ARIMA非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析課件

1、ARIMA非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析本章結(jié)構(gòu)差分運(yùn)算ARIMA模型Auto-Regressive模型異方差的性質(zhì)方差齊性變化條件異方差模型5.1 差分運(yùn)算差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)差分方式的選擇過(guò)差分差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)差分方法是一種非常簡(jiǎn)便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息 差分方式的選擇序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn) 序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響 對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息 例5.1

2、【例1.1】1964年1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列蘊(yùn)含著一個(gè)近似線性的遞增趨勢(shì)。對(duì)該序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算 考察差分運(yùn)算對(duì)該序列線性趨勢(shì)信息的提取作用 差分前后時(shí)序圖原序列時(shí)序圖差分后序列時(shí)序圖例5.2嘗試提取1950年1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息差分后序列時(shí)序圖一階差分二階差分例5.3差分運(yùn)算提取1962年1月1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息 差分后序列時(shí)序圖一階差分1階12步差分過(guò)差分 足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過(guò)度的差分會(huì)造成有用信息的浪費(fèi) 例5.4假設(shè)序列如下 考察一階差分后序列和二階差分序列 的平穩(wěn)性與方差 比較

3、一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過(guò)差分）平穩(wěn)方差大5.2 ARIMA模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型性質(zhì)ARIMA模型建模ARIMA模型預(yù)測(cè)疏系數(shù)模型季節(jié)模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場(chǎng)合差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)ARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model隨機(jī)游走模型( random walk)模型結(jié)構(gòu)模型產(chǎn)生典故Karl Pearson(1905)在自然雜志上提問(wèn)：假如有個(gè)醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方

4、向感，把他放在荒郊野外，一段時(shí)間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個(gè)特征根，其中p個(gè)在單位圓內(nèi)，d個(gè)在單位圓上 。所以當(dāng) 時(shí)ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。例5.5ARIMA(0,1,0)時(shí)序圖ARIMA模型的方差齊性 時(shí)，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)差分運(yùn)算YN白噪聲檢驗(yàn)Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型例5.6對(duì)1952年1988年中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列建模 一階差分序列時(shí)序圖一階差分序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖一階差分后序列白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值6

5、15.330.01781218.330.10601824.660.1344擬合MA(1)模型擬合AR(1)模型擬合ARMA(1,1)模型建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著ARIMA模型預(yù)測(cè)原則最小均方誤差預(yù)測(cè)原理 Green函數(shù)遞推公式預(yù)測(cè)值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型為 且求 的95的置信區(qū)間 預(yù)測(cè)值等價(jià)形式計(jì)算預(yù)測(cè)值計(jì)算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95置信區(qū)間例5.6續(xù)：對(duì)中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測(cè) 疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系

6、數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù) 或部分移動(dòng)平滑系數(shù) 為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為 為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動(dòng)平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為 為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有省缺，可以簡(jiǎn)記為例5.8對(duì)1917年1975年美國(guó)23歲婦女每萬(wàn)人生育率序列建模 一階差分一階差分后序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖goptions vsize=7cm hsize=10cm;data a;input year x;dif=dif(x);cards;1917183.11

7、918183.91919163.11920179.51921181.41922173.41923167.61924177.41925171.71926170.11927163.71928151.91929145.419301451931138.91932131.51933125.71934129.51935129.61936129.51937132.21938134.11939132.11940137.41941148.11942174.11943174.71944156.71945143.31946189.719472121948200.41949201.81950200.71951215.

8、61952222.51953231.51954237.919552441956259.41957268.81958264.31959264.51960268.119612641962252.819632401964229.11965204.81966193.319671791968178.11969181.11970165.61971159.81972136.11973126.31974123.31975118.5;proc gplot;plot x*year dif*year;symbol c=black i=join v=square;proc arima;identify var=x(1

9、);estimate p=(1 4) noint;forecast lead=5 id=year out=out;proc gplot data=out;plot x*year=1 forecast*year=2 l95*year=3 u95*year=3/overlay;symbol1 c=black i=none v=star;symbol2 c=red i=join v=none;symbol3 c=green i=join v=none;run;疏系數(shù)模型ARIMA(1,4),1,0)建模定階ARIMA(1,4),1,0)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著季節(jié)模型簡(jiǎn)單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型

10、 簡(jiǎn)單季節(jié)模型簡(jiǎn)單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加法關(guān)系簡(jiǎn)單季節(jié)模型通過(guò)簡(jiǎn)單的趨勢(shì)差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下 例5.9擬合19621991年德國(guó)工人季度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)對(duì)原序列作一階差分消除趨勢(shì)，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時(shí)序圖如下 白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值643.840.00011251.710.00011854.480.0001差分后序列自相關(guān)圖差分后序列偏自相關(guān)圖模型擬合定階ARIMA(1,4),(1,4),0)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值62.090.719

11、15.480.00011210.990.3584-3.410.0001擬合效果圖乘積季節(jié)模型使用場(chǎng)合序列的季節(jié)效應(yīng)、長(zhǎng)期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡(jiǎn)單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系 構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長(zhǎng)S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下 例5.10 :擬合19481981年美國(guó)女性月度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)一階、12步差分差分后序列自相關(guān)圖差分后序列偏自相關(guān)圖簡(jiǎn)單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗(yàn)AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),

12、(1,12) 值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著乘積季節(jié)模型擬合效果圖5.3 Auto-Regressive模型構(gòu)造思想首先通過(guò)確定性因素分解方法提

13、取序列中主要的確定性信息然后對(duì)殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關(guān)信息 Auto-Regressive模型結(jié)構(gòu)對(duì)趨勢(shì)效應(yīng)的常用擬合方法自變量為時(shí)間t的冪函數(shù)自變量為歷史觀察值對(duì)季節(jié)效應(yīng)的常用擬合方法給定季節(jié)指數(shù)建立季節(jié)自回歸模型例5.6續(xù)使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列。時(shí)序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢(shì)，但沒(méi)有季節(jié)效應(yīng)，所以考慮建立如下結(jié)構(gòu)的Auto-Regressive模型 趨勢(shì)擬合方法一：變量為時(shí)間t的冪函數(shù)方法二：變量為一階延遲序列值 趨勢(shì)擬合效果圖殘差自相關(guān)檢驗(yàn)檢驗(yàn)原理回歸模型擬合充分，殘差的性質(zhì)回歸模型擬合得不充分，殘

14、差的性質(zhì)Durbin-Waston檢驗(yàn)（DW檢驗(yàn)） 假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列不存在一階自相關(guān)性 備擇假設(shè)：殘差序列存在一階自相關(guān)性 DW統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量DW統(tǒng)計(jì)量和自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系DW統(tǒng)計(jì)量的判定結(jié)果正相關(guān)相關(guān)性待定不相關(guān)相關(guān)性待定負(fù)相關(guān)042例5.6續(xù) 檢驗(yàn)第一個(gè)確定性趨勢(shì)模型 殘差序列的自相關(guān)性。DW檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)論檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。DW統(tǒng)計(jì)量的值P值0.13781.421.530.0001Durbin h檢驗(yàn) DW統(tǒng)計(jì)量的缺陷當(dāng)回歸因子包含延遲因變量時(shí)，殘差序列的DW統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)有偏統(tǒng)計(jì)量。在這種場(chǎng)合下使用DW統(tǒng)計(jì)量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關(guān)性不顯著的誤判 Durb

15、in h檢驗(yàn)例5.6續(xù)檢驗(yàn)第二個(gè)確定性趨勢(shì)模型 殘差序列的自相關(guān)性。Dh檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)論檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。Dh統(tǒng)計(jì)量的值P值2.80380.0025殘差序列擬合確定自回歸模型的階數(shù)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)例5.6續(xù)對(duì)第一個(gè)確定性趨勢(shì)模型的殘差序列 進(jìn)行擬合殘差序列自相關(guān)圖殘差序列偏自相關(guān)圖模型擬合定階AR(2)參數(shù)估計(jì)方法極大似然估計(jì)最終擬合模型口徑例5.6第二個(gè)AutoRegressive模型的擬合結(jié)果三個(gè)擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRe

16、gressive模型二：250.6317253.79875.4 異方差的性質(zhì)異方差的定義如果隨機(jī)誤差序列的方差會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差異方差的影響忽視異方差的存在會(huì)導(dǎo)致殘差的方差會(huì)被嚴(yán)重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗(yàn)容易犯納偽錯(cuò)誤，這使得參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)失去意義，最終導(dǎo)致模型的擬合精度受影響。 異方差直觀診斷殘差圖殘差平方圖殘差圖方差齊性殘差圖遞增型異方差殘差圖殘差平方圖原理殘差序列的方差實(shí)際上就是它平方的期望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn) 例5.11直觀考察美國(guó)1963年4月1971年7月短期國(guó)庫(kù)券的月度收益率序列的方差齊性。 一階差分后殘差圖

17、一階差分后殘差平方圖異方差處理方法假如已知異方差函數(shù)具體形式，進(jìn)行方差齊性變化假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型 5.5 方差齊性變換使用場(chǎng)合序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系 其中： 是某個(gè)已知函數(shù)處理思路嘗試尋找一個(gè)轉(zhuǎn)換函數(shù) ，使得經(jīng)轉(zhuǎn)換后的變量滿足方差齊性轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理轉(zhuǎn)換函數(shù) 在 附近作一階泰勒展開求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定假定轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定例5.11續(xù)對(duì)美國(guó)1963年4月1971年7月短期國(guó)庫(kù)券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進(jìn)行分析 假定函數(shù)變換對(duì)數(shù)序列時(shí)序圖一階差分后序列圖白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值63.5

18、80.73371210.820.54411821.710.2452擬合模型口徑及擬合效果圖5.6 條件異方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的變體EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型ARCH模型假定原理通過(guò)構(gòu)造殘差平方序列的自回歸模型來(lái)擬合異方差函數(shù) ARCH(q)模型結(jié)構(gòu)GARCH 模型結(jié)構(gòu)使用場(chǎng)合ARCH模型實(shí)際上適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過(guò)程 GARCH模型實(shí)際上適用于異方差函數(shù)長(zhǎng)期自相關(guān)過(guò)程 模型結(jié)構(gòu)GARCH模型的約束條件參數(shù)非負(fù) 參數(shù)有界 EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型GARCH模型擬合步驟回歸擬合殘差自相關(guān)性檢驗(yàn)異方差自相關(guān)性檢驗(yàn)ARCH模型定階參數(shù)估計(jì)正態(tài)性檢驗(yàn)例5.12使用條件異方差模型擬合某金融時(shí)間序列?；貧w擬合擬合模型參數(shù)估計(jì)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)P值0.0001,參數(shù)高度顯著 殘差自相關(guān)性檢驗(yàn)殘差序列DW檢驗(yàn)