人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第七章第4節(jié)　空間直線、平面的垂直

1、第4節(jié)空間直線、平面的垂直 知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1,4,912平面與平面垂直的判定與性質(zhì)5求空間角的大小3,7,8綜合問題2,610,11,13,14,15,1617,181.(2021河北滄州聯(lián)考)如圖所示,已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是(D)A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD解析:A中,因?yàn)镃DAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立;B中,因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形,所以DFAF.又因?yàn)镻A平面ABCDEF,DF平面ABCDEF,

2、所以PADF,又PAAF=A,PA平面PAF,AF平面PAF,所以DF平面PAF成立;C中,CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB,所以CF平面PAB;而D中,CF與AD不垂直.故選D.2.(2021江西南昌模擬)如圖,在四面體ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(A)A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部解析:由ABAC,BDAC,又ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,則AC平面ABD,而AC平面ABC,則平面ABC平面ABD,因此點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上.故選A.3.已知三棱柱ABCA1

3、B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為(B)A.512B.3C.4 D.6解析:如圖,取正三角形ABC的中心O,連接OP,則PAO是PA與平面ABC所成的角.因?yàn)榈酌孢呴L為3,所以AD=332=32,AO=23AD=2332=1.三棱柱的體積為34(3)2AA1=94,解得AA1=3,即OP=AA1=3,所以tanPAO=OPAO=3,因?yàn)橹本€與平面所成角的取值范圍是0,2,所以PAO=3.故選B.4.(2021山東煙臺月考)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE

4、,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,則在這個空間圖形中必有(B)A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF解析:根據(jù)折疊前、后AHHE,AHHF不變,且HEHF=H,HE,HF平面EFH,得AH平面EFH,所以B正確;因?yàn)檫^點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直,所以A不正確;由題知AGEF,又EFAH,AGAH=A,AG,AH平面HAG,所以EF平面HAG,又EF平面AEF,所以平面HAG平面AEF,若過點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF,則直線一定在平面HAG內(nèi),所以C不正確;因?yàn)镠G不垂直于AG,所以HG平面AEF不正確,所以

5、D不正確.故選B.5.(多選題)(2021山東濟(jì)寧模擬)已知l,m表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,l,m,則下面四個命題中正確的是(AC)A.若,則lmB.若,則lmC.若lm,則D.若lm,則解析:因?yàn)閘,根據(jù)面面平行的性質(zhì)知l,又m,則lm,故A正確;若,l,則l可能在內(nèi)或與平行,則l可能與m相交、平行或異面,故B錯誤;由lm,l可推出m,又m,根據(jù)面面垂直的判定定理可知,故C正確;若,的交線為m,則lm,推不出,故D錯誤.故選AC.6.(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,點(diǎn)C是圓周上異于A,B的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(AD)A.PCBCB.AC平面PBCC

6、.平面PAB平面PBCD.平面PAC平面PBC解析:由題意,BCAC,若AC平面PBC,可得ACPC,與ACPA矛盾,故B錯誤;BCAC,又PA底面ABC,所以PABC,ACPA=A,AC,PA平面PAC,則BC平面PAC,又PC平面PAC,則BCPC,又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC,故A,D正確;因?yàn)锽C平面PAC,所以PCA為平面PAB與平面PBC所成角的平面角,又PCA為銳角,所以平面PAB與平面PBC不垂直,故C錯誤.故選AD.7.若P是ABC所在平面外一點(diǎn),而PBC和ABC都是邊長為2的正三角形,PA=6,那么二面角PBCA的大小為.解析:取BC的中點(diǎn)O,連接OA,OP(

7、圖略),則POA為二面角PBCA的平面角,OP=OA=3,PA=6,所以POA為直角三角形,POA=90.答案:908.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,則二面角C1BDC的大小為.解析:如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接OC,OC1,因?yàn)锳B=AD=23,所以COBD,CO=6.因?yàn)镃D=BC,所以C1D=C1B,所以C1OBD,所以C1OC為二面角C1BDC的平面角.tanC1OC=C1CCO=26=33,所以C1OC=30,即二面角C1BDC的大小為30.答案:309.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=

8、AB=BC,E是PC的中點(diǎn),求證:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.證明:(1)因?yàn)镻A底面ABCD,CD底面ABCD,所以CDPA.又CDAC,PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,故CD平面PAC,又AE平面PAC,故CDAE.(2)因?yàn)镻A=AB=BC,ABC=60,所以PA=AC.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AEPC.由(1)知CDAE,由于PCCD=C,PC平面PCD,CD平面PCD,從而AE平面PCD,又PD平面PCD,故AEPD.易知BAPD,AEBA=A,AE平面ABE,BA平面ABE,故PD平面ABE.10.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2

9、,BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD平面BCD,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是(B)ACBD;BAC=90;CA與平面 ABD 所成的角為30;四面體ABCD的體積為13.A.0B.1C.2D.3解析:因?yàn)锳B=AD=CD=1,BD=2,所以ABAD,因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,BDCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC(圖略),因?yàn)锳B=AD,所以AOBD.又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,所以AO平面BCD.又因?yàn)锽DCD,所以O(shè)C不垂直于BD.假設(shè)ACBD,因?yàn)镺C為AC在平面BC

10、D內(nèi)的射影,所以O(shè)CBD,矛盾,故錯誤;因?yàn)镃DBD,平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,又AB平面ABD,所以CDAB.因?yàn)锳B=AD=1,BD=2,所以ABAD,又CDAD=D,CD,AD平面ACD,所以AB平面ACD,又AC平面ACD,所以ABAC,故正確;CAD為直線CA與平面ABD所成的角,CAD=45,故錯誤;VA-BCD=VC-ABD=13SABDCD=16,故錯誤.故選B.11.如圖,正方形ABCD和正方形ADEF成60的二面角,將DEF繞DE旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)對任意位置,總有直線AC與平面DEF相交;(2)對任意位置,平面DEF與平

11、面ABCD所成角大于或等于60;(3)存在某個位置,使DF平面ABCD;(4)存在某個位置,使DFBC.其中正確的是(C)A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)解析:過D作AC的平行線l,如圖,當(dāng)平面DEF過l時,直線AC與平面DEF平行,故(1)錯誤;DEF繞DE旋轉(zhuǎn)形成一個以DE為高,EF為底面半徑的圓錐,設(shè)平面ABCD的法向量為n,平面DEF的法向量為r,則向量n所在直線與圓錐底面所成角為60,向量r所在直線為圓錐底面與EF垂直的半徑所在直線,根據(jù)最小角原理,n與r的夾角大于或等于60,故(2)正確;若有DF平面ABCD,則ADDF,所以AD平面DEF,則F在平

12、面DEC內(nèi),此時DF與平面ABCD所成角為15或75,矛盾,故(3)錯誤;當(dāng)ADDF,所以AD平面DEF時,ADBC,所以DFBC,故(4)正確.故選C.12.(多選題)(2021福建泉州質(zhì)檢)如圖,在下列四個正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G均為所在棱的中點(diǎn),過E,F,G作正方體的截面,則在各個正方體中,直線BD1與平面EFG垂直的是(ABC)解析:如圖,在正方體中,E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點(diǎn),且六點(diǎn)共面,直線BD1與平面EFMNQG垂直,并且A項(xiàng),B項(xiàng),C項(xiàng)中的平面與這個平面重合.對于D項(xiàng)中的圖形,由于E,F分別為AB,A1B1的中點(diǎn),所以EFBB1,故B1BD1為異

13、面直線EF與BD1所成的角,且tanB1BD1=2,即B1BD1不是直角,故BD1與平面EFG不垂直.故選ABC.13.(2021湖北黃岡質(zhì)檢)如圖,PA圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是.解析:由于PA平面ABC,BC平面ABC,因此PABC,又ACBC,PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,因此BC平面PAC,AF平面PAC,所以BCAF,由于PCAF,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,因此AF平面PBC,又PB平面PBC,所以AFPB,

14、故正確;因?yàn)锳EPB,AFPB,AEAF=A,AE平面AEF,AF平面AEF,所以PB平面AEF,又EF平面AEF,因此EFPB,故正確;在中已證明AF平面PBC,BC平面PBC,所以AFBC,故正確;若AE平面PBC,由知AF平面PBC,由此可得出AFAE,這與AF,AE有公共點(diǎn)A矛盾,故AE平面PBC不成立,故錯誤.故正確的結(jié)論為.答案:14.三棱錐PABC中,PA=1,AB=AC=2,PA,AB,AC兩兩相互垂直,M為PC中點(diǎn),則異面直線PB與AM所成角的余弦值是;取BC中點(diǎn)N,則二面角MANC的大小是.解析:由題設(shè),連接中位線MN,則MNPB,即異面直線PB與AM所成角的平面角為AMN

15、,因?yàn)镻A=1,AB=AC=2,PA,AB,AC兩兩相互垂直,所以PC=PB=3,則AM=MN=32,且AN=1,所以在AMN中,cosAMN=AM2+MN2-AN22AMMN=13,過M作MDAC于D,易知D是AC的中點(diǎn),若E為AN的中點(diǎn),連接DE,ME,所以DEAN,MEAN,而DEME=E,所以AN平面MED,故MED是二面角MANC的平面角,因?yàn)镻A,AB,AC兩兩相互垂直,易知平面PAC,平面PAB,平面ABC兩兩相互垂直,又平面PAC平面ABC=AC,MD平面PAC,所以MD平面ABC,ED平面ABC,即MDDE,所以在RtMED中,MD=PA2=12,DE=NC2=BC4=12,

16、則tanMED=MDDE=1,所以MED=4.答案:13415.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中點(diǎn),F在BB1上.(1)求證:C1D平面AA1B1B;(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1平面C1DF?并證明你的結(jié)論.F為BB1的中點(diǎn);AB1=3;AA1=2.(1)證明:因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90,又D是A1B1的中點(diǎn),所以C1DA1B1.因?yàn)锳A1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又A1B1AA1=A1,A1B1平面AA1B1B,AA1平面AA1

17、B1B,所以C1D平面AA1B1B.(2)解:選能證明AB1平面C1DF.證明如下:如圖,連接A1B,所以DFA1B,在ABC中,AC=BC=1,ACB=90,則AB=2,又AA1=2,則A1BAB1,所以DFAB1.因?yàn)镃1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.因?yàn)镈FC1D=D,DF平面C1DF,C1D平面C1DF,所以AB1平面C1DF.16.(2021陜西西安八模)如圖所示,AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點(diǎn),且AB=BC=2,CBD=45,求直線BD與平面ACD所成角的大小.解:取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE.由題意知AB平面BCD,

18、CD平面BCD,故ABCD.又BD是底面圓的直徑,所以BCD=90,即CDBC.因?yàn)锳BBC=B,AB,BC平面ABC,所以CD平面ABC,又因?yàn)锽E平面ABC,所以CDBE.因?yàn)锳B=BC=2,ABBC,所以BEAC,且BE=2,又ACCD=C,AC,CD平面ACD,所以BE平面ACD,所以BDE即為直線BD與平面ACD所成的角,又BD=2BC=22,所以sinBDE=BEBD=222=12,所以BDE=30,即直線BD與平面ACD所成的角為30.17.已知在梯形ABCD中,ADBC,ABC=BAD=2,AB=BC=2AD=4,E,F分別是AB,CD上的點(diǎn),EFBC,AE=x(0 x4),沿

19、EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD平面EBCF(如圖).(1)當(dāng)x=2時,證明:EF平面ABE;求二面角DBFE的余弦值;(2)三棱錐DBFC的體積是否可能等于幾何體ABEDCF體積的49?并說明理由.(1)證明:在直角梯形ABCD中,因?yàn)锳BC=BAD=2,故DAAB,BCAB,因?yàn)镋FBC,故EFAB,所以在折疊后的幾何體中,有EFAE,EFBE,而AEBE=E,AE平面ABE,BE平面ABE,故EF平面ABE.解:如圖,在平面AEFD中,過D作DGEF交EF于點(diǎn)G.在平面DBF中,過D作DHBF交BF于點(diǎn)H,連接GH.因?yàn)槠矫鍭EFD平面EBCF,平面AEFD平面EBCF=EF,DG

20、平面AEFD,故DG平面EBCF,因?yàn)锽F平面EBCF,故DGBF,而DGDH=D,DG平面DGH,DH平面DGH,故BF平面DGH,又GH平面DGH,故GHBF,所以DHG為二面角DBFE的平面角,在平面AEFD中,因?yàn)锳EEF,DGEF,故AEDG,又在直角梯形ABCD中,EFBC,且EF=12(BC+AD)=3,故EFAD,故四邊形AEGD為平行四邊形,故DG=AE=2,GF=1,在RtBEF中,tanBFE=23,因?yàn)锽FE為三角形的內(nèi)角,故sinBFE=213,故GH=1sinBFE=213,故tanDHG=2213=13,因?yàn)镈HG為三角形的內(nèi)角,故cosDHG=1414,所以二面角DBFE的余弦值為1414.(2)解:若三棱錐DBFC的體積等于幾何體ABEDCF體積的49,則VB-ADFE+VD-BFC=94VD-BFC,即VB-ADFE=54VD-BFC.由(1)的證明可知,DG平面EBCF,同理可證BE平面AEFD,AE=DG.故VB-ADFE=13BES1,其中S1為直角梯形ADFE的面積.而VD-BFC=13DGSBCF=13AESBCF,在直角梯形ABCD中,過D作BC的垂線,與EF,BC分別交于M,N,則FM2=x4,故FM=x2,所以FE=x2+2,所