數(shù)字信號處理習(xí)題答案：第二章 離散時(shí)間信號與系統(tǒng)

1、 第二章 離散時(shí)間信號與系統(tǒng)2.1 有一任意線性系統(tǒng),其輸入為，輸出為，證明：若對所有， =0，則對所有也必須為零。 證明：設(shè),因?yàn)閷τ谒?所以 由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理，因此 2.2利用線性的定義式(2.25),證明:理想延時(shí)系統(tǒng)(例2.1)和滑動平均系統(tǒng)(例2.2)都是線性系統(tǒng).證明： （1）理想延時(shí)系統(tǒng)使 理想延時(shí)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）滑動平均系統(tǒng) 使 則 = =滑動平均系統(tǒng)也是線性系統(tǒng)。2.3對于下列系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)是否是（1）穩(wěn)定的，（2）因果的，（3）線性的，（4）是不變的，和（5）無記憶的。（a） （已知）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）（a）解： （已知）令，由線性系

2、統(tǒng)的定義,則 系統(tǒng)是線性的而 系統(tǒng)是時(shí)變的若是有界輸入序列，而又是已知的，那么它們的乘積也是有界的，即系統(tǒng)在有界輸入有界輸出（BIBO）意義下是穩(wěn)定的。由無記憶系統(tǒng)的條件，每一個(gè)值上的輸出只決定于同一值上的輸入，顯然該系統(tǒng)是無記憶的。由因果系統(tǒng)的定義，輸出序列在的值僅僅取決于輸入序列在得值，可以判斷系統(tǒng)是因果的。（b） 解：，該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了從以前某時(shí)刻到的序列求和。顯然是有記憶的。令，由線性系統(tǒng)的定義,則系統(tǒng)是線性的又，系統(tǒng)是時(shí)不變的。系統(tǒng)的輸出只由時(shí)刻以前的序列值決定，那么系統(tǒng)是因果的。當(dāng)輸入為有界序列時(shí)，雖然這個(gè)響應(yīng)是有限的，然而卻是無界的，不存在一個(gè)固定的有限正數(shù)，使對于全部的都成立，系統(tǒng)

3、為不穩(wěn)定系統(tǒng)。（c）解：，該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了從以前某時(shí)刻到的序列求和。顯然是有記憶的。令，由線性系統(tǒng)的定義,則系統(tǒng)是線性的系統(tǒng)的輸出不是只由時(shí)刻以前的序列值決定，還與未來的序列值有關(guān)，那么該系統(tǒng)是非因果的。當(dāng)輸入為有界序列時(shí)，雖然這個(gè)響應(yīng)是有限的，然而卻是無界的，不存在一個(gè)固定的有限正數(shù)，使對于全部的都成立，系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。又，系統(tǒng)是時(shí)不變的?？梢缘贸鱿到y(tǒng)是：線性的、時(shí)不變的、不穩(wěn)定的、非因果的、有記憶的。（d） 解：,顯然這是個(gè)理想的延遲系統(tǒng)，它是線性時(shí)不變的、穩(wěn)定的、無記憶的因果系統(tǒng)。（e）解：令，由線性系統(tǒng)的定義,則系統(tǒng)是非線性的而，該系統(tǒng)是時(shí)不變的。輸出序列在的值僅僅取決于輸入序列在得值，

4、可以判斷系統(tǒng)是因果的由無記憶系統(tǒng)的條件，每一個(gè)值上的輸出只決定于同一值上的輸入，顯然該系統(tǒng)是無記憶的。對于一個(gè)有界輸入，指數(shù)預(yù)算不能確定一個(gè)輸出的上界。綜上，該系統(tǒng)是一個(gè)非線性、時(shí)不變、不穩(wěn)定、無記憶的因果系統(tǒng)。（f）解：令，由線性系統(tǒng)的定義,則系統(tǒng)是非線性的，該系統(tǒng)是時(shí)不變的輸出序列在的值僅僅取決于輸入序列在得值，可以判斷系統(tǒng)是因果的由無記憶系統(tǒng)的條件，每一個(gè)值上的輸出只決定于同一值上的輸入，顯然該系統(tǒng)是無記憶的。若是有界輸入序列，有界輸入對應(yīng)有界輸出（BIBO），該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。綜上可知：該系統(tǒng)是非線性、時(shí)不變、穩(wěn)定的、因果無記憶系統(tǒng)。（g）,仿照以上判據(jù)可知，顯然是線性的、時(shí)不變的、穩(wěn)定

5、的、有記憶的、非因果的系統(tǒng)（這是因?yàn)樵跁r(shí)，系統(tǒng)需要有未卜先知的功能） （h） 令，由線性系統(tǒng)的定義,則系統(tǒng)是非線性的，該系統(tǒng)是時(shí)變的輸出序列在的值僅僅取決于輸入序列在得值，可以判斷系統(tǒng)是因果的由無記憶系統(tǒng)的條件，每一個(gè)值上的輸出只決定于同一值上的輸入，顯然該系統(tǒng)是無記憶的 由于是已知序列，可以有以上的判據(jù)得出系統(tǒng)是非線性、時(shí)變的、因果、穩(wěn)定、無記憶的、穩(wěn)定的系統(tǒng)。2.4 圖P2.4中系統(tǒng)T已知是時(shí)不變的，當(dāng)系統(tǒng)輸入是、和時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)分別為、和，如圖所示。（a）確定系統(tǒng)是否為線性的。（b）如果系統(tǒng)的輸入是時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)是什么？（c）對于任意的輸入，系統(tǒng)的輸出能唯一確定嗎？圖P2.4解： （a）

6、否。（b）。（c）僅對給定信號（、和）的時(shí)移信號能得到確定的響應(yīng)信號。2.5 圖P2.5中系統(tǒng)L已知是線性的，圖中示出三種輸出信號，和分別是對輸入信號，和的響應(yīng)。 圖P2.5確定系統(tǒng)L能否是時(shí)不變的。如果系統(tǒng)L的輸入是，系統(tǒng)響應(yīng)是什么？解：和相對應(yīng)的線性組合如下圖所示： （a）由圖可知，由移位所得，而不可能由移位得到L不是時(shí)不變的。 (b) 為時(shí)，如所示。2.6對圖P2.6中每一對序列,利用離散卷積求沖擊響應(yīng)為的線性時(shí)不變系統(tǒng)對輸入 的響應(yīng). 解:（a）(b)（c）如圖 （d）如圖 2.7 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖P2.7所示，求出并畫出該系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)。 解：已知系統(tǒng)（LTI）的如

7、題圖P2.7所示,當(dāng)輸入時(shí)，設(shè)輸出序列為,2.8 一個(gè)離散時(shí)間時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是，若輸入是一個(gè)周期序列，周期為，即。證明：輸出也是一個(gè)周期序列，周期為。證明：對于LTI系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)：。結(jié)論得證。一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)沖激響應(yīng)為 。 求該系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)。如圖P2.9所示，并描述如下： 圖P2.9解: 當(dāng) 當(dāng) 2.10已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)除去在區(qū)間內(nèi)均為零.已知輸入內(nèi)均為零.其結(jié)果就是輸出除去某一區(qū)間內(nèi)都為零.試用. 除N個(gè)連續(xù)點(diǎn)外都為零,除M個(gè)連續(xù)點(diǎn)外也都是零,試問對不為零的最大連續(xù)點(diǎn)數(shù)是多少?解:（a）（b）N+M-12.11按卷積和直接計(jì)算，求沖激響應(yīng)為的線性時(shí)不變系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

8、，。解:2.12 證明：線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性，就是要求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足條件，當(dāng)時(shí)，。提示：可先證明如果時(shí)的話，系統(tǒng)不可能是因果的；然后再證明如果時(shí)的話，系統(tǒng)必定是因果的。證明：對于LTI系統(tǒng)，恒有。必要性：利用。若系統(tǒng)因果，則必然有在時(shí)間上超前或同步于，即，。即當(dāng)時(shí)，必有。必要性得證。充分性：利用。當(dāng)時(shí)?？梢钥礊樵跁r(shí)刻點(diǎn)之前的得線性疊加。即充分性得證。在2.5節(jié)中曾提到，齊次差分方程 （P2.13-1）的解具有如下形式 ， （P2.13-2）式中是任意的，是下列多項(xiàng)式的根 ， （P2.13-3）也即 。 （P2.13-4）求下列查分方程齊次解的一般形式 。（P2.13-5）若，求齊次解中的

9、系數(shù)。現(xiàn)在考慮如下差分方程。（P2.13-6） 如果齊次解中僅包含式（P.2.132）中的那些項(xiàng)，證明：初始條件 和不能被滿足。（d）如果（P2.13-3）中有兩個(gè)根是相同的，那么代替式（P.2.13-2）的將是 ， （P2.13-7） 式中已假定是重根，利用式（P2.13-7）對式（P2.13-6）求的一般形式。明確地證明，你的答案在滿足時(shí)滿足式（P2.13-6）。（e）若 和，求在（d）中所求得的齊次解中的系數(shù)和。解：(a) 對應(yīng)特征方程為 （b） 解之得：（c）對應(yīng)特征方程為 由P2.13-2式，方程的齊次解為 而有 顯然，兩式相矛盾 僅由P2.13-2式中的那些項(xiàng)，和不能滿足。設(shè)則 在

10、滿足時(shí)滿足P2.13-6式 （e） 解之得：2.14有線性常系數(shù)差分方程:當(dāng).解: 當(dāng)n=0時(shí), 當(dāng)n=1時(shí), 當(dāng)n=2時(shí), 2.15有一個(gè)系統(tǒng)的輸入為,輸出為,且滿足下列差分方程：該系統(tǒng)是因果的且滿足初始松弛的條件，即若，則有，。若，求（對全部的n）。系統(tǒng)是線性的嗎？試證明之。系統(tǒng)是時(shí)不變的嗎？試證明之。解:該系統(tǒng)的差分方程如下： , 而且該系統(tǒng)是因果且是松弛的。若，有系統(tǒng)松弛的條件有，x-1=0,則y-1=0,當(dāng)時(shí)，,而，相繼代入可得的閉式解:證明：令，由線性系統(tǒng)的定義,則 所以系統(tǒng)是線性的。 （c）證明： 假設(shè)系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)，由時(shí)不變特性： 這與假設(shè)矛盾，所以原系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。2.16

11、 有一系統(tǒng)，輸入為，輸出為，輸入/輸出關(guān)系由下列兩個(gè)性質(zhì)決定：1；2。（a）確定系統(tǒng)是否為時(shí)不變的；（b）確定系統(tǒng)是否為線性的；（c）假定差分方程（性質(zhì)1）仍然不變，而，這會改變（a）和（b）的答案嗎？解：（a）(b)( = 1 * roman i)；( = 2 * roman ii)。用遞推法求解個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的輸出：；時(shí)變性：很明顯，故而該系統(tǒng)時(shí)變。線性： 很明顯，故系統(tǒng)非線性。（c）當(dāng)條件變?yōu)? = 1 * roman i)；( = 2 * roman ii)。仍用遞推法可得到：；時(shí)不變性：很明顯，故而該系統(tǒng)仍然時(shí)變。線性：此時(shí)，。即系統(tǒng)性。 2.17 一個(gè)因果線性時(shí)不變系統(tǒng)由下列差分方程描述

12、： 。求系統(tǒng)的齊次響應(yīng)，也即在時(shí)，對全部可能的輸出。求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 解：(a) 對應(yīng)齊次特征方程為 方程的齊次通解為 。（b） 化為頻率響應(yīng)形式為 （c）系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 2.18一線性時(shí)不變系統(tǒng),其輸入輸出滿足如下差分方程求其頻率響應(yīng). 有一系統(tǒng),其頻率響應(yīng)為寫出表征該系統(tǒng)的差分方程.解：（a）兩邊均進(jìn)行付氏變換得：（b） 兩邊進(jìn)行付氏反變換得： 2.19 下列離散時(shí)間信號中，那些能夠任何穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)？(a) (b) (c) (d) (e) 解：LTI穩(wěn)定系統(tǒng)的特征函數(shù)與相應(yīng)的特征值相乘來表示輸出序列。由線性系統(tǒng)滿足疊加性可知（b）,(c)能夠作為穩(wěn)定線性

13、系統(tǒng)的特征函數(shù)。2.20 一線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，求系統(tǒng)對激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)所以： 2.21 有三個(gè)系統(tǒng)A，B和C，其輸入輸出如圖P2.21所示，試確定是否每一個(gè)系統(tǒng)都能是LTI的，若你的答案是是的，那么請指出是否還有另外的LTI系統(tǒng)也具有給出的輸入/輸出對關(guān)系，清楚地說明你的答案。 圖P2.21 解：系統(tǒng)A不是LTI的，因?yàn)槿粝到y(tǒng)為時(shí)不變的，當(dāng)輸入為時(shí)，輸出應(yīng)為，所以系統(tǒng)A不能同時(shí)滿足線性。所以不是LTI的。 系統(tǒng)B是線性的，但不是時(shí)不變的 系統(tǒng)C同時(shí)滿足線性和時(shí)不變性，所以是LTI的 2.22 在圖P2.22的非線性系統(tǒng)中,輸出M是這里記做幅度.因?yàn)镸是在全部時(shí)間上(也即全

14、部n)的最大值,所以是一個(gè)常數(shù). 假設(shè)是一個(gè)復(fù)指數(shù)為M是不同的:也就是說,對于這一類輸入,M是的函數(shù),記做. 確定來說是否是周期的,若是,求出該周期. 解:因?yàn)樯鲜脚cn無關(guān)，所以因此是周期的，2.23 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：該系統(tǒng)的輸入是一個(gè)周期N=16的周期單位沖激串，即.求系統(tǒng)的輸出。解：又 Fxn =。（F代表傅立葉變換）系統(tǒng)通過一低通濾波器，2.24 有一種常用的數(shù)值運(yùn)算叫做一階差分，定義為，這里為一階差分的輸入，為輸出。（a）證明該系統(tǒng)是線性時(shí)不變的；（b）求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；（c）求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并畫出頻率響應(yīng)圖；（d）證明：若，則其中記做離散卷積。（e）設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)

15、，寫出沖激響應(yīng)的表達(dá)式。要求所設(shè)計(jì)系統(tǒng)與一階差分系統(tǒng)級聯(lián)時(shí)，能恢復(fù)出，即要求。（a）證明：設(shè)兩個(gè)輸入信號和，分別對應(yīng)輸出和。即；。( = 1 * roman i)線性：( = 2 * roman ii)時(shí)變性：；。即，故而系統(tǒng)時(shí)不變。（b）解：由可得：（c）解：頻譜圖如圖解2.24。圖解2.24（d）證明：同理：（e）令，即： 得：。 考慮圖P2.25的系統(tǒng)， 圖P2.25求整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。求整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。給出聯(lián)系輸出和輸入的差分方程。該系統(tǒng)是因果的嗎？在什么條件下該系統(tǒng)是穩(wěn)定的？解:(a） （b） (c) 差分方程形式為 由于當(dāng)時(shí)，所以系統(tǒng)是因果的。由（a）可知，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，

16、系統(tǒng)時(shí)穩(wěn)定的。2.26令一般是復(fù)數(shù). 利用式(2.92),證明的系統(tǒng)的頻率響應(yīng),這里*記做復(fù)共軛. 為實(shí),頻率響應(yīng)就是共軛對稱的,即.解:（a）證明：由（2.92）可得 將3）與1）比較可得的頻率響應(yīng)。（b）由1）式可得： 為實(shí)數(shù) 而 2.27 若，求出并畫出下列以為變量的函數(shù)。解： （a） ,偶函數(shù)，如下圖：（b） ,奇函數(shù)，如下圖：（c）,偶函數(shù)，如下圖：（d） ，奇函數(shù)，如下圖：2.28 （a）求序列的傅里葉變換（b）考慮序列，畫出，并利用的傅里葉變換來表示的傅里葉變換。提示：先利用和復(fù)指數(shù)、來表示。（c）畫出和的幅度特性。解：（a）（b）如圖解2.28-1。圖解2.28-1 其中 （c

17、）和的幅度特性如圖解2.28-2。2.29 令是的傅立葉變換，利用傅立葉變換綜合式或分析式式(2.112)和式(2.113)證明： （a） 的傅立葉變換是。 （b） 的傅立葉變換是。 解： (a) 所以，的傅立葉變換為。 （b） 所以，的傅立葉變換是2.30對為實(shí)序列證明:表2.1性質(zhì)7直接可由性質(zhì)1得到,而性質(zhì)811可直接由性質(zhì)7得到.證明：1）為實(shí)序列對上式兩邊進(jìn)行傅立葉變換，利用性質(zhì)1可得：性質(zhì)7得證。 2）上式可改寫成如下形式： =其中均為實(shí)數(shù)。 性質(zhì)8 性質(zhì)9將性質(zhì)7改寫如下： 性質(zhì)10 性質(zhì)112.31 在2.9節(jié)陳述的幾個(gè)傅立葉變換定理都沒有作證明，請用傅立葉分析或綜合式，證明表

18、2.2中定理1-5的真實(shí)性證：令，的傅氏變換分別為。由DTFT的定義知（2） 也就是說，時(shí)移定理得證。（3） （4）（5） 2.32 利用卷積和的傅里葉變換證明其中、和分別為系統(tǒng)輸出、沖激響應(yīng)和輸入的傅里葉變換。證明：作變量替換，則得：2.33 將傅立葉綜合式（2.112）應(yīng)用到式（2.151）中，并利用表2.2中的定理3，說明調(diào)制定理（表2.2中定理7）的真實(shí)性。 證明: 所以 的傅立葉變換為2.34令為復(fù)序列,為它們的傅立葉變換.利用卷積定理(表2.2中定理6)以及表2.1中適當(dāng)?shù)男再|(zhì),求一個(gè)序列,其傅立葉變換是,并用來表示該序列.的結(jié)果,證明 (P2.34) 式(P2.34)是2.9.5

19、節(jié)中給出的帕斯瓦爾定理更一般的形式.利用式(P2.34),求下列和式的數(shù)值解. 解：（a） （b）而時(shí)，有 （c） 2.35 令是的傅立葉變換，如圖P2.35所示。不需要明確求出而完成下列計(jì)算。求求求求出并畫出傅立葉變換是的信號。解：如圖示，令為的傅氏變換。 （1）可以看成是一個(gè)實(shí)偶序列移位得到，（3）（4） 2.36 令和分別代替一個(gè)序列及其傅里葉變換，利用求、和的變換。并且，畫出每一種情況下，相應(yīng)與圖P2.36所示的的。（a）采樣器：（b）壓縮器：（c）擴(kuò)展器：提示：，而。圖P2.36解：設(shè)圖解2.36-1（a）所示，則相應(yīng)的、和有如圖解2.36-1（b）、（c）和（d）所示的信號。圖解2

20、.36-1（a）（b）（c）故可得相對應(yīng)的頻譜關(guān)系如圖解2.36-2。圖解2.36-2 2.37 對圖P2.37系統(tǒng)，當(dāng)輸入時(shí)，求輸出，是一個(gè)理想低通濾波器，即 圖P2.37 解： 2.38令都是平穩(wěn),不相關(guān)隨即信號,證明:如果,那末.證明: 互不相關(guān) 2.39令是一個(gè)白噪聲序列，是一個(gè)與不相關(guān)的序列。證明序列 也是白噪聲序列，即，式中A是一個(gè)常數(shù)。證： 2.40 設(shè)是一個(gè)實(shí)平穩(wěn)白噪聲過程，且均值為零，方差為。令是一個(gè)沖激響應(yīng)為的線性時(shí)不變系統(tǒng)當(dāng)輸入為時(shí)的輸出。證明：（a）（b）2.40 證明：（a）其中白噪聲。令，則有：。（b）當(dāng)時(shí)，顯然有。作變量代換，則有：其中為的自相關(guān)序列。又 令是一個(gè)時(shí)平穩(wěn)白噪聲序列，均值為零，方差為，將輸入到兩個(gè)因 果的線性時(shí)不變系統(tǒng)的級聯(lián)上去，如圖P2.41所示。(a) 成立嗎？（