2.1-概率及概率空間-PPT課件

1、12.1 概率的定義1.頻率 3 概率的性質(zhì)2 概率的定義2定義：隨機(jī)事件 : 在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí) 驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果；必然事件 : 在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記作 ；不可能事件 : 在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記作?；臼录?: 在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件； 隨 機(jī) 事 件P&S我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)返回主目錄1. 概率的概念310 包含關(guān)系 事件間的關(guān)系與運(yùn)算20 事件的并 30 事件的交 50 互不相容事件60 逆事件 SABP&S返回主目錄4SABP&S20 事件的并 30 事件的交SAB返回主目錄5SBSAP&S40

2、互不相容事件50 逆事件 A返回主目錄6隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律 交換律:P&S 結(jié)合律:分配律: 反演律（De Morgan定律）:返回主目錄72.1.1 頻 率 1. 隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分 投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大小令出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則B比A更容易出現(xiàn)。 2. 頻率的定義 定義 如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了nA次，則稱nA/n為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即fn(A) 頻率在某種意義反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小。 頻率的缺陷是其取之依賴于具體的試驗(yàn)。8 大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。3. 頻率具有穩(wěn)定性 例1 拋一枚硬幣,觀察

3、事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律。實(shí) 驗(yàn) 者NnHfn(H)蒲 豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120190.5005。 n無窮大 m/n穩(wěn)定值9頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的定義P&S返回主目錄104.頻率的性質(zhì)(1) 0fn (A)1; (2) fn () =1；(3) 若A1，A2，An 是兩兩互不相容的事件，則1.1.2 概率的定義 簡單說來，隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率，記作P(A)11 1. 概率的一般（公理化）定義 定義 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空

4、間，對(duì)于E的每一事件A對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，稱P(A)為事件A的概率，若P(A)滿足下列三個(gè)條件： (1) 0P(A)1; (2) P()=1； (3) 對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，有 以上三個(gè)條件分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列可加性。 利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。12性質(zhì)1因?yàn)橛煽闪锌杉有怨市再|(zhì)2 若A1，A2，An為兩兩互不相容的事件，則 由可列可加性有 2. 概率的性質(zhì)13則 P (BA) = P (B) P (A). 證明 由于 B =A(BA) 且 A . (BA) = , P(B) = P(A)+ P(BA),于是 P(BA) = P(B)P(A). 推論

5、1 (B-A)=P(B)-P(AB).推論2 若AB, 則P(B)P(A). 性質(zhì)3 設(shè)A，B是兩事件，若AB,AB14性質(zhì)4 對(duì)于任一事件A，有 因則有于是有15 性質(zhì)5 設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 證明 由右圖可知 A B=A (B - AB)且 由概率可加性及性質(zhì)得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）A(B - AB)=，ABB 推論1. P(AB ) P(A)+P(B). 推論2. 設(shè)隨機(jī)事件A1, A2, A3 , 則1A2A316推論3 設(shè)A1，A2，An 是 n 個(gè)隨機(jī)事件， 則17 例 1 設(shè)事

6、件A、B、AB的概率分別為p、q、r，求P（AB）,P（A ）， P（ B）， P（ ） 解 （1）因?yàn)镻（AB）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r（2）因?yàn)锳 =A-AB且ABA，故P（A 同理可求出P（ （3）因 = ，所以 18 1.適用的范圍廣； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一種檢驗(yàn)理論或假設(shè)正確與否的方法。概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)： 1.要確定某事件的概率，就必須進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，這在實(shí)際中難以辦到； 2.即使有條件大量實(shí)驗(yàn)也無法確切的指出何數(shù)為瀕率的穩(wěn)定值。返回主目錄古典概型概率統(tǒng)計(jì)定義的不足：19 當(dāng)涉及隨機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說

7、，我們需要設(shè)定一個(gè)框架來對(duì)偶然性和相應(yīng)概率進(jìn)行定義而不用擔(dān)心一致性問題。 概率的定義具有一致性，具有兩個(gè)條件：（1）（2）概率的一致性問題返回主目錄古典概型20在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)?？疾煊袟l件的隨機(jī)事件，即在一些信息已知的情況下，某一隨機(jī)現(xiàn)象的變化。例如，央行加息后股票價(jià)格或債券價(jià)格的漲落情況、國家的稅收政策發(fā)生變化后投資回報(bào)將如何變動(dòng)等等，都是典型的條件隨機(jī)現(xiàn)象，這就是我們?cè)诖藬M要考察的條件事件和條件概率問題。在后面有關(guān)鞅的定義和討論中，人們會(huì)看到條件概率和條件期望更多的作用。條件概率21在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)事件A的概率為 P(A/B)= P(AB) / P(B),

8、 P(B)0簡稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。其中，A/B表示條件事件。然而，上述公式并不全面，因?yàn)楫?dāng)事件B已知后，B的逆 也成為已知信息，人們自然也會(huì)關(guān)心在已知 情況下事件A的概率，即P(A / )。即使求出P(A / )，也仍存在美中不足的地方，因?yàn)樾畔⒌淖钔陚湫问绞谴鷶?shù)，所以只有在考察了由B與生成的代數(shù)(B )下事件A的概率后，才可能對(duì)B發(fā)生以后事件A發(fā)生的可能性有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)和了解。為此，需定義和計(jì)算P(A/(B )。22 2324設(shè)(, F,P)為概率空間，AF , BF，且P(B)0。利用公式P(A/B)= P(AB) / P(B)可知，PB=P(/B)是由事件B和概率測(cè)度P

9、誘導(dǎo)出來的、定義在可測(cè)空間(, F)上的概率測(cè)度，于是得到一個(gè)新的概率空間(, F,PB)。對(duì)(, F,PB)上的隨機(jī)變量關(guān)于概率測(cè)度PB求積分。若該積分存在，則稱此積分為已知事件B發(fā)生條件下的條件期望，記為E(|B)，即E(/B)= (w)dPB = P(dw/B) 條件期望 252.2 概率空間樣本空間的概念 我們知道：如果某個(gè)實(shí)驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，而且事前不能確定，我們就稱為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為事件；（2）不可能再分的事件稱為基本事件，常用只包含一個(gè)元素的單點(diǎn)集來表示；（3）由若干基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件，一般用包含若干個(gè)元素的

10、集合表示。所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱為樣本空間，記作；樣本空間中的每一個(gè)元素稱為樣本點(diǎn)。26樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集。樣本空間可以是一個(gè)離散的集合；如拋一枚硬幣，分別用1和2表示正面和反面的事件，則樣本空間=1, 2是由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的集合。樣本空間也可以是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間或空間?？疾?019年我國大學(xué)生的就業(yè)比率，其基本事件為0, 1區(qū)間中每一個(gè)有理數(shù)組成的集合，于是樣本空間可用區(qū)間0, 1中所有有理數(shù)組成的集合表示，是含有無限個(gè)樣本點(diǎn)的集合；考察某三支股票未來價(jià)格（分別設(shè)為p1，p2，p3）的變化情況，其基本事件為(p1，p2，p3)，其中p10，p20，p

11、30，于是樣本空間=( p1，p2，p3)|0 p1 +，0 p2 +，0 p3 +是一個(gè)含有無限點(diǎn)的連續(xù)三維空間。樣本空間的表示27為了保證考察問題的完備性，避免運(yùn)算、推理過程出現(xiàn)矛盾，就需要所考察事件的集合的構(gòu)成必須遵循一定規(guī)則，于是引出了代數(shù)的概念。簡單來講，代數(shù)就是根據(jù)考察和評(píng)價(jià)的需要從的子集中挑選出的集合（即事件），并由這些集合按照一定規(guī)則構(gòu)成的集合簇，具體定義為：定義1 設(shè)為樣本空間，F(xiàn)是由的一些子集（或事件）組成的集合簇，若F滿足下列條件：(i) F，即F包含了空間本身；(ii) 若AF，則A的逆事件F ，即如果事件A（A為的一個(gè)子集）屬于F， 則A的補(bǔ)集也屬于F；(iii)若A

12、iF，i=1, 2, , +，則 AiF，即如果的可列子集屬于F，則這些可列子集的并集也屬于F。則稱F 為一個(gè)代數(shù)。代數(shù)的概念 28顯然，代數(shù)不止一個(gè)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本空間，其最小的代數(shù)是由空集和構(gòu)成的，而最大的代數(shù)則由的冪集，即的所有子集構(gòu)成。最大的代數(shù)由的2個(gè)子集組成。令G為任一子集簇，所有包含G的代數(shù)的交是包含G的最小的代數(shù)，稱為由G生成的代數(shù)，記為(G)。由實(shí)數(shù)集R1中的所有子集(a，b組成的集合蔟而生成的代數(shù)是包含所有R1區(qū)間族的最小代數(shù)，稱為Borel代數(shù)，記作B(R1)。B(R1)包含了R1所有開集和閉集，也可以看作是從R1的區(qū)間開始經(jīng)過一系列所有可能的有限和可列集合的并、交、

13、補(bǔ)等運(yùn)算而獲得的。對(duì)于一般的n維Eulid空間Rn，可類似得到Rn的Borel代數(shù)，記作B(Rn)，只不過Rn的區(qū)間應(yīng)為(a,b=（x1,x2,xn）| ai xibi,a =(a1,a2,an), b=(b1,b2,bn),i=1,2, .代數(shù)的概念（續(xù)） 29F為的代數(shù)表明，F(xiàn)中的元素，即由中元素構(gòu)成的、并屬于F的事件，是可測(cè)的，于是我們將F中的所有元素稱為可測(cè)集，將與其可測(cè)集簇代數(shù)F組成的一對(duì)（, F）稱為一個(gè)可測(cè)空間。對(duì)可測(cè)空間（, F），我們需要知道F中的可測(cè)集即事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是需要對(duì)F中的事件進(jìn)行評(píng)價(jià)和測(cè)度。為避免出現(xiàn)矛盾的情況，測(cè)度方式也需要按照一定的規(guī)則進(jìn)行，于是，有定義2 對(duì)可測(cè)空間（, F），在F上定義一個(gè)函數(shù)：F R1稱為一個(gè)測(cè)度，若滿足：()=0；AF，0(A) +；(iii) AiF，i=1, 2, , +，且Ai Aj=（ ），則( Ai)= (Ai)。 可測(cè)空間的概念與表示30 對(duì)隨機(jī)事件的測(cè)度，人們普遍習(xí)慣于用概率測(cè)度，記為P。概率測(cè)度P滿足P()=1，P()=0，并對(duì)于AF，皆有0 P(A) 1。 于是，樣本空間、的需要測(cè)度的代數(shù)F與定義在F上的測(cè)度方式、即概率測(cè)度P：F0,1構(gòu)成的三元體(, F,P)，稱為概率空