2021年度虹口區(qū)高三一模

1、2021年度虹口區(qū)高三一模一、填空題1已知集合，則 .【答案】【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算【解析】【解答】,。故答案為：?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和定義域，進(jìn)而求出對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，從而求出集合B，再利用并集的運(yùn)算法則，從而求出集合A和集合B的并集。2已知是方程的解，則實(shí)數(shù)的值為 .【答案】4【考點(diǎn)】二階矩陣【解析】【解答】方程為，因?yàn)槭欠匠痰慕?，所以，解得。故答案為?。【分析】利用方程為結(jié)合是方程的解，再結(jié)合代入法，從而求出實(shí)數(shù)a的值。3已知.若冪函數(shù)f(x)x為奇函數(shù)，且在(0，)上遞減，則 .【答案】-1【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【解析】【解答】?jī)绾瘮?shù)f(x)x為奇函數(shù)

2、，可取1，1，3，又因?yàn)閒(x)x在(0，)上遞減，0，故1。故答案為：-1。【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)的定義和減函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而找出滿足要求的實(shí)數(shù)的值。4已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為，首項(xiàng)，公比為，且，則 .【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的極限【解析】【解答】無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比，且，且，則。故答案為：?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再結(jié)合函數(shù)求極限的方法和公比的取值范圍，進(jìn)而求出公比的值。5圓的半徑等于 .【答案】【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】【解答】由圓，可化為，所以圓的半徑為。故答案為：。【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的

3、半徑。6在 的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 .（結(jié)果用數(shù)值表示） 【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：由二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ，令 ，解得 ，即在 的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 ，故答案為： .【分析】先求出二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ，再令 ，求解代入運(yùn)算即可.7已知角，是的三個(gè)內(nèi)角，若，則該三角形的最大內(nèi)角等于 （用反三角函數(shù)值表示）.【答案】【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【解答】由正弦定理知：，又因?yàn)?，且最大?nèi)角為，令，故。故答案為：。【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理的性質(zhì)，得出且最大內(nèi)角為，令，再利用余弦定理得出角C的余弦值，再結(jié)合反三角函數(shù)值求解方法，進(jìn)而求出角C的值

4、。8已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且對(duì)任意的滿足，若時(shí)，有，則 .【答案】-5【考點(diǎn)】奇函數(shù)；函數(shù)的值【解析】【解答】因?yàn)椋嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，所以。故答案為：-5?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合代入法和奇函數(shù)的定義，進(jìn)而得出與的關(guān)系式，再利用當(dāng)時(shí)，有，再結(jié)合代入法得出的值，從而求出的值。9已知拋物線的焦點(diǎn)為，為此拋物線上的異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，且，則 .【答案】4【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；拋物線的定義【解析】【解答】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)?，根?jù)拋物線的定義，可得，又因?yàn)椋傻?，即，所以，解得。故答案為??！痉治觥坑深}意，得出拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，再利用結(jié)

5、合拋物線的定義，可得，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合 ，得出，所以，從而求出實(shí)數(shù)p的值。10如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足與直線所成角的大小為，則線段掃過(guò)的面積為 .【答案】【考點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用【解析】【解答】由題設(shè)，要使與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為，繞以?shī)A角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，在上掃過(guò)的面積為。故答案為：。【分析】由題設(shè)，要使與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為，再利用繞以?shī)A角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分結(jié)合圓的定義，得出點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，再利用圓的面積得出在上掃過(guò)的面積。11

6、已知實(shí)數(shù)，滿足：，則的取值范圍是 .【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，其圖象是單位圓取第一象限的部分；當(dāng)時(shí)，其圖象是雙曲線取第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，其圖象是雙曲線取第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，圖象不存在；所以方程對(duì)應(yīng)的圖象如下：，表示的是點(diǎn)到直線的距離的倍，所以的最大值為單位圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值的倍，為，雙曲線的一條漸近線方程為，直線與直線的距離為1，所以，綜上：的取值范圍是。故答案為：。【分析】利用已知條件結(jié)合絕對(duì)值的定義和分類討論的方法以及圓、雙曲線的定義和圓、雙曲線在各象限的圖像，進(jìn)而畫出方程對(duì)應(yīng)的圖象，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出表示的是點(diǎn)到直線的距離的倍，所以的最大值

7、為單位圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值的倍，則，再利用雙曲線的漸近線方程求解方法得出雙曲線的一條漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出直線與直線的距離為1，進(jìn)而求出的取值范圍。12已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程有解，方程也有解，則的值的集合為 .【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題【解析】【解答】由題可知，不妨設(shè)，對(duì)于，對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程有解，當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以，綜上得：；對(duì)于，對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程也有解，當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以；當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以恒成立，所以，所以的值的集合為。故答案為：。【分析】由題可知，不妨設(shè)，對(duì)于，對(duì)任

8、意實(shí)數(shù)，方程有解，再利用分類討論的方法結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解方法，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m的值，對(duì)于，對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程也有解，再利用分類討論的方法結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解方法，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)n的值，從而求出m+n的值，進(jìn)而求出的值的集合。二、單選題13設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足，那么是的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件【答案】C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【解析】【解答】由題設(shè)，中不等式等價(jià)于，可得；中不等式有，可得；是的充要條件。故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，從而推出是的充要條件。14設(shè)函數(shù)，其中，若對(duì)任意的恒成立，

9、則下列結(jié)論正確的是（）AB的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C在上單調(diào)遞增D過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)【答案】D【考點(diǎn)】不等式比較大??；正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性；正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值【解析】【解答】由題意，而函數(shù)在處取得最大值，所以，所以，則.對(duì)A，因?yàn)?，即，A不符合題意；對(duì)B，因?yàn)?，所以B不符合題意；對(duì)C，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以C不符合題意；對(duì)D，因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，所以過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象必有公共點(diǎn)，D符合題意.故答案為：D.【分析】由題意結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的圖像求最值的方法，進(jìn)而得出函數(shù)在處取得最大值，所以，所以求出角的正切值，進(jìn)而求出a,

10、b的關(guān)系式，從而得出函數(shù)的解析式為。再利用兩角和的正弦公式結(jié)合代入法和正弦型函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出的大?。辉倮谜倚秃瘮?shù)的圖象的對(duì)稱性判斷出函數(shù) 的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱；再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象的對(duì)稱性判斷出正弦型函數(shù)在上單調(diào)性；利用正弦型函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的最大值為，再利用，所以過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象必有公共點(diǎn)，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。15設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果，則（）A且B且C且D且【答案】B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)【解析】【解答】 ， ，數(shù)列為等差數(shù)列， ， ，。故答案為：B.【分析】利用已知條件得出，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而得出，。16已知，復(fù)數(shù)（其

11、中i為虛數(shù)單位）滿足，給出下列結(jié)論：的取值范圍是；的取值范圍是；的最小值為2；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】C【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用；橢圓的定義；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系【解析】【解答】由，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為短半軸長(zhǎng)，為半焦距的橢圓.由橢圓定義可知，正確；表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，易知橢圓短軸上的端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，分別為1和2，故的取值范圍是，正確；表示橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程并化簡(jiǎn)得：，根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系可知，的取值范圍是，正

12、確；根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，錯(cuò)誤.故答案為：C.【分析】利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，從而求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，進(jìn)而結(jié)合得出，再利用橢圓的定義，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為短半軸長(zhǎng)，為半焦距的橢圓，再由橢圓定義可知 成立；再利用兩點(diǎn)距離公式得出表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，易知橢圓短軸上的端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，分別為1和2，進(jìn)而求出的取值范圍；再利用兩點(diǎn)求斜率公式得出表示橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合判別式法得出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系可知的取值范圍；利用已知條件結(jié)合均值不等式變

13、形求最值的方法，從而得出 的最小值 ，進(jìn)而找出結(jié)論正確的個(gè)數(shù)。三、解答題17如圖，在直三棱柱中，已知，.（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面所成的角的大小.【答案】（1）解：已知直三棱柱，則平面，則，又，可得，則，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，則為四棱錐的高，且，所以四棱錐的體積為：.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，則，而，且平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，在中，所以，得.即直線與平面所成的角的大小.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面所成的角【解析】【分析】（1） 在直三棱柱，則平面，再利用線面垂直的定義得出線線垂直，則，再利用已知條件，結(jié)合勾股定理得出，再利用線線垂直證

14、出線面垂直，所以平面，則為四棱錐的高，且，再利用四棱錐的體積公式，進(jìn)而求出四棱錐的體積。（2） 取的中點(diǎn)，連接，再利用等腰三角形三線合一，則，再利用平面結(jié)合線面垂直的定義得出線線垂直，則，再利用線線垂直證出線面垂直，所以平面，則為直線與平面所成的角，在中，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用正弦函數(shù)的定義得出的值，再結(jié)合反三角函數(shù)值求解方法，進(jìn)而求出直線與平面所成的角的大小。18在平面直角坐標(biāo)系中，在以原點(diǎn)為圓心半徑等1的圓上，將射線繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后交該圓于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).（1）如果，求的值（用表示）；（2）如果，求的值.【答案】（1）由題設(shè)知：，則，而，則，時(shí)，；，時(shí)，.（2）由

15、題設(shè)，可得，又，.【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用【解析】【分析】（1） 由題設(shè)知：，則，再利用兩角和的正弦公式得出，再結(jié)合兩角和的余弦公式得出，進(jìn)而得出，再利用，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出，再利用分類討論的方法用m表示出 的值。（2） 由題意得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得的值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出 的值。19某地政府決定向當(dāng)?shù)丶{稅額在4萬(wàn)元至8萬(wàn)元（包括4萬(wàn)元和8萬(wàn)元）的小微企業(yè)發(fā)放補(bǔ)助款，發(fā)放方案規(guī)定：補(bǔ)助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補(bǔ)助款不低于納稅額的50%.設(shè)企業(yè)納稅額為（單位：萬(wàn)元）

16、，補(bǔ)助款為（單位：萬(wàn)元），其中為常數(shù).（1）分別判斷，時(shí)，是否符合發(fā)放方案規(guī)定，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)符合發(fā)放方案規(guī)定，求的取值范圍.【答案】（1）若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，顯然在上恒大于0，滿足題意.若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，易知，不合題意.所以時(shí)，符合發(fā)放方案規(guī)定，時(shí)，不符合發(fā)放方案規(guī)定.（2）由題意，在上單調(diào)遞增，則.令，由題意，在上恒成立，若，在上單調(diào)遞增，則，于是；若，在上單調(diào)遞減，則，舍去；若，則，舍去.所以.綜合得：.【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)恒成立問(wèn)題【解析】【分析】（1） 利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，從而求出二次函數(shù)的單調(diào)性，再

17、結(jié)合二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，從而判斷出二次函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出二次函數(shù)的最小值，再結(jié)合已知條件得出當(dāng)時(shí)，符合發(fā)放方案規(guī)定，當(dāng)時(shí)，不符合發(fā)放方案規(guī)定。（2） 由題意結(jié)合二次函數(shù)的圖象，從而判斷出二次函數(shù)的單調(diào)性，再利用二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得出實(shí)數(shù)b的取值范圍；令，由題意，在上恒成立，再利用分類討論的方法結(jié)合二次函數(shù)的圖象的單調(diào)性，進(jìn)而求出二次函數(shù)的最小值，再結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解方法，進(jìn)而結(jié)合并集的運(yùn)算法則，從而求出實(shí)數(shù)b的取值范圍。20已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）若直線的傾斜角為時(shí)，求的值；（2）若點(diǎn)在第一象限，滿足，求的值；（3）在軸上是否

18、存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）解：由橢圓，可得，則，所以，又因?yàn)橹本€的傾斜角為，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，即.（2）解：設(shè)，可得，因?yàn)?，即，整理得，由且，解得，即，又由，所以直線的方程為，令，解得，即.（3）解：當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，設(shè)，可得，則，令，可得，解得，此時(shí)點(diǎn)，；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，若點(diǎn)，則成立；所以存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【解析】【分析】（1） 由橢圓，可得的值，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式

19、，從而求出c的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即，再利用直線的傾斜角為結(jié)合直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系式，可得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程為，再利用賦值法，令，解得，從而結(jié)合已知條件得出t的值。（2） 設(shè)，再利用向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，即，再利用結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出，由且，從而解方程組求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)求斜率公式得出直線的斜率的值，再結(jié)合點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用賦值法，令，解得，再結(jié)合已知條件得出t的值。(3)利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的斜截式方程為，再利用直線與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理，得出且，設(shè)，再利用向量的坐標(biāo)表示得出，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，再利用賦值法，令，可得n的值，進(jìn)而求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而求出的值；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，若點(diǎn)，則成立，所以存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)。21已知集合，.中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)的和.（1）求；（2）如果，求和的值；（3）