高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：抽象函數(shù)問題的求解策略

1、高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：抽象函數(shù)問題的求解策略北京清華附中數(shù)學(xué)特級老師尹粉玉函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出詳細(xì)的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法那么。此類函數(shù)試題既能全面地考察學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證才能，又能綜合考察學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和承受才能，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來討論這類問題的求解策略。例：設(shè)y=蕊x是定義在區(qū)間-1，1上的函數(shù)，且滿足條

2、件：if-1=f1=0;ii對任意的u,v-1，1，都有fu-fvu-v。證明：對任意的x-1，1，都有x-1fx1-x;證明：對任意的u,v-1，1，都有fu-fv1。解題：證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x-1，1時，有fx=fx-f1x-1=1-x,即x-1fx1-x.證明：對任意的u,v-1，1，當(dāng)u-v1時，有fu-fv1當(dāng)u-v1，uv0,不妨設(shè)u0，那么v0且v-u1,其中v0，1，u-1，0要想使條件起到作用，須在-1，0上取一點(diǎn)，使之與u配合以利用條件，結(jié)合f-1=f1=0知，這個點(diǎn)可選-1。同理，須在0，1上取點(diǎn)1，使之與v配合以利用條件。所以，fu-fvfu-f-1+fv-f1u

3、+1+v-1=1+u+1-v=2-v-u1綜上可知，對任意的u,v-1，1都有fu-fv1.點(diǎn)評：有關(guān)抽象函數(shù)問題中往往會給出函數(shù)所滿足的等式或不等式，因此在解決有關(guān)問題時，首先應(yīng)對所要證明或求解的式子作構(gòu)造上的變化，使所要證明或求解的問題的構(gòu)造與的一樣。如此題未給出函數(shù)y=fx的解析表達(dá)式，而給出了一組特定的對應(yīng)關(guān)系f-1=f1=0，以及兩個變量之差的絕對值不小于對應(yīng)的函數(shù)值之差的絕對值的一般關(guān)系。在1的證明中，利用f1=0,把fx改寫成fx=fx-f1;在2的證明中，利用f-1=f1=0，把fu-fv改寫成fu-fvfu-f-1+fv-f1，這些變形起了重要的作用，因?yàn)槭沁@些變化創(chuàng)造了使用

4、條件的時機(jī)，也創(chuàng)造理解決問題的捷徑。另外，有關(guān)抽象函數(shù)問題中所給的函數(shù)性質(zhì)往往是對定義域內(nèi)的一實(shí)在數(shù)都成立的，因此根據(jù)題意，將一般問題特殊化，選取適當(dāng)?shù)奶刂等缌顇=1，y=0等，這是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的策略之一。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?，“老師一說是比較晚的事了。如今體會，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與

5、其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗讀兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀才能進(jìn)步很快?？傊?，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難奏效，但我們假如能通過對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之成效，同時在運(yùn)用這些策略時要做到親密配合，相得益彰。來源：-環(huán)球時報(bào)宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實(shí)“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正。“教授“學(xué)