江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018-2019 學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題、單選題1. 在平行四邊形uurA AC【答案】 Auur uuLr 心.ABCD 中，AB AD等于（ uurB-CAuuurC BDuuuD. DB【解析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則求解即可uur uuu uuir因?yàn)锳BCDJ平仃四邊形，故ab AD AC .故選： A【點(diǎn)睛】 TOC o 1-5 h z 本題主要考查了向量的平行四邊形法則 . 屬于基礎(chǔ)題. 復(fù)數(shù) z 3 2i （ i 是虛數(shù)單位）的虛部是（ ）A. 2iB. 2iC. -2D. 3【答案】 C【解析】根據(jù)虛部的定義直接判定即可.【詳解】根據(jù)虛部的概念可知復(fù)數(shù)z

2、 3 2i 的虛部是 2 .故選： C【點(diǎn)睛】 TOC o 1-5 h z 本題主要考查了虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.在 ABC 中， AC 3, AB 1, A 120 , 則 BC 的長(zhǎng)度為（ ）A. ,7B. ,10C. ,13D. 4【答案】 C【解析】根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】根據(jù)余弦定理有BC2 AC2 AB2 2AC AB cos A 9 12 3-13.2故選： C本題主要考查了余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題4 . 下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是（A. 若 a b,cd, 貝 Ua c b d;B. 若 ab 0, cd 0, 則ac bd;C.若a b，則 % a誣;D.若 a b，貝

3、U a【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判定或舉反例即可【詳解】對(duì)A,因?yàn)閍b,cd,故c d ,故acbd成立.故A正確.對(duì)B,因?yàn)閍 b 0 , c d 0 ,故c d 0 , 故 ac bd , 故 ac bd 成立 . 故 B 正確 .對(duì) C, 因?yàn)?y 沃 為增函數(shù)，故若a b,則指汴成立.故C正確.對(duì)D,舉出反例，當(dāng)a 1,b2 時(shí)滿足 a b ,b 不成立 . 故 D 錯(cuò)誤 .故選： D本題主要考查了不等式的性質(zhì), 屬于基礎(chǔ)題5. 已知的最小值是（A. 1B.C.D. 5配湊出基本不等式求解即可1,故x 1 0，故 x 4x 11 2. x1 x 411 3.當(dāng)且僅當(dāng)3.故選： B本題

4、主要考查了基本不等式的運(yùn)用, 屬于基礎(chǔ)題 .uuu6. 已知向量 ABuur2,0 , ACi,J3 , 則向量uuu. uurBC 與 AC的夾角為（A. 一6B. 一3【解析】根據(jù)向量的夾角公式求解即可【詳解】uuir uuur因?yàn)锽C uuu3, 73uuu j uur 工、.故向重BC與AC的夾角滿足cosuur uurACBC AC,9 3 J 3故選:本題主要考查了利用向量坐標(biāo)求解向量夾角的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.-27.不等式x6的解集為（A. RB. 2,3C.3,2D. 1,6根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求解即可6 x22.3故選:本題主要考查了絕對(duì)值不等式與二次不等式的求解.屬于基礎(chǔ)題A

5、 相距 120km ,8.如圖，有四座城市 A B、C D,其中B在A的正東方向，且與D在A的北偏東30o方向，且與 A相距60kn C在B的北偏東30。方向，且與B相距C飛行，飛行了15min ,60而km , 一架飛機(jī)從城市 D出發(fā)以360km/ h的速度向城市接到命令改變航向，飛向城市B ,此時(shí)飛機(jī)距離城市B有（ABA. 120kmB. 60.6kmC. 60、5kmD. 60.3km【解析】 先判斷三角形DAB為直角三角形，求出 BD然后推出 CBD?直角，可得CD,進(jìn)一步可得cos BDF ,最后在三角形ED并用余弦定理可得 BF .【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連DE設(shè)飛機(jī)飛行了 15分

6、鐘到達(dá)F點(diǎn)，連BE如圖所示：則BF即 為所求.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，且AB 120kmi所以AE 60km又DAE 60,AD 60km所以三角形DAa等邊三角形，所以DE 60km ADE 6。，在等腰三角形EDEfr, DEB 120 ,所以EDB EBD 30 ,所以 ADB 90 ,由勾股定理得 BD A甘AD21202 60210800BD 60、，3km90 ,CBE 90 30 120 , EBD 30 ,所以 CBDCDBD BC 10800 60 2 13 240BD 60 3.3所以c s BDCCD 240因?yàn)?DF 360 90km, 4所以在三角形BDF中,BP BD2

7、 DF2 2 BDgDF c s BDF (60 3) 2 902 2609010800,所以 BF 60 J3 km故一架飛機(jī)從城市 D出發(fā)以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了 15min ,接到命令改變航向，飛向城市 B,此時(shí)飛機(jī)距離城市 B有60j3km.故選 D .【點(diǎn)睛】本題考查了利用余弦定理解斜三角形 ，屬于中檔題 .、填空題9. 已知 A 6,2 , B2，4 ， 若 AC CB， 則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為2, 1設(shè) C x,y 再根據(jù) uur uuuAC CB計(jì)算即可.設(shè) C x, yuuurACuurx 6,y 22 x, 4 yCBC 2, 1故答案為： 2, 1本題主要考

8、查了利用向量求解點(diǎn)的坐標(biāo) ，屬于基礎(chǔ)題. 命題“ x R, x 3 2 0” 的否定是【答案】 x R,x 3 2 0【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題寫(xiě)出即可.【詳解】命題“ x R , x3 2 0 ” 的否定是“ x R, x 3 2 0故答案為： x R,x 3 2 0【點(diǎn)睛】本題主要考查了特稱(chēng)命題的否定 ，屬于基礎(chǔ)題. 已知復(fù)數(shù) 3m 2 m 1 i （ i 是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限, 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】 2,13【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)列式求解即可2 m 1 i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限因?yàn)閺?fù)數(shù) 3m2故答案為： 2,13

9、本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題12. 在 ABC 中， A12, 則a+b+c _ sinA+sin B +sin C8x3 【解析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】設(shè)ABC7卜接圓半徑為R則根據(jù)正弦定理有a +b+c2R( sin A+sin B+sinC )sin A+sin B + sinC ( ) =2Rsin A+sin B + sinCa 122= =12? 一 8 3sinA33故答案為 ： 8,3【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用 ，屬于基礎(chǔ)題.r13. 與向量 a 6,8 方向相同的單位向量的坐標(biāo)是3 4 【答案】 3, 45 5 r【解析】先求解向量a 6,8 的模

10、長(zhǎng)，再根據(jù)同向單位向量的公式求解即可因?yàn)?a J62 8 2 10 , 故與向量 a 6,8 方向相同的單位向量坐標(biāo)是r a 3 4十 一，一 .a 5 5【詳解】.3 4故答案為：3,25 5【點(diǎn)睛】本題主要考查了同向單位向量的求解，屬于基礎(chǔ)題.214 .已知f X x tx 9,若對(duì)任意x 1,5 ,不等式f X 。恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為.【答案】6 TOC o 1-5 h z 99一【解析】參變分離可得t x 一,再根據(jù)基本不等式求 x 一在區(qū)間x 1,5上的最小xx值即可.【詳解】29因?yàn)閒 x 0恒成立，即x tx 9 0 t x-,又x 1,5 ,故x9 I9x - 2. x

11、- 6X V X、，一一，.9.當(dāng)且僅當(dāng)x 一,即x 3時(shí)等號(hào)成立.故t 6 ,所以實(shí)數(shù)t的最大值為6. x故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)恒成立中求解參數(shù)最值的問(wèn)題,需要參變分離用基本不等式求解屬于基礎(chǔ)題.r1r廣r.已知向量a ,湎足a,bJ3,1 Mb【解析】將娓兩邊平方,再求 r r .一，、1的平萬(wàn)，消去a b的項(xiàng)再代入1即可.r因?yàn)閍一,r2所以a +2 a回所以a2r2a2),32 +r2r b 3, 1b6，又ar 2+有2a222b 10r2 b1 4,故 b 2 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的計(jì)算等.在遇到有和差等的模長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常平方模長(zhǎng)進(jìn)行運(yùn)算，屬于基

12、礎(chǔ)題.已知向量a表示“向正東方向走10米”，向量b表示“向東偏南45方向走5米”， rr rr向量c表示向正北方向走 20米，用向量a , b表示向量c . r -r【答案】2a 4.2 b【解析】畫(huà)圖根據(jù)向量的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】如圖，過(guò)C的終點(diǎn)A作a的平行線AB交b的反向延長(zhǎng)線OB于B,易得OAB?直角二角形.且0A ABr unr uuu20, OB2072 .故 c OB BAr l 皿 uur r l rl /c -uur r又 b 5,故 084x/2b, a 10,故 8 人 2a.r uuu uur r故 c OB BA 2a故答案為：2a 4.2b本題主要考查了平面向量

13、的線性運(yùn)算方法，需要畫(huà)圖利用幾何知識(shí)構(gòu)造三角形進(jìn)行求解屬于基礎(chǔ)題三、解答題17 .已知復(fù)數(shù)z滿足1 2i z 4 3i （i是虛數(shù)單位）求：（1） z ;【解析】(1)易得z4 3i,再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可(2)由(1)分別求得z2,Z再計(jì)算z2 Z求模長(zhǎng)即可.由題Z4 3i 4 3i 1 2i1 2i 1 2i 12i10 5i由z 2 i ,故z2 z1 2i125 2.26.1 5i ,故,26本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與模長(zhǎng)的計(jì)算等.屬于基礎(chǔ)題B 4,1 ,點(diǎn)C在直線x 1上.18.如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中， A 1,4(1)求向量AB的坐標(biāo);C點(diǎn)的坐標(biāo)；C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo).若A

14、, B , C 三點(diǎn)共線，求(3)若四邊形ABCDS矩形，求【答案】(1)3, 3 ; (2) C 1,6C 1,4 , D 4, 1【解析】(1)根據(jù)向量坐標(biāo)的計(jì)算求解即可(2)設(shè)C 1,C再根據(jù)三點(diǎn)共線列式求解即可(3)根據(jù)四邊形 ABCO矩形可知ABBC即可求得C再設(shè)D x,y根據(jù)uuii uuurBA CD求解即可.41 ,1 43, 3uuu因?yàn)锳 1,4 , B 4,1 ,故ABuur uuur設(shè)C 1,c ，因?yàn)锳 B, C三點(diǎn)共線，故AB AC, R,即3, 32,c 432, 故 C 1,6c 61,c,因?yàn)樗倪呅蜛BCD矩形，故ABuurBC, 即3, 3 5,c 10,解

15、得 c 4 , 故 C 1, 4設(shè) D x, y , 則因?yàn)?BA uuD ,所以 3,3x 1,y 4 ，解得 x 4, y 1 . 故D 4, 1所以 C 1, 4 , D 4, 1本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ，屬于基礎(chǔ)題19. (1) 已知 x, y R , 證明： 2 x4 y4(2) 已知正實(shí)數(shù) x , y 滿足 x y【答案】 (1) 證明見(jiàn)解析； (2)198, 口的最小值y利用作差法證明即可化簡(jiǎn)x-2 y 8利用x yx y1 構(gòu)造基本不等式證明即可2證明：因?yàn)? x4 y 42 2故 2 x4 y42442 2 22x y x y 2x y x y 0因?yàn)?x y 1, 所

16、以 x2y 8xx y118x2y 8x1 2 J19, 當(dāng)且僅當(dāng) 一. x yx y12y 2x,x -, y 一時(shí)等號(hào)成立. HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 33故 x 2 或 8 的最小值為 19.【點(diǎn)睛】1的變換”方法.屬于中檔本題主要考查了利用作差法證明不等式以及基本不等式中題.20.在 ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，CD5, AC 5 J3(1)若ACD 30,求AD的長(zhǎng);(2)若BCA 120，且ABC勺面積是曳3,求ACD勺大小；4(3)若 CD BC , BD 2AD,求 AB 的長(zhǎng).【答案】(1) AD 5 ； (2

17、) ACD 90 或 30。； (3) AB 15【解析】(1)在ADC中利用余弦定理求解即可.(2)根據(jù)ABC的面積是75叵即可求得BC50 ,可得ABC為等腰三角形，故4CD BC可知52x,x即可.A 30，再在AD8利用正弦定理求解ADC,再求ACE可.設(shè)BD 2AD 2x再根據(jù)一 5 一cos CDB , cos CDA 2x再在ADC利用余弦定理求解(1)在 ADC 中，AD CACD 2cA CDaCD 2CA CD cos275 25 50 .3 -3即 AD2 25,解得 AD 5 .ABC勺面積是應(yīng)3,(2)因?yàn)椋?一 175,3故一 AC BC sin BCA24又 AC

18、 BC 5 囪，BCA 120 .故 ABC180 詈 3075 , 3 ,解得BC53.在 ADC有一 AC sin cd .AC sin CADsin CAD又 ADC 0,180,故 ADC 60 或 ADC 120ADC 60 時(shí)，ACD 18030 60ADC 120 時(shí)， ACD 1803012030ACD 90 或 ACD 30 .設(shè) BD 2AD 2x,因?yàn)?CDBC 故 cos5CDB,所以cos CDA2x在AD8有AC2aDCD2DA CDcos ADC,_2即 75 x 25 10 x52x2X 25,即 X 5.故 AB= 3x= 15本題主要考查了正余弦定理在解三角

19、形中的運(yùn)用 公式進(jìn)行求解.屬于中檔題.,需要根據(jù)題意分析邊角關(guān)系，進(jìn)而利 用ABCm, AB與 DC不平彳 T, E,F分別是邊AD , BC21 .如圖，在平面四邊形 的中點(diǎn).（1）已知uu ir EFuuirDCuuuAB ,求實(shí)數(shù)的值;已知 AB 4, CDuuir uuir6 , EF DC 24,求線段EF的長(zhǎng)度.【答案】（1）12,2；19【解析】（1）根據(jù)E , F分別是邊AD , BC的中點(diǎn)有ED uuruur卜兩個(gè)四邊形的向量關(guān)系表達(dá) EFr相加即可uur heiFB再用上uur 1 um 1 uuu 11r(2)由(1)有 EF -DC AB,再將 EFuuiruur uu

20、rDC 24利用DC, AB表達(dá)，進(jìn)而得出22uur uiruuir1 uuir 1 uiuuuirAB DC 12,再平萬(wàn) 即可.EF-DC = AB代入uurDC 12 與 ABAB4, CD 6求解【詳解】(1)因?yàn)镋, F分別是邊ADBC的中點(diǎn),故EDuuruurEA FCuurFBuur又EFuur uur uuuuurED DC CF EFuuu uuuEA ABuuuBF-,uur+可得2EFuuir uuu uuir DC AB 故EF1 uuir 1-DCuurAB .故uur(2)由(1)有 EF1 iur -DC 2uuu12AB故uUUirUUU r1 uurEF DC

21、 24 有 2dcuur UUTDC 24,1 UUT 故,DC2uuuur 2 iuruur又EFuur1 AB1DCirir24irnr48,又CDuur uuir6,故 AB DC 12uuu-uur-AB,故 EF1 UJITDC4uuu2 AB1 UJIT2 一 DC 4uur uur2DC ABuuur2uuur2即EF-3642 12 16 =19 ,故EF長(zhǎng)為J19 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算 用，屬于中檔題.,包括基底向量的用法以及向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的綜合運(yùn)22.某農(nóng)場(chǎng)有一塊等腰直角三角形的空地ABC其中余位1 BC的長(zhǎng)度為400米為迎接“五一”觀光游，欲在邊界 BC上選擇一點(diǎn)P ,修建觀賞小徑PM , PN，其中M ,N分別在邊界 AB, AC上，小徑PM , PN與邊界BC的夾角都為60 .區(qū)域PMB 和區(qū)域PN8種植郁金香，區(qū)域 AMPNJ種植月季花.(1)探究：觀賞小徑 PM與PN的長(zhǎng)度之和是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，三條小徑PM,PN,MM勺長(zhǎng)度和最?。浚?）求郁金香區(qū)域面積和的最小值【答案】（1） PMI與PN的長(zhǎng)度之和為定值400 73 1 ;（2）當(dāng)P點(diǎn)MNM中點(diǎn)位置時(shí)，三條小徑PM,PN,MN勺長(zhǎng)度和最小為600 33 1 ; 20000 3 .3【解析】（