江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題匯總1

1、2010年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(本科二級(jí))一填空題(每題4分，共32分). sin x sin(sinx). limx 0 sin xln(x .1 x2)/y -2， y xy cos2 x, y(n)(x) x x .-2-e dx x TOC o 1-5 h z .2 ：一4 dx 2 1 x- 2x 2y z 2 0, t.圓 222的面積為x y z 4x 2y 2z 19. z f(2x y,1), f 可微，1(3,2) 2/2/(3,2) 3,則 dz (2,i).級(jí)數(shù) 1 (Un!的和為. n 12 n!.(10分). bb設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且b f (x)dx x

2、f(x)dx ,求證：存在點(diǎn) a,b ,使 aa得 f(x)dx 0. a.(10分)已知正方體ABCD A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2, E為DiCi的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形BCGB的中點(diǎn)，(1)試求過(guò)點(diǎn)Ai,E,F的平面與底面ABCD所成二面角的值。(2)試求過(guò)點(diǎn)A,E,F的平面截正方體所得到的截面的面積.四(12分)已知ABCD是等腰梯形，BC/AD, AB BC CD 8,求AB,BC,AD的長(zhǎng)，使得梯形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。五(12 分)求二重積分coS2 x sin2 y dxdy,其中 D : x2 y2 1,x 0, y 0六、（12分）求x 2y ex dx x 1

3、y dy ,其中為曲線 2 xx20 x 12y2 2x 1 x 2從 O 0,0 到 A 1, 1七.（12分）已知數(shù)列 為單調(diào)增加，a1 1,a220 5,L a 1 3a0% 11n 2,3,L ，記xn ,判別級(jí)數(shù)xn的斂散性.ann 12010年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科三級(jí)）一填空題(每題4分，共32分)/ , sinx sin(sinx)lim x 0 sin x2 x ,/y arctan x e tanx , y 設(shè)由xy yx確定y y x ,則包 dx/2(n).y cos x, y (x) 5.x .e dx . z f(2x y,-), f 可微，(3,2) 2,f

4、2/(3,2) 3,則 dz (2,1) y設(shè) f u,v 可微，由 F x z2,y z20確定 z z x, y ,則-z x y.設(shè) D : x2 y2 2x, y 0 ,貝U 辰y(tǒng)7dxdy D.(10分)設(shè)a為正常數(shù)，使得x2 eax對(duì)一切正數(shù)x成立，求常數(shù)a的最小值11.(10分)設(shè)f x在0,1上連續(xù)，且0f(x)dx 0 xf(x)dx,求證：存在點(diǎn)0,1 ,使得 0 f(x)dx 0. 1.(12分)求廣義積分 4 dx2 1 x4五.（12分）過(guò)原點(diǎn)0,0作曲線ylnx的切線，求該切線、曲線y lnx與x軸所圍成的圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積 六、（12 分）已知

5、ABCD 是等腰梯形，BC/AD, AB BC CD 8,求 AB,BC,AD的長(zhǎng)，使得梯形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。七（12 分）求二重積分coJ x sin2 y dxdy,其中 D : x2 y2 1,x 0, y 0D2008年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題（本科一級(jí)）一.填空題（每題5分，共40分）7 ax+ 2|xp1. a =, b =時(shí)，lim: arctanx=x bx- x22. a =x時(shí) f(x)=ln(1- ax)+在 x? 0時(shí)1+ bx關(guān)于x的無(wú)窮小的階數(shù)最高p. 2 sin2x cos4 xdx = .通過(guò)點(diǎn)（1,1,- 1）與直線x=t,y= 2,z= 2+t

6、的平面方程為2x?nz5.設(shè)z 二一貝” z2 ,人c n (2,1)y ?y.設(shè) 口為丫 = x,x= 0, y = 1 圍成區(qū)域，貝U 蝌 arctanydxdy=D.設(shè)G為 x2+ y2 = 2x(y? 0)上從 O(0,0)到 A(2,0)的一段弧，則xxq（ye + x）dx+ （e - xy）dy =.幕級(jí)數(shù)？ nxn的和函數(shù)為,收斂域?yàn)椤?n= 1二.（8 分）設(shè)數(shù)歹I%為 X =向,x2 = J3- T3,L ,xn+2 = /3- 53+ 4 （n = 1,2,L ）證明：數(shù)列2收斂，并求其極限（8分）設(shè)f（x）在a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證max f (x) ? a #x

7、b1 b- ab蝌 f (x)dxbf /(x) dx a四.(8 分)1)證明曲面 S : x = (b + a cosq)cosj , y = asinq, z = (b+ acosq)sin j(0#q 2P,0 #j 2P)(0 a b)為旋轉(zhuǎn)曲面 2)求旋轉(zhuǎn)曲面S所圍成立體的體積五.(10分)函數(shù)u(x,y)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，算子 A定義為A(u) = x1)求A(u- A(u) ； 2)利用結(jié)論1)以乂= Y,h= x- y為新的自變量改變方程 xx2 ?+2xyC+y揀x肉2 22?4= 0的形式 y、人 1k.(8%)求t?m+vtxsin(xy)2 dy七.(9分)設(shè)S

8、: x2 + y2 + z2 = 1(z ? 0)的外側(cè)，連續(xù)函數(shù)f(x,y)= 2(x-y)2 + 蝌x(z2 + ez)dydz+ y(z2 + ez)dzdx+ (zf(x,y)- 2ez)dxdyS求 f(x,y)八.(9分)求f (x) =x2(x- 3) 的關(guān)于x的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式(x- 1)3(1- 3x)2006年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(本科一、二級(jí))1.填空(每題5分，共40分).x1.f x a , lim ln f 1 f 2 L f n2.3.x 1tx lim f e x 0 0 x51 arctan x , 2dx02 21 x1 dt4.已知點(diǎn)A 4,0,0 ,B(0

9、, 2,0),C(0,0,2) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四面體 OABC的內(nèi)接球面方程為. 設(shè)由 x zey z確定 z z(x, y), 則 dz e,0 .函數(shù) f x,y e x ax b y2 中常數(shù) a,b滿足條件 時(shí)，f 1,0為其極大值.設(shè) 是y asinx（a 0）上從點(diǎn)0,0至ij ,0的一段曲線，a 時(shí)，曲 2線積分 x y dx 2xy ey dy取取大值.級(jí)數(shù)1 n 1 彳 而 條件收斂時(shí)，常數(shù)p的取值范圍是n 1np.（10分）某人由甲地開(kāi)汽車出發(fā)，沿直線行駛，經(jīng)2小時(shí)到達(dá)乙地停止，一路暢通，若開(kāi)車的最大速度為100公里/小時(shí)，求證：該汽車在行駛途中加速度 的變化率的最小

10、值不大于 200公里/小時(shí)3.（10分）曲線 的極坐標(biāo)方程為1 cos 0,求該曲線在所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線L的直角坐標(biāo)方程，并求切線L與x軸圍成圖形的面積.四（8分）設(shè)f（x）在 ，上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，f x f x 1 ,求證：f x 1.x,五（12分）本科一級(jí)考生做：設(shè)錐面z2 3x2 3y2（z 0）被平面x 如z 4 0截 下的有限部分為.（1）求曲面 的面積；（2）用薄鐵片制作的模型，A（2,0, 2向），B（ 1,0, J3）為 上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，將 沿線段OB剪開(kāi)并展成平 面圖形D ,以O(shè)A方向?yàn)闃O坐標(biāo)軸建立平面極坐標(biāo)系，寫出 D的邊界的極坐標(biāo)方 程.本科二級(jí)考生做：設(shè)圓柱面

11、x2 y2 1（z 0）被柱面z x2 2x 2截下的有限部 分為.為計(jì)算曲面 的面積，用薄鐵片制作 的模型，A（1,0,5）, B（ 1,0,1）,C 1,0,0為 上的三點(diǎn)，將 沿線段BC剪開(kāi)并展成平面圖形D,建立平面在極坐標(biāo)系，使 D位于x軸正上方，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,5，寫出D的 邊界的方程，并求D的面積.x2 2z六（10分）曲線2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面與z 1,z 2所圍成的立體區(qū)域記為1本科一級(jí)考生做22 dxdydzx y z本科二級(jí)考生做x2 y2 z2 dxdydz七（10分）本科一級(jí)考生做1）設(shè)幕級(jí)數(shù)an2xn的收斂域?yàn)?,1 ,求證幕級(jí)n 1數(shù) anxn的收斂域也為 1,

12、1 ; 2）試問(wèn)命題1）的逆命題是否正確，若正確給 n 1 n出證明；若不正確舉一反例說(shuō)明.本科二級(jí)考生做：求幕級(jí)數(shù) ：x 1 2n的收斂域與和函數(shù)n 1 2n2006年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科三級(jí)、民辦本科）.填空（每題5分，共40分） TOC o 1-5 h z ，221.lim 2 L nlim 3 .23 c2L 32n n 1 n 2 n nx 1t2lim 3 e 1 dtx 0 0 x3lim 4x2 3x 2 ax b 0,貝Ua,b x42 sin x.f x 1 x x e , f 0 . 設(shè)由 x zey z確定 z z(x, y), 則 dz e,0 .函數(shù)f x,

13、y e x ax b y2中常數(shù)a,b滿足條件 時(shí)，f 1,0為其極大值.2ex e7.交換二次積分的次序dx 1 f x, y dy . x218.設(shè) D: 2x x y ,0 y x 2 ,dxdy d x2 y2ax2 bsin x c x 0一.(8分)設(shè)f x,試問(wèn)a,b,c為何值時(shí)，f x在x 0ln 1 x x 0處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但二階導(dǎo)數(shù)不存在（9分）過(guò)點(diǎn)1,5作曲線：y x3的切線L , （1）求L的方程；（2）求 與L 所圍成平面圖形D的面積；（3）求圖形D的x 0部分繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體四（8分）設(shè)f（x）在的體積.上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，f 00, f x f x 1,求

14、證：f x ex 1.x 0,五（8分）求1 arctanxdx TOC o 1-5 h z x y 322六（9分）本科三級(jí)做：設(shè)f x, yytan x y x, y0,0 x y0 x, y0,0證明f x, y在點(diǎn)0,0處可微，并求df x,y 0,02x 2截下的有限部分為民辦本科做：設(shè)圓柱面x lim sin x y2 1（z 0）被柱面z x2為計(jì)算曲面的面積，用薄鐵片制作 的模型，A（1,0,5）, B（ 1,0,1）,C 1,0,0為上的三點(diǎn)，將 沿線段BC剪開(kāi)并展成平面圖形D ,建立平面在極坐標(biāo)系，使D 位于x軸正上方，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,5 ,寫出D的邊界的方程，并求D的面積.

15、七（9分）本科一級(jí)考生做：用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)f x,y x2 V2xy 2y2在 區(qū)域x2 2y2 4上的最大值與最小值.八（9分）設(shè)D為y x,x , y 0所圍成的平面圖形，求 cos x y dxdy.2D2004年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科二級(jí)）一.填空（每題5分，共40分）f x是周期為 的奇函數(shù)，且在x 0處有定義，當(dāng)x 0,一 時(shí)，2f x sinx cosx 2,求當(dāng)x , 時(shí)，f x 的表達(dá)式. 22tan2x3. limnnn2 1nn2 4f x x In 1 x , n 2 時(shí) f n 0 ex 1 x2dxxx e6.7.設(shè) f x,y 可微，f 1,22, f

16、x 1,23, fy 1,24, x f x, f x,2x ,則 18.設(shè) f x g xx 0 x 10 其他f y f x y dxdy .D.（10分）設(shè)f x在a,b上連續(xù)，f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，f（a） a, TOC o 1-5 h z b1f x dx - b a ，求證： a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f f1a2.（10分）設(shè)D : y2 x2 4, y x,2 x y 4 ,在D的邊界y x上任取點(diǎn)P,設(shè)P到原點(diǎn)距離為t ,作PQ垂直于y x ,交D的邊界y2 x2 4于Q 1）試將P,Q的距離PQ表示為t的函數(shù);2）求D饒y x旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積四（10分）已知點(diǎn)P（1,

17、0,- 1）,Q（3,1,2）,在平面x- 2y+z=12上求一點(diǎn)M ,使PM + MQ最小五（10分）求幕級(jí)數(shù) 1xn的收斂域n 1 n 3n2 n六（10 分）設(shè) f x,y 可微，f 1,22,fx 1,22, fy 1,2 3,f f x,2x ,2f x,2x ,求 1-2c2七（10分）求二次積分0 d1 e d22004年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科三級(jí)）一.填空（每題5分，共40分）f x是周期為的奇函數(shù)，且在x 0處有定義，當(dāng)x 0,- 時(shí),2f x sinx cosx 2,求當(dāng)x , 時(shí)，f x的表達(dá)式.2x 0時(shí)，x sinx cosx與cxk為等價(jià)無(wú)窮小，則c ,2ta

18、n xlim sin x4. limnnn2 1nn2 46.7.8.設(shè) f x g x其他5. f xx2 ln 1 x , n 2 時(shí) f n 0 ex 1 x 2dxxx ex .z arctan , dz 1 1 yf y f x y dxdy .D二.（10分）設(shè)f x在a,b上連續(xù)，f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，f （a） a,b1f x dx - b a ,求證： a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f f 1a2（10分）設(shè)D : y2 x2 4, y x,2 x y 4 ,在D的邊界y x上任取點(diǎn)P,設(shè)P到原點(diǎn)距離為t ,作PQ垂直于y x ,交D的邊界y2 x2 4于Q 1）試將P,Q的距離

19、PQ表示為t的函數(shù);2）求D饒y x旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積四（10分）設(shè)f x在 ,上有定義，f x在x 0處連續(xù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x,x2有f Xi X2f xif x2 ,求證：f x在 , 上處處連續(xù)。1五（10分）上k為常數(shù)，萬(wàn)程kx1 0在0,恰有一個(gè)根，求k的取值范x圍。六（10分）已知點(diǎn)P（1,0,- 1）,Q（3,1,2）,在平面x- 2y+z=12上求一點(diǎn)M ,使PM + MQ最小七（10分）求幕級(jí)數(shù)一222一xn的收斂域n 1 n 3n 2n2002年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科二級(jí)）.填空（每題5分，共40分）x/x. e e1. limkc c 0 ,貝U kx 0 xk2

20、.設(shè)f x在1,A.若 lim f x xB.若 lim f x xC.若 lim f x x3.設(shè)由e y x y上可導(dǎo)，下列結(jié)論成立的是0 ,則f x在1,0 ,則f x在1,1,則f x在1,x 1 x確定y上有界上無(wú)界上無(wú)界y（x）,則 y 04. arcsinx arccosx dx 22.曲線Z x2 y ,在點(diǎn)1,1,2的切線的參數(shù)方程為x y 2y.設(shè)z f ygex,siny , f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x 則/ x y13 x7.交換二次積分的次序 0 dx x2 f x, y dy .8.幕級(jí)數(shù)1 2 L 1 xn的收斂域n 12 n（8分）設(shè)f x在0,上

21、連續(xù)，單調(diào)減少，0 a b,ba求證 a f (x)dx b f (x)dx.（8分）設(shè)f x在a, b上連續(xù),bf(x)dxab,f (x)exdx 0 ,求證：f x 在aa,b內(nèi)至少存在兩個(gè)零點(diǎn).四.（8分）求直線x_y 三繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程，求求該曲面 211與 y 0, y2所包圍的立體的體積.五.（9分）設(shè)k為常數(shù)，試判斷級(jí)數(shù)n1k kn 2 n in n2的斂散性，何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散?六.（9分）設(shè)f x, yyarctan-j=22x, y0,0討論f x, y在點(diǎn)0,0處x, y0,0連續(xù)性，可偏導(dǎo)性？可微性.七.（9分）設(shè)f u在u 0可導(dǎo)，f0

22、,z22tz,八.（9分）設(shè)曲線AB的極坐標(biāo)方程為cos一,一質(zhì)點(diǎn)P在力2irF作用下7&曲線AB從A 0, 1運(yùn)動(dòng)到B0,1的大小等于P到定點(diǎn)M 3,4ur的距離，其方向垂直于線段MP ,且與y軸正向的夾角為銳角，求力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)P做得功.2002年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科三級(jí)）一.填空（每題5分，共40分）1. lim2.設(shè)f x在1, 上可導(dǎo),， c _卜列結(jié)論成立的是A.若 lim f x 0 ,則 f XB.若 lim f x 0 ,則 f xC.若 lim f x 1,則 f x3.設(shè)由 e y x y x 1x在1,上有界x在1,上無(wú)界x在1,上無(wú)界x確定yy（x）,則y 04.

23、 arcsinx arccosx dx6.設(shè)z f y gex,siny , f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), x2則x y3 x. 交換二次積分的次序 odx x2 f x, y dy .函數(shù)f x,y 2x y 1滿足方程x2 y25的條件的極大值為 極小值為.（8分）設(shè)f x在0,上連續(xù)，單調(diào)減少，0 a b,、 ba求證 a f （x）dx b f （x）dx.（8分）設(shè)f x kx sin x , 1）若k 1 ,求證f x在 ，上恰有一個(gè)零點(diǎn)；2）若k 0,且f x在 ，上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍.（8 分）求 ex1 sinxdx 01 cos x五.（9分）設(shè)f

24、x, y1 yarctan22x, yx, y0,0討論f x, y在點(diǎn)0,00,0連續(xù)性，可偏導(dǎo)性？可微性六.（8 分）設(shè) z f x,y , xy , f的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)， y求全導(dǎo)數(shù)d2zdx2七.（9分）設(shè)f u在u 0可導(dǎo)，f 0_ _22_一0,D : x y 2tx,y 0 ,求 lim J fx2 y2 ydxdyt 0 t-D八.（9 分）求 sin x y dxdy, D ： x 0, y 0, x yD2000年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科二級(jí)）.填空（每題3分，共15分）.1.設(shè) f xxx|x|，貝U f f x x2.x x limx lim ln x x 1

25、.已知色f x2。，則f x dxx14.-4dx x5 15.設(shè)z z x,y由方程F -y,-0確定（F為任意可微函數(shù)）x x貝 U x -z y x y二選擇題（每題3分，共15分）1 TOC o 1-5 h z ,一、，2x 1, 一.對(duì)于函數(shù)y -1，點(diǎn)x 0是（）2x 1A.連續(xù)點(diǎn)；B.第一類間斷點(diǎn)；C.第二類間斷點(diǎn)；D可去間斷點(diǎn)、，2.已知函數(shù)y f x對(duì)一切x滿足xf x 3x f x 1 e ,右f x00（xo 0）,則（）A. f x0是f x的極大值；B. x0, f x0是曲線y f x的拐點(diǎn);C. f x是f x的極小值；Df %不是f x的極值，x, f x0也不

26、是曲線y f x的拐點(diǎn)3.limx（A.等于1; B.等于0; C.等于1; D不存在，但也不是x0,y0 xv都存在，則 x0,y0f x,y 在 %,y。A.極限存在，但不一定連續(xù);B.極限存在且連續(xù);C.沿任意方向的方向?qū)?shù)存在;D 極限不一定存在，也不一定連續(xù)5.設(shè)為常數(shù),則級(jí)數(shù)sin n2 n 1 n1nA.絕對(duì)收斂B.條件收斂;C.發(fā)散;收斂性與取值有關(guān)（6分）（6分）已知函數(shù)yy（x）由參數(shù)方程xyt（1te yt） 0 十確止，求1 0d1 2y dx2（6分）設(shè) f x ,g x在a,b上連續(xù)，在 a,b內(nèi)可導(dǎo)且對(duì)于a,b 一切x均有0,證明若f x在a,b內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則g

27、 x至少存在一個(gè)介于這兩個(gè)零點(diǎn)之間的零點(diǎn)六（6分）設(shè)f x1 x11 ex、2，求 f x 1 dx o 0e” sin v ,求, x y0七（6 分）已知 z uv , x eu cosv, y八（8分）過(guò)拋物線y x2上一點(diǎn)a,a2作切線，問(wèn)a為何值時(shí)所作的切線與拋物線y x2 4x 1所圍成的平面圖形面積最小九（8分）求級(jí)數(shù) n x 1 n的收斂域及和函數(shù). n 1十（8分）設(shè)f x在a,b上連續(xù)且大于零，利用二重積分證明不等式:bb 12f x dx dx b aaa f x十一（8分）計(jì)算曲線積分I l x4 4xy3 dx 6x2y2 5y4 dy ,其中L為曲線21y21 x 3上點(diǎn)A（ 2, 1）沿逆時(shí)針?lè)较虻皆撉€上點(diǎn)B 3,0的一段曲線。5十二（8分）計(jì)算曲面積分4zxdydz 2zydzdx 1 z2 dxdy,其中 為曲面z ey（0 y a）繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面之下側(cè)2000年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科三級(jí)）一.填空（每題3分，共15分）d11.已知2 f x2,，