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的

尾部。。

12.已知才的密度函數(shù)為f(x)=500000//，x>500(參數(shù)a=2的單

參數(shù)帕累托分布)，V的密度函數(shù)為g(y),g(y)=ye-"5oo/250000(參數(shù)

a=2,Q=500的伽馬分布)。證明基于危險力檢驗，X比V厚尾。

解：單參數(shù)帕累托分布的危險力函數(shù)用下面的公式很容易計算，

/、dInS(x)

即,

InS(x)=a(inInx)

dInS(x)_2

dxx

這是一個遞減的函數(shù)。對于伽馬分布，注意到

1力J：/(x+y)力

力(X)/(X)“X)'

因此當(dāng)y給定時，若/(x+y)//(x)對于X遞增，則l/〃(x)對于X遞增，也就是說，隨機

變量的危險率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù)a=2,6=500的伽馬分布，

〃中)_--訝中9r

/(x)-Xa-'e-xiex)'

因此〃(x)對于X是嚴格遞增的,這是一個薄尾分布。

第二章習(xí)題答案

1、4%

2、0.099

3、12.5

4、35,50%,52.5

5、1.435

6、119.71

7、1.115

8、58.3

9、324,5.82%

10、1.94

11、0.436

12、0.8

13、6

14、0

15、990944

16、0.13

17、2000

18、0.625

19、175

20、

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

=X-(XA40)-0.25[X-(XA60)]-0.75[X-(XA80)]

=0.75(XA80)+0.25(XA60)-(XA40)

第二章習(xí)題解答

1、假設(shè)某險種在2019年的實際損失額服從離散分布，P(X=1()00%)=1/6,%=1,,6。

保單上規(guī)定每次損失的免賠額為1500元。假設(shè)2019-2020年的通貨膨脹率為5%,2020

年的免賠額提高為1600元，求2020年的每次賠償?shù)睦碣r額期望是多少。與2019年相

比，增長率是多少？

解答：由X的分布計算得到：

E(X)=/+2+3+4+5+6)x1000=3500

￡(XA1500)=-X1000+-X1500=1416.667

66

1<八八八51600一”LCC

=—x10004—x----=1436.508

661.05

2019年的每次事故的理賠額期望為

E(X)-E(X/U500)3500-1416.667

02009)(0==2500

1-7^(1500)

「I

2020年的每次事故的理賠額期望為

1.05E(X)—E[X人然

1.05(3500-1436.508)

戌°⑼(丫)——-------：--------L=2600

16001-i

l-Fx

L056

E(20l0)(y)_2600

E(2oo9)(y)-25OO

故增長率為4%

2、假設(shè)某險種的實際損失額X的分布函數(shù)為/(x)=().()4xe<2，，%>0。已知免賠額為30,

求每次損失事故中的平均賠付額E(一)。

解答：

【方法一】

由X的密度函數(shù)知，X服從參數(shù)c=2,8=5的伽馬分布。

E(X)=5x2=10

由伽馬分布的性質(zhì)知

E（XA30）=2X5F（3;6）+30[1-F（2;6）]

其中

2ap*

“3;6）=1—1—250

j=0J-

F（2;6）=l-（1+6）6飛=1-71

故

￡（XA30）=2x5F（3;6）+30[l-r（2;6）]=10-40^

又

G（30）=r（2;6）=l—7e?

故每次損失事件賠付額的期望為

￡（片）=E（X）-￡（X△30）=10-（10-40^）=40l=0.099

【方法二】

若不熟悉伽馬函數(shù)的性質(zhì)，則先計算

F（x）=[0.04xe~°-2xdx=l-（0.2x+l>-°'2v

Jo

E（X人30）=^°（1-F（x））^k0.2xe^2xdx+^e^2xdx=10-40e-6

故每次損失事件賠付額的期望為

￡（/*）=￡（X）-E（XA30）=10-（10-40^）=4（^=0.099

3、設(shè)某險種的實際損失額為才，E(X)=500。當(dāng)免賠額為d時，投保人的損失消失率為:

E[X^d]

LER（d）=

E[X]

當(dāng)d=200時，己知LE/?（200）=25%且P（X<200）=0.4。求E（X|X<200）。

解答:

￡（XA200）及E（X）=500得

由L￡/?（200）

E（X）、'

E（XA200）=125

又因為

E[XA200]=E[X△2001X〉200]P(X>200)+￡[XA200|X<200]P(X<200)

=0.6￡[XA200|X>200]+0.4￡[XA200|X<200]

=0.6x200+0.4E(X|X<200)

=125

E(X|X4200)=12.5

4、假設(shè)某險種的實際損失額的分布滿足下面的性質(zhì):

X

F(x)E(XAX)

50.53

100.66

150.71.7

22.50.89.5

32.50.911

00120

(1)已知免賠額為10,求理賠額的期望。

(2)現(xiàn)將免賠額提高到使得P(X>d)=0.5xP(X〉10),求理賠額提高的比例。

(3)若明年的通貨膨脹率為50%,免賠額為15,求理賠額的期望。

解答：(1)由表中的數(shù)據(jù)得

E(X)=E(XA8)=2O

E(XA10)=6

&(10)=0.6

故理賠額的期望為

E(X)—E(X/U0)=14=35

%)1-&00)

(2)因尸(X>10)=().4,故

P(X>d)=0.2,即d=22.5

尸修「￡”)-￡(*人22.5)20-9.5

(l-^(22.5)~1-0.8一'

理賠額提高比例：空—1=50%

35

(3)若明年的通貨膨脹率為50%,則明年理賠額的期望等于

20-E（XA^!）

E（X）-E（XA10）

E（y）=i.5=1.5x—=52.5

1-尸（竺）i-KO。）0.4

1.5

5、已知某險種的實際損失額的分布為對數(shù)正態(tài)分布，〃=5和b=2,每年平均有10起損

失事件發(fā)生。已知今年免賠額為1500元。若明年的通貨膨脹為20%,免賠額保持不變。

明年平均將會有多少起理賠事件發(fā)生？

解答：

由題意知lnX~N（5,22）,則

P（1.2X>1500）=P（lnX>lnl500-In1.2）

_//lnX-5〉lnl500-lnl.2-5

一1~2->2-

=P[N（0,l）>1.065]

=1-0（1.065）

=0.1435

故

E（7V）=O.1435xlO=1.435

6、假設(shè)某保險的損失額服從指數(shù)分布:

fxM

150

保單規(guī)定免賠額為100元，賠償限額為1000元，比例分擔(dān)系數(shù)為0.8。計算風(fēng)丫）和E（y*）

解答：

X的分布函數(shù)為/面，由公式

E（X/\d）=J：（I—尸（x））心=150（1—/瓦）

得

E（X△100）=150“—J%。）=72.987

E（XA1000）=150（1—e'"%5o）=149809

故每次損失事件的實際平均賠付額

E（y*）=a[E（XA1000）-E（XA100）]=0.8（149.809-72.987）=61.46

每次賠償事件的實際平均理賠額

W)61.46

119.71

E")=i-fx(ioo)

7、某險種保單在2019年的損失額X滿足下面的分布性質(zhì)：

E(X人d)=-0.025/+1.4751-2.25,J=10,11,12,...,26

假設(shè)2020的保單損失額比2019年提高10%。保單規(guī)定賠償高于免賠額11的全部損失，

最高的賠償金額為11。計算2020年的平均理賠額與2019年平均理賠額之比。

解答：

設(shè)X表示2019年的損失額，Y表示2020年的每張保單的賠付額。由保單規(guī)定賠償

高于免賠額11的全部損失，最高的賠償金額為11知

0,X<11

y=<X-ll,11<X<22=(XA22)—(XAll)

11,X>22

則

￡(r)=E(XA22)-E(XA11)

=(-0.025x222+1.475x22-2.25)-(-0.025xlI2+1.475xll-2.25)

=(18.10-10.95)

=7.15

在2020年，由于2020的保單損失額比2019年提高10%,但免賠額和最高賠償金

額沒有變化，因此2020年的保單賠付額可以表示為

'0,

y=<1.1X-11,11<1.1X<22=1.1[(XA20)-(XA10)J

11,1.1X>22

￡(y)=l.l[E(XA20)-E(XA10)]

=l.l[(-0.025x202+1.475x20-2.25)-(0.025xlO2+1.475x10-2.25)]

=1.1(17.25-10)

=7.975

因此，2020年的每張保單的平均賠付額與2019年的平均賠付額之比為龔=1.115

7.15

8、設(shè)某險種一張保單的實際損失的分布函數(shù)為：

/(%)=0.02(1-q+qx0.02x)e,°2',x>0

假設(shè)保單規(guī)定免賠額為100,則理賠額的期望為200o若免賠額提高到200,理賠額的期望

等于多少？

解答：

由損失的分布密度函數(shù)知，X的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布，即

f(x)=(1-4)(0.02-°°2，)+q(0.022

X的分布函數(shù)為

Hx)=1/(y)dy=1—(1-—q(0.02x+1)/必

*0

對于免賠額d,理賠額Y=X-d|X〉d的分布密度函數(shù)為

0.02(1-g+q0.02(x+初產(chǎn)仔？x>0

(1-q)e-002d+q(0.02d+l)e^02d

0.02(1-q+q0.02(x+4))6~°皿

(1—q)+q(0.02d+1)

1-4+0.02“O0213,+/r\fv*)\2、.c-0.02x

(0.02)xe

(l-q)+q(0.02d+l)-(l—q)+q(0.02d+l)

Y的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布。當(dāng)d=100時,

\+q\+q

解得q=l/4

當(dāng)d=100時，有

E(K)=―1-"°皿"—50+--------4----------100

(1—q)+q(0.02d+1)(1一q)+q(0.02d+1)

1—g+2q

l+2(7l+2q

9、設(shè)某險種在2019年的每份保單損失為X,對OWdVIOOO,有下列關(guān)系式成立:

E[XAd]=(200(W-d2)/2000

若保單規(guī)定保險人支付損失超過100元部分的80%,保單限額為1000元。

(1)每張保單的平均賠付額是多少。

(2)假設(shè)2020年該險種的每份保單損失提高5%,每份保單的平均支付額相應(yīng)提高多大比

例。

解答：

(1)設(shè)片表示保單的賠付額，由題意得,

0x<100

y*=<0.8(x-100)100<x<1000

0.8x900=720x>1000

故

E(y*)=0.8E[(1000AX)-(XA100)]

=0.8[E(1000AX)-E(^A100)]

=0.8(500-95)

=324

(2)2020年賠付額的期望為

E[^010)]=0.8E[(1000A1.05x)-(1.05A:A100)]

S]

=0.84(498.866-90.703)

=342.857

與2019年相比提高的比例為

342.857-324

x100%=5.82%

324

10、己知如下條件：

(1)損失服從對數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為〃=5,。=2；

(2)免賠額為1000；

(3)每年預(yù)計的損失次數(shù)為10次；

(4)損失次數(shù)與個體損失額互相獨立。

如果所有的個體損失額都提高20%而免賠額不變，求每年超過免賠額的平均損失次數(shù)。

解答：設(shè)損失額為X,則InX服從參數(shù)〃=5,b=2的正態(tài)分布.故

P(1.2x>1000)=P(lnx+In1.2>In1000)

=P(lnx>lnl000-lnl.2)

_(Inx—5〉InlOOO—lnl.2-5

-I-2->

=1,-不nn—nl000—2l—nl.2—5J)

=1一①(0.863)

=0.194

故每年超過免賠額的平均損失次數(shù)為

E(N)=0.194x10=1.94

11、損失額服從威布爾分布，參數(shù)7=2,。未知。一個保險人設(shè)定保險限額為100元。已

知50%的損失事件的損失低于限額100元。但由于通貨膨脹，所有損失額上升10%,求損失

額仍低于100元的損失事件的百分比。

解答：G(100)=l—eY°°@2=05.6=120

經(jīng)過10%的通漲，y=l.IX,K(100)=工(詈)=1—e-a°°"32)2=0436。

我們可知道經(jīng)過比例變換，V仍服從參數(shù)7=2,9=132的威布爾分布。

12、己知(1)損失服從指數(shù)分布；(2)今年的損失消失率/歐為70%；(3)明年的免賠額是

今年的免賠額的4/3,求明年的損失消失率LER。

解答：假設(shè)E[X]=①根據(jù)指數(shù)分布的分布可知￡[X/\d]=6(1—0-"').則今年的

LER=*1=如戶—因此小心

明年免賠額為4d/3,但X的分布不變，因此明年的

aXA4d/3]

LER==1一(0.3嚴=0.8

E[X]0

13、已知隨機變量X：P(X=3)=P(X=12)=0.5和仇〃(X)]=3,求d。

解答：已知X的取值都23,于是

0X<d,p=0.5

"(X)=>tE[l(X)]=(12-JX0.5)=3-d=6

i2-dX>d,p=0.5d

14、損失服從均值為100的指數(shù)分布，一個保險人正考慮以下兩種保險：

(1)免賠額為20；

(2)免賠額為50；

保險人對每一種保險分別計算了理賠額的偏度系數(shù)，分別為q和C2,則比J低百分之多少？

解答：已知指數(shù)分布<0)=,"血，以及分布工(x)=l-e7冶。因此X'的密度為

0

fx(y+d)上------^0->ie,可以看出也是均值為。的指數(shù)分布，和

&(>')=e

l-K(d)1_(一°

免賠額無關(guān)，因此q=C2,答案為0.

15、損失服從均值為1000的指數(shù)分布，某保險公司設(shè)免賠額為100。求賠付額片的方差.

解答：要求片=(X-1OO)+的方差，即司?］-(4匕2］-。對于一個指數(shù)分布，由于無記

憶性，理賠額丫"也是服從均值為9=1000的指數(shù)分布。同時我們也知道

仇(X—〃)+]

E[YL]=E[X-d\X>d]=

P(X>d)

和仇4]=E[(x-d)2\x>d]=

因此,由a％]=。和仇巖]=2。2可得頊yj=E[(X—d)+]=EU；]*P(X>d)=

3ed,e

E[Y^]=E[(X-d)l]*P(X>d)^2e2ed'°.由題中8=1000和d=100,我們有

22,00/1000,o,/l,,02

Var(YL(￡[7；])=2(1000)e--(lOOO^*°)=990944

16、假設(shè)損失隨機變量X服從均勻分布U［0,80］,現(xiàn)有兩種類型的保險單:

(1)免賠額為10,收取保費為每份保單平均賠付額加上14.6；

(2)全額賠付,收取保費為(1+))。

兩個險種所收保費相同，求女。

「

［80(x-10)(1/80)公+14.6=45.225=40(1+Qf%=0.13

解答：J1°

17、一位保險人發(fā)現(xiàn)，對于某一種保單，當(dāng)損失額大于1000時，超過1000的平均損失額為500。

保險人假設(shè)損失服從［0,C］的均勻分布，其中01000。求C。

解答：若損失X服從［0,C］的均勻分布，則條件密度

/(x)

f(x|X>1000)=-----———=l/(c-1000),(1000<x<C),這說

P[X>100J(c-1000)/C

C-1000令中二5。。可得

明條件密度是［0,01000］上的均勻分布，均值為

2

02000.

18、2019年的損失服從a=2和6=5的帕雷托分布。2020年損失比2019年總體上升20%。一

份保單免賠額為10o求2010年的損失消失率LERo

解答：設(shè)X為2009年的損失隨機變量，則2010年損失為1.2X。2010年的

IN1.2￡[XA-]￡[XA-]

LER=E[LO2VX/U0]=1.2=L2

,￡[%]=—=5,

E[1.2X]1.2￡[X]E[X]2-1

EfXA—1=-^-—)2-1]=3.125.因此LER=3.125/5=0.625.

1.22-110「

1.2

19、損失X服從帕雷托分布，參數(shù)a=2,。未知。

已知：E[X-100|X>100]=|￡[%-50|X>50]；求￡[X-150|X>150]。

解答：帕雷托分布為F(x)=l-f—1_和目x]=一豈，

U+(?JU+6?Ja-1

f\

以及譏XAC]=——,因為a=2。

a-\

因此

E[X]-E[XAIOO][16+100J

…OIX"空瑞1

I-F(IOO)"(eV

1/9+100J

，最后化簡為100+6。同理，￡[X—50|X>50]=50+8。由已知條件100+6=(5/3)

(50+6),因此6=25?！闧X-150|X〉150]=150+25=175。

20、一份保單對損失額X的免賠額為40。保單還有以下條件：若損失位于區(qū)間(40,60],則

賠償40以上的部分；若損失在(60,80],賠償20加上超過60部分的75機若損失超過80,

則賠償35。假設(shè)均勻分布X服從U[0,100],求一個合適的“，用E[X]和E[XA〃]表示賠付

額。

0X<40

X—4040<X<600XV40

解答：由題知丫'=<(X—40)+={

20+0.75(%-60)60<X<80+X-40X>40

35X〉80

對于X<60成立。如果我們減去0.25(X-60)+,

0X<40

有(*一40)+—0.25(乂-60)+=?X—4040<X<60

(X-40)-0.25(X-60)=20+0.75(X-60)X>60

如果減去0.75(X—8())+,我們有

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

0X<40

X-4040<X<60

這就是賠付額

20+0.75(%-60)60<X<80

20+0.75(X—60)—0.75(X-80)=35X>80

因此

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

=X—(X△40)—0.25[X-(XA60)]-0.75[X—(XA80)]

=0.75(XA80)+0.25(XA60)-(XA40)

第三章習(xí)題答案

1、0.4695

2、0.29

3、0.938

4、〃=2,尸=1.536的負二項分布

5、0.449

6、0.0165B-L平均來說，每六十年會出現(xiàn)一年中有4張或以上的保單會發(fā)生損失

60

7、7

8、2.4

9、90(E⑸=30,Var(S)=60)

11、0.26412

12、5/3

第三章習(xí)題解答

1、已知lp(O<p<l),N服從幾何分布，且P(N=O)=p,如果P服從［0.5,0.9］上的均勻分

布，求E(N)。

解答：幾何分布的均值滿足E(N)=V=匕"，其中p服從U[O.5,0.9]

PP

則E(N)=「：7x-^dp=3x(Inp—p琛=0.4695

2、對于一個離散分布，有如下特征：

(1)〃￡=C(1+7)0T#=1,2,3...

K

(2)〃()=0.5

求Co

解答：已知'=c(l+■!■)?=1,2,3…即對于(。功,0)分布滿足2=＞工0,可判斷分布為

Pk-\k

負二項分布，a---,b-―—皿，且a=b,則r=2

1+41+0

Po=(1+夕)-2=0.5,解得￡=0.414,c=-^―=0.29

3、假設(shè)經(jīng)過旅館的汽車的數(shù)量服從泊松分布，每個小時有20輛汽車經(jīng)過旅館，其中30%是

卡車，請計算從下午12點到下午1點間至少有3輛卡車經(jīng)過旅館的概率。

解答：經(jīng)過旅館卡車數(shù)滿足參數(shù)為入=20*0.3=6的泊松分布滿足

乃

Pk=P(N=K)=e"—,k=1,2,3…,2>0

k!

則，在一個小時內(nèi)至少三輛卡車經(jīng)過旅館的概率為

P=P(NZ3)=l-P(N=0)—P(N=l)-P(N=2)=l-eF-e-6xi-eFx王

=0.938

4、假設(shè)某險種的損失X服從帕雷托分布，。=3,8=1()0()即/(刈=上出］。若保單

(x+1000)

規(guī)定免賠額為250元。假設(shè)損失次數(shù)N服從負二項分布，r=2,4=3,求理賠次數(shù)的

分布。

100()3

解答：設(shè)理賠次數(shù)為N*。由已知損失額X的分布函數(shù)為尸（x）=l-

(x+1000)3

因此索賠的概率為y=P（X>250）=0.512。

則N*的分布為，舄（）={1_3[[1+0.512（-1）[-1『=[1_1.536（-1）「

由上可知，理賠次數(shù)服從r=2,4=1.536的負二項分布。

5、一群人被等分為兩個等級的駕駛員。每個駕駛員發(fā)生事故的次數(shù)服從泊松分布。對于等

級一的駕駛員，期望事故次數(shù)服從U[0.2,1],對于等級二的駕駛員，期望事故次數(shù)服從

U[0.4,2],從這群人里隨機抽取一人，求這個人發(fā)生事故次數(shù)為0的概率。

解答：P[N=0]=P[N=01等級一]XP[等級一]+P[N=01等級二]XP[等級二]

P[N=01等級一]=J；P[N=01等級一,0力(2)4/1=J：e"點〃1