[講義]《結(jié)構(gòu)力學(xué)》大學(xué)教材章節(jié)課件221頁(附例題)

1、31443523第十三章 矩陣位移法基本概念單元剛度矩陣(局部坐標系)(整體坐標系)整體剛度矩陣(連續(xù)梁)(平面剛架)等效結(jié)點荷載計算步驟和算例忽略軸向變形的矩形剛架的整體分析上機作業(yè)（連續(xù)梁程序設(shè)計）113-1 概述 矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表達形式，以電子計算機作為計算手段，三位一體的方法。 手算與電算的不同：手算：怕繁，討厭重復(fù)性的大量運算，追求機靈的計算技巧， 運算次數(shù)較少的方法。電算：怕亂，討厭頭緒太多，零敲碎打的算法，追求計算過 程程序化，通用性強的方法。 矩陣位移法（有限單元法）的基本思路是： 先將結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，然后再將這些單元按一定條件集合

2、成整體。這樣，就使一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為有限個簡單單元的分析與集成問題。有限單元法的兩個基本環(huán)節(jié)：1）單元分析：建立單元剛度方程，形成單元剛度矩陣(物理關(guān)系)2）整體分析：由單元剛度矩陣形集成整體剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的 位移法基本方程(幾何關(guān)系、平衡條件)2 單元剛度矩陣是用來表示桿端力與桿端位移之間的物理關(guān)系的，不是新東西，但有幾點新考慮：重新規(guī)定正負規(guī)則，以矩陣的形式表示，討論桿件單元的一般情況。桿端局部編碼與局部坐標系eE，A，Il局部坐標系中的桿端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐標系中的桿端力分量= Feee= De12yx13-2 單元剛度矩陣（局部

3、坐標系）3單元剛度方程方程1q 1u1v2v2q 2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq4ee=ee（135）單元剛度方程（136）單元剛度矩陣單元剛度矩陣的性質(zhì) 1）單元剛度矩陣是桿端力用桿端位移來表達的聯(lián)系矩陣。 2）其中每個元素稱為單元剛度系數(shù)

4、，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。如 第 個桿端位移分量 =1時引起的第 個桿端力2M1q三六ji ?反力互等定理5 3）單元剛度矩陣是對稱矩陣。 4）第k列元素分別表示當?shù)趉個桿端位移=1時引起的六個桿端力分量。 5）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。 不存在逆矩陣 De Fe正問題力學(xué)模型將單元視為“兩端有六個人工控制的附加約束的桿件” De控制附加約束加以指定。解的性質(zhì)為任何值時， De Fe 都有唯一的解答。且總是一個平衡力系，不可能是不平 衡力系。 De Fe反問題將單元視為“兩端自由的桿件”。 Fe直接加在自由端作為指定的桿端力 Fe 為不平衡力系時 沒有靜力解。 De Fe 為

5、平衡力系時 有無窮多組解。 De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M62v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e 第二列元素變符號即第五列 第一列元素變符號即第四列 第二行元素變符號即第五行 第一行元素變符號即第四行7特殊單元單元的某個或某些桿端位移的值已知為零。如梁單元、柱單元。特殊單元的單元剛度矩陣，可由一般單元的單元剛度矩陣刪除 與零桿端位移對應(yīng)的行和列得到。為了使計算過程程序化、標準化、自動化，只采用一般單元 的剛度矩陣作為標準形式。各種特殊單元的剛度矩陣有計算 機程序去自動形成。某些特殊單元的

6、剛度矩陣是可逆的。121q2q122M1M8選局部坐標系推導(dǎo)單元剛度矩陣方便且單元剛度矩陣的形式簡單。選整體坐標系是為進行整體分析。按一個統(tǒng)一的坐標系來建立各 單元的剛度矩陣單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx13-3 單元剛度矩陣（整體坐標系）9單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣T是一正交矩陣。同理：整體坐標系中的單元剛度矩陣設(shè)：將（a）、（b）代入（a）（b）101） 表示在整體坐標系第j個桿端位移分量=1時引起的第i個桿端力分量。 2）k 是對稱矩陣。3）一般單元的k是奇異矩陣。 例13-1 求圖示剛架中各單元在整體標系中的單元剛度矩陣。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l

7、=5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m221與 比較 I k，k 同階,性質(zhì)類似：11解：（1）求kek1k2=104（2）求ke11單元 =9021單元 =0k2=10412結(jié)點力、結(jié)點位移、形成總剛度矩陣(傳統(tǒng)位移法)123F1F2F3123F1F2F31=11K11K21K31 K12 K22K32 2=12K13 K23K33 3=13F =KK為整體剛度矩陣，簡稱總剛。13-4 連續(xù)梁的整體剛度矩陣13整體剛度矩陣的性質(zhì) 1）總剛是結(jié)點力用結(jié)點位移來表達的聯(lián)系矩陣。 2）K中的元素Kij表示第j個結(jié)點位移分量j=1（其它結(jié)點 位移分量=0）時所產(chǎn)生的第i個結(jié)點

8、力。 3）K是對稱矩陣。 4）如果引入支承條件，K是可逆矩陣。形成整體剛度矩陣2=1K12 K22K32 1112k121k22122k112k212結(jié)點發(fā)生單位位移桿端發(fā)生單位位移變形協(xié)調(diào)條件產(chǎn)生附加約束中約束力(總剛元素)產(chǎn)生桿端力(單剛元素)平衡條件總剛元素是由單剛元素集合而成K22k221k112k212K3214直接剛度法形成總剛(剛度集成法) 首先要注意同一個結(jié)點位移在整體中與在各單元中編碼不同。單元結(jié)點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量稱為“單元定位向量”。e單元對應(yīng)關(guān)系：局部碼總碼單元定位向量e12A （1） 1B （2） 2 =112B （1） 2B （2） 3 =223 將

9、各單元的單剛的行列局部碼（i）、（j）換成對應(yīng)的結(jié)點位移總碼i、 j，按此行列總碼將單剛元素送入總剛。即:k(i)(j)2112213ABC(1)(2)(1)(2)15例13-2 試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。i1i2i31230123解：1）編碼凡給定 為零的結(jié)點位移分 量,其總碼均編為零。 =112 =2232）單元定位向量 =3303）求單剛并集成總剛k =14i1 2i12i1 4i1(1) (2) 1 24i1 2i12i1 4i1k =24i2 2i22i2 4i2(1) (2) 2 3+ 4i2 2i22i2 4i2k =34i3 2i32i3 4i3(1) (2) 3 0+

10、4i31 2 31 2300在給節(jié)點位移編碼時已經(jīng)考慮了支承條件。(先處理法)161n2312n+1對于n跨連續(xù)梁，有n+1個節(jié)點，不難導(dǎo)出整體剛度矩陣如下：4i12i12i14(i1+ i2)02i24(i1+ i2)02i22i3002in-14(In-1+ in)2in2in4in000K=Kn+1，n+1是稀疏矩陣和帶狀矩陣。1n2317情況復(fù)雜：1）結(jié)點位移分量增加到三個；2）各桿方向不盡相同，要進行坐標變換；3）除了剛結(jié)點，還要考慮鉸結(jié)點等其它情況。1、結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼yx000123040結(jié)點位移列陣:=1 2 3 4T =uA vA A CT結(jié)點力列陣:F=F1 F2

11、 F3 F4T2、單元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6) (5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6) =11 2 3 0 0 4T =21 2 3 0 0 0TACB13-5 剛架的整體剛架矩陣183、單元集成過程104k =1 1 2 3 0 0 4K=1 2 3 4300 00001230100030100500305030104k2=1041 2 3 0 0 0 +12+030+0+300+030+0+100求單剛191）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 鉸結(jié)點處的兩桿端結(jié)點應(yīng)看 作半獨立的兩個結(jié)點（C1和 C2） 它們的線位移相同， 角位移不同，00012321A C1B D00

12、0456475C234、鉸結(jié)點的處理線位移采用同碼，角位移采用異碼。2）單元定位向量： =11 2 3 4 5 6T =21 2 3 0 0 0T =34 5 7 0 0 0T3）按次序進行單元集成：20104k =1 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7300500-3010030000-30000 01230 0-12300301000-30500-12-30012-30K=104 -30000300001 2 3 0 0 0k2=104+12+030+0+300+030+0+100k3=1044 5 7 0 0 0 +12+030+0+300+030+0+10030?211、

13、整體剛度方程 F=K （a） 表示由F結(jié)點力的關(guān)系式。反映了結(jié)點的剛度性質(zhì)， 不涉及結(jié)構(gòu)上的實際荷載。2、位移法基本方程 在給結(jié)點位移分量編總碼時，已考慮了結(jié)構(gòu)的支承連接情況， K是非奇異矩陣。 如果已知結(jié)構(gòu)上的結(jié)點荷載P，（a）就是求結(jié)點位移 的位移法基本方程。P=K（b）注：結(jié)點力與結(jié)點荷載的不同。結(jié)點力是發(fā)生給定的結(jié)點位移， 在結(jié)點上所需施加的力，它與體系的剛度有關(guān)，由剛度方 程確定。而結(jié)點荷載是給定的與體系無關(guān)。由結(jié)點荷載 產(chǎn) 生的未知結(jié)點位移由位移法基本方程求解。3、等效結(jié)點荷載 平衡方程的荷載P是作用在結(jié)點上的集中荷載，當荷載不是結(jié)點集中荷載時，應(yīng)化成等效結(jié)點荷載。13-6 等效結(jié)

14、點荷載22123FP2FP1FP3P2P1P3結(jié)點約束力FP =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1等效結(jié)點荷載P=FP可由位移法基本方程(b)求得.注意：非結(jié)點荷載與等效結(jié)點荷載等效的條件是，兩者產(chǎn)生相同 結(jié)點位移。除了結(jié)點位移外，等效結(jié)點荷載與原荷載產(chǎn)生的其它位移 和內(nèi)力并不相同。等效結(jié)點荷載為位移法基本體系附加約束中約束力的負值。 而約束力為各固端力之和。所以求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載應(yīng)該 先求出單元的等效結(jié)點荷載，它是單元固端力的負值。位移法方程：234、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載 局部坐標系中的單元固端約束力e整體坐標系中的單元等效結(jié)點荷載ee整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P 由

15、各單元P 中的元素按在P中進行定位并累加。e等效結(jié)點荷載與直接結(jié)點荷載疊加，即得結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13-3 求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P. e解:1)求單元單元242)求單元的傾角1=01 2 3 0 0 4單元的傾角2=90123000P=123401210-10+4 +054 125-10251）整理原始數(shù)據(jù)，進行局部編碼和整體編碼。2）用式（13-6）形成局部坐標系中的單元剛度矩陣3）用式（13-21）形成整體坐標系中的單元剛度矩陣4）用單元集成法形成整體剛度矩陣K5）形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載6）解方程K=P， 求出結(jié)點位移。7）求各桿桿端

16、力123FP2FP1FP3P2P1P3 =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1固端力FP桿端位移產(chǎn)生的桿端力P計算步驟13-7 計算步驟和算例26000123000456例13-4:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m.6m12m1kN/m213xy解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼27e1310321032)形成k283) 形成k 單元、(=90o)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為 13103單元(=0o)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:224) 形成K123+11k+11k=22211211kkkkK291035) 求等效節(jié)點荷載P111單元在整體坐標系中的等效節(jié)點荷載集成等效

17、節(jié)點荷載306) 解基本方程317) 求桿端力 單元1328.492.093.044.38M圖(kN.m)4.761.240.43 1.241.24Q圖(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N圖(kN)331）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 在剛結(jié)點A鉸結(jié)點C1和C2處， 豎向位移均為零，故其編碼 也應(yīng)為零，另外它們的水平 位移分量都相等，因此它們 的水平位移應(yīng)采用同碼。00010221A C1B D000103140C232）單元定位向量： =11 0 2 1 0 3T =21 0 2 0 0 0T =31 0 4 0 0 0T3）按次序進行單元集成：13-8 忽略軸向變形時矩形剛架的整體

18、分析34104k =1 1 0 2 1 0 31 2 3 4 1234102103300030001000+050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=1041020000 0 00 100 500 50 100+123030+100k3=1041 0 4 0 0 0104000+123030+100K=104 35例13-5:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m 忽略軸向變形的影響。.6m12m1kN/m解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼000102000103213xy36e1310321032)形成k373) 形成k 單元、(=90o)

19、坐標轉(zhuǎn)換矩陣為 13103單元(=0o)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:224) 形成K12338 1 0 2 0 0 01020002.316.9427.86.94 1 0 3 0 0 0103000+2.316.946.9427.8 1 0 2 1 0 3102103+52.552.5+0+0+52.552.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+0 4.62 6.94 6.946.94 55.6 13.96.94 13.9 55.61 2 3 123K=103395) 求等效節(jié)點荷載P111單元在整體坐標系中的等效節(jié)點荷載集成等效節(jié)點荷載6) 解基本方程407) 求桿端力

20、 單元1418.412.093.094.47M圖(kN.m)4.751.250.43 1.251.25Q圖(kN)N=0.43N=1.25N=0.43N圖(kN) 由單元剛度方程求出的桿端軸 力為零。為什么？ 根據(jù)節(jié)點平衡由剪力求軸力。 軸向變形影響不大。42單元的剛度方程(局部坐標）u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意：桁架單元的結(jié)點轉(zhuǎn)角不是基本未知量。無須求等效結(jié)點荷載。桿端力是由結(jié)點位移產(chǎn)生的。13-9 桁架及組合結(jié)構(gòu)的整體分析坐標轉(zhuǎn)換矩陣單元的剛度方程(整體坐標）43 3ll 10kN10kN例13-6 求圖示桁架內(nèi)力(EA=常數(shù))。解：1、編碼如圖 ；124002

21、、形成3、形成kk=k=k=k單元=90k=k=44單元=45k=單元=135k= 3ll 10kN10kN124004、集成總剛K5、節(jié)點荷載456、解基本方程7、桿端力計算46補充內(nèi)容節(jié)點位移分量自由節(jié)點位移分量(基本未知量，相應(yīng)的節(jié)點荷載已知)受約束的位移分量(已知量，相應(yīng)的約束反力未知)先處理法1、節(jié)點位移分量中不含受約束的支座位移，節(jié)點力分量中不 含未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件K3、對于具有非剛性連接、支承節(jié)點較多且分散、不考慮軸向 變形的結(jié)構(gòu)最為方便?？蓽p少內(nèi)存，提高計算速度。但要 對各節(jié)位移進行統(tǒng)一編碼，形成各單元的定位向量。后處理法1、節(jié)點位移分量中含有受約束的支座位

22、移，節(jié)點力分量中含 有未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件K(原始剛度矩陣,奇異)3、每個節(jié)點位移分量數(shù)相同， 的階數(shù)是節(jié)點總數(shù)乘節(jié)點位 移 分量數(shù)，整個分析過程便于編制通用程序。適用于節(jié)點 多支座約束少，考慮軸向變形的結(jié)構(gòu)。但占用內(nèi)存大。47補充內(nèi)容后處理法邊界條件的處理 在后處理法中，由于沒有考慮邊界條件，由k集成的 是奇異矩陣，由單元集合成的體系是自由體，具有剛體位移。 沒有確定的位移解。位移邊界條件處理的三種方法：1、劃行劃列法編制程序較復(fù)雜，不常采用。2、主對角元置大數(shù)法設(shè)第 i 個節(jié)點位移分量 (已知)0di=D0di=D為了將第 i 個方程改為:將 kii 置一大數(shù)如R=102

23、0 Pi 改為 Rd0第 i 個方程變?yōu)?該法雖為近似處理，程序設(shè)計容易實現(xiàn)，故被廣泛應(yīng)用。RRd048補充內(nèi)容2、主對角元置1法0di=D第 i 個方程變?yōu)?為了不破壞總剛的對稱性 第 i 列也作相應(yīng)的處理。為了不影響其他方程， 荷載向量也要作相應(yīng)的 改變。0 0 1 0d0 0 0 1 0 該法是精確的處理方法，被經(jīng)常采用，但不如主對角元置大數(shù)簡便。491）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 在剛結(jié)點A鉸結(jié)點C1和C2處， 豎向位移均為零，故其編碼 也應(yīng)為零，另外它們的水平 位移分量都相等，因此它們 的水平位移應(yīng)采用同碼。00010221A C1B D000103140C23形成圖示剛架的整體剛度矩陣2）單元定位向量：3）按次序進行單元集成：50104k =1 1 0 2 1 0 31 2 3 4 1234102103300030001000+050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=1041020000 0 00 100 500 50 100+123030+100k3=1041 0 4 0 0 0