2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評(píng)分細(xì)則（定稿）

1、2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評(píng)分細(xì)則一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1已知點(diǎn)P(4，1)在函數(shù)f(x)loga(xb) (b0)的圖象上，則ab的最大值是 解：由題意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，從而ab eq f(ab)2,4)4，當(dāng)ab2時(shí)，ab的最大值是42函數(shù)f(x) eq r(3)sin(2x eq f(,4)在x eq f(43,24) 處的值是 解：2x eq f(,4) eq f(43,12) eq f(,4) eq f(40,12) eq f(10,3)2 eq f(4,3)，所以f( e

2、q f(43,24) eq r(3)sin eq f(4,3) eq f(3,2)3若不等式|ax1|3的解集為x |2x1，則實(shí)數(shù)a的值是 解：設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|，則f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3個(gè)白球、7個(gè)紅球、15個(gè)黃球，第二只口袋里有10個(gè)白球、6個(gè)紅球、9個(gè)黑球，從兩個(gè)口袋里各取出一球，取出的球顏色相同的概率是 解：有兩類情況：同為白球的概率是 eq f(310,2525) eq f(30,625)，同為紅球的概率是 eq f(76,2525) eq f(42,625)，所求的概率是 eq f(72,625)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)焦距為2c的橢圓 eq

3、f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(ab0)與橢圓 eq f(x2,b2) eq f(y2,c2)1有相同的離心率e，則e的值是 解：若cb，則 eq f(c2,a2) eq f(c2b2,c2)，得ab，矛盾，因此cb，且有 eq f(c2,a2) eq f(b2c2,b2)，解得e eq f(1 eq r(5),2)ABCDE（第6題圖）A1B1C1D16如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線B1D與平面A1BC1交于E點(diǎn)記四棱錐EABCD的體積為V1，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2，則 eq f(V1,V2)的值是 （第6題圖）ABCDEOA1B1C1D1解

4、：記四棱錐B1ABCD的體積為V如圖，DE eq f(2,3)DB1，從而V1 eq f(2,3)V又V eq f(1,3)V2，所以 eq f(V1,V2) eq f(2,9)7若實(shí)數(shù)集合A31x，65y與B5xy，403僅有一個(gè)公共元素，則集合AB中所有元素之積的值是 解：因?yàn)?1x65y5xy4032015xy若xy0，則集合A和集合B中有一組相等，則另一組也必然相等，這不合題意所以xy0，從而AB中所有元素之積的值為08設(shè)向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3個(gè)為a，其余為b；向量y1，y2，y7中有2個(gè)為a，其余為b則 EQ Oac(SUP8(7),

5、SDO8(i=1)xiyi的可能取值中最小的為 解：因?yàn)閍abb1，ab0，所以 EQ Oac(SUP8(7),SDO8(i=1)xiyi的最小值為2（第9題圖）1220159在33的幻方中填數(shù)，使每行、每列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等如圖，三個(gè)方格中的數(shù)分別為1，2，2015，則幻方中其余6個(gè)數(shù)之和為 解：如圖，設(shè)幻方正中間的數(shù)為x，則由題意知a2012，從而對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和為x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9題圖）ecdab122015x由bexx2011，解得x eq f(2011,2)這9個(gè)數(shù)的和為3( eq f(2011,2)2011) eq

6、 f(18099,2)，所以幻方中其余6個(gè)數(shù)之和為 eq f(18099,2)2018 eq f(22135,2)10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是滿足x0，y0，xyxy19的點(diǎn)(x，y)形成的區(qū)域（其中x是不超過x的最大整數(shù)）則區(qū)域D中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 解：區(qū)域D中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1231055二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11在等比數(shù)列an中，a22，q是公比記Sn為an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列a eq oal(sup4(2),sdo3(n)的前n項(xiàng)和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，則ana22，a eq oal(sup4(2),sdo3(n)4，則S2n4n，Tn4n

7、，S2n2Tn若q1，則an2(1)n，a eq oal(sup4(2),sdo3(n)4，則S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q1，則an2qn2，a eq oal(sup4(2),sdo3(n)4q2n4，從而S2n eq f( eq f(2,q)(1q2n),1q)，Tn eq f( eq f(4,q2)(1q2n),1q2) 15分由S2n2Tn，則 eq f(4,q(1q)1，q2q40，解得q eq f(1 eq r(17),2)綜上，q的值為 eq f(1 eq r(17),2)和 eq f(1 eq r(17),2) 20分ABCDP(第12題圖)E12如圖，ABC中，A

8、BAC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分線與ADE的外接圓交于A、P兩點(diǎn)求證：A、P、B、C四點(diǎn)共圓ABCDP(第12題圖)EF證明：如圖，連結(jié)PD，PE，PC因?yàn)樗倪呅蜛PDE是圓內(nèi)接四邊形,所以PADPED，PAFPDE又因?yàn)锳P是BAC的外角平分線，所以PADPAF，從而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因?yàn)锽DCE，所以BDPCEP，從而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四點(diǎn)共圓 10分xOyO1l(第13題圖)O2P13如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l：ykx及x軸正半軸相切若兩圓的半徑之積

9、為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P(2，2)，求直線l的方程解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上若直線l的斜率ktan，設(shè)ttan eq f(,2)，則k eq f(2t,1t2)圓心O1，O2在直線ytx上，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt)交點(diǎn)P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O(shè)1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以 eq blc(aal(2m)2(2mt)2(mt)2，,(2n)2(2nt)2(nt)2，)即 eq blc(aal(m2(44t)m80，,n2(44t)n80，) 8分所以 m，n是方程X2(4+

10、4t)X8=0的兩根，mn8由半徑的積(mt)(nt)2，得t2 eq f(1,4)，故t eq f(1,2) 16分所以 k eq f(2t,1t2) eq f(1,1f(1,4) eq f(4,3)，直線l：y eq f(4,3)x 20分14將正十一邊形的k個(gè)頂點(diǎn)染紅色，其余頂點(diǎn)染藍(lán)色（1）當(dāng)k2時(shí)，求頂點(diǎn)均為藍(lán)色的等腰三角形的個(gè)數(shù)；（2）k取何值時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)同色(同紅色或同藍(lán)色)的等腰三角形個(gè)數(shù)最少？并說明理由解：（1）設(shè)正十一邊形的頂點(diǎn)A1，A2，A3，A11，則易知其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都不是正三角形以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形個(gè)數(shù)可以如此計(jì)算：以Ai(i1，2，3，11)為頂角

11、頂點(diǎn)的等腰三角形有 eq f(111,2)5個(gè) eqf(171,2)，這些三角形均不是等邊三角形，即當(dāng)ji時(shí)，以Aj為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155個(gè) 5分當(dāng)k2時(shí)，設(shè)其中Am，An染成紅色，其余染成藍(lán)色以Am為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有5個(gè)，以Am為底角頂點(diǎn)的等腰三角形有10個(gè)；同時(shí)以Am，An為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)，這些等腰三角形的頂點(diǎn)不同色，且共有(510)2327個(gè)注意到僅有這些等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不同藍(lán)色，故所求三個(gè)頂點(diǎn)同為藍(lán)色的等腰三角形有552728個(gè) 10分（2）若11個(gè)頂點(diǎn)中k個(gè)染紅色，其余11k個(gè)染藍(lán)色則這些頂點(diǎn)間連線段(邊或?qū)蔷€)中，兩端點(diǎn)染紅色的有 eq f(k(k1),2)條，兩端點(diǎn)染藍(lán)色的有 eq f(11k)(10k),2)條，兩端點(diǎn)染一紅一藍(lán)的有k(11k)條并且每條連線段必屬于且僅屬于3個(gè)等腰三角形把等腰三角形分4類：設(shè)其中三個(gè)頂點(diǎn)均為紅色的等腰三角形有x1個(gè)，三個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色的等腰三角形有x2個(gè)，兩個(gè)頂點(diǎn)為紅色一個(gè)頂點(diǎn)為藍(lán)色的等腰三角形有x3個(gè)，兩個(gè)頂點(diǎn)為藍(lán)色一個(gè)頂點(diǎn)為紅色的等腰三角形有x4個(gè)，則按頂點(diǎn)顏色計(jì)算連線段，3x1x33 eq f(k(k1),2)， 3x2x43 eq f(11k)(10k),