ARIMA非平穩(wěn)序列的隨機分析課件

1、ARIMA非平穩(wěn)序列的隨機分析本章結構差分運算ARIMA模型Auto-Regressive模型異方差的性質方差齊性變化條件異方差模型5.1 差分運算差分運算的實質差分方式的選擇過差分差分運算的實質差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息 差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn) 序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響 對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息 例5.1

2、【例1.1】1964年1999年中國紗年產(chǎn)量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算 考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用 差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖例5.2嘗試提取1950年1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息差分后序列時序圖一階差分二階差分例5.3差分運算提取1962年1月1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息 差分后序列時序圖一階差分1階12步差分過差分 足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費 例5.4假設序列如下 考察一階差分后序列和二階差分序列 的平穩(wěn)性與方差 比較

3、一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大5.2 ARIMA模型ARIMA模型結構ARIMA模型性質ARIMA模型建模ARIMA模型預測疏系數(shù)模型季節(jié)模型ARIMA模型結構使用場合差分平穩(wěn)序列擬合模型結構ARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model隨機游走模型( random walk)模型結構模型產(chǎn)生典故Karl Pearson(1905)在自然雜志上提問：假如有個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方

4、向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內，d個在單位圓上 。所以當 時ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。例5.5ARIMA(0,1,0)時序圖ARIMA模型的方差齊性 時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結束N擬合ARMA模型例5.6對1952年1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列建模 一階差分序列時序圖一階差分序列自相關圖和偏自相關圖一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值6

5、15.330.01781218.330.10601824.660.1344擬合MA(1)模型擬合AR(1)模型擬合ARMA(1,1)模型建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計模型檢驗模型顯著參數(shù)顯著ARIMA模型預測原則最小均方誤差預測原理 Green函數(shù)遞推公式預測值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型為 且求 的95的置信區(qū)間 預測值等價形式計算預測值計算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95置信區(qū)間例5.6續(xù)：對中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列做為期10年的預測 疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關最高階數(shù)為p，移動平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系

6、數(shù)：如果該模型中有部分自相關系數(shù) 或部分移動平滑系數(shù) 為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。疏系數(shù)模型類型如果只是自相關部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零自相關系數(shù)的階數(shù)如果只是移動平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零移動平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為例5.8對1917年1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模 一階差分一階差分后序列的自相關圖和偏自相關圖goptions vsize=7cm hsize=10cm;data a;input year x;dif=dif(x);cards;1917183.11

7、918183.91919163.11920179.51921181.41922173.41923167.61924177.41925171.71926170.11927163.71928151.91929145.419301451931138.91932131.51933125.71934129.51935129.61936129.51937132.21938134.11939132.11940137.41941148.11942174.11943174.71944156.71945143.31946189.719472121948200.41949201.81950200.71951215.

8、61952222.51953231.51954237.919552441956259.41957268.81958264.31959264.51960268.119612641962252.819632401964229.11965204.81966193.319671791968178.11969181.11970165.61971159.81972136.11973126.31974123.31975118.5;proc gplot;plot x*year dif*year;symbol c=black i=join v=square;proc arima;identify var=x(1

9、);estimate p=(1 4) noint;forecast lead=5 id=year out=out;proc gplot data=out;plot x*year=1 forecast*year=2 l95*year=3 u95*year=3/overlay;symbol1 c=black i=none v=star;symbol2 c=red i=join v=none;symbol3 c=green i=join v=none;run;疏系數(shù)模型ARIMA(1,4),1,0)建模定階ARIMA(1,4),1,0)參數(shù)估計模型檢驗模型顯著參數(shù)顯著季節(jié)模型簡單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型

10、 簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應和其它效應之間是加法關系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉化為平穩(wěn)，它的模型結構通常如下 例5.9擬合19621991年德國工人季度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節(jié)效應的影響，差分后序列的時序圖如下 白噪聲檢驗延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值643.840.00011251.710.00011854.480.0001差分后序列自相關圖差分后序列偏自相關圖模型擬合定階ARIMA(1,4),(1,4),0)參數(shù)估計模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計量P值62.090.719

11、15.480.00011210.990.3584-3.410.0001擬合效果圖乘積季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應、長期趨勢效應和隨機波動之間有著復雜地相互關聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關關系 構造原理短期相關性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設短期相關和季節(jié)效應之間具有乘積關系，模型結構如下 例5.10 :擬合19481981年美國女性月度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)一階、12步差分差分后序列自相關圖差分后序列偏自相關圖簡單季節(jié)模型擬合結果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),

12、(1,12) 值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結果擬合模型均不顯著乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12參數(shù)估計模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001結果模型顯著參數(shù)均顯著乘積季節(jié)模型擬合效果圖5.3 Auto-Regressive模型構造思想首先通過確定性因素分解方法提

13、取序列中主要的確定性信息然后對殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關信息 Auto-Regressive模型結構對趨勢效應的常用擬合方法自變量為時間t的冪函數(shù)自變量為歷史觀察值對季節(jié)效應的常用擬合方法給定季節(jié)指數(shù)建立季節(jié)自回歸模型例5.6續(xù)使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列。時序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢，但沒有季節(jié)效應，所以考慮建立如下結構的Auto-Regressive模型 趨勢擬合方法一：變量為時間t的冪函數(shù)方法二：變量為一階延遲序列值 趨勢擬合效果圖殘差自相關檢驗檢驗原理回歸模型擬合充分，殘差的性質回歸模型擬合得不充分，殘

14、差的性質Durbin-Waston檢驗（DW檢驗） 假設條件原假設：殘差序列不存在一階自相關性 備擇假設：殘差序列存在一階自相關性 DW統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量DW統(tǒng)計量和自相關系數(shù)的關系DW統(tǒng)計量的判定結果正相關相關性待定不相關相關性待定負相關042例5.6續(xù) 檢驗第一個確定性趨勢模型 殘差序列的自相關性。DW檢驗結果檢驗結果檢驗結論檢驗結果顯示殘差序列高度正自相關。DW統(tǒng)計量的值P值0.13781.421.530.0001Durbin h檢驗 DW統(tǒng)計量的缺陷當回歸因子包含延遲因變量時，殘差序列的DW統(tǒng)計量是一個有偏統(tǒng)計量。在這種場合下使用DW統(tǒng)計量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關性不顯著的誤判 Durb

15、in h檢驗例5.6續(xù)檢驗第二個確定性趨勢模型 殘差序列的自相關性。Dh檢驗結果檢驗結果檢驗結論檢驗結果顯示殘差序列高度正自相關。Dh統(tǒng)計量的值P值2.80380.0025殘差序列擬合確定自回歸模型的階數(shù)參數(shù)估計模型檢驗例5.6續(xù)對第一個確定性趨勢模型的殘差序列 進行擬合殘差序列自相關圖殘差序列偏自相關圖模型擬合定階AR(2)參數(shù)估計方法極大似然估計最終擬合模型口徑例5.6第二個AutoRegressive模型的擬合結果三個擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRe

16、gressive模型二：250.6317253.79875.4 異方差的性質異方差的定義如果隨機誤差序列的方差會隨著時間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差異方差的影響忽視異方差的存在會導致殘差的方差會被嚴重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗容易犯納偽錯誤，這使得參數(shù)的顯著性檢驗失去意義，最終導致模型的擬合精度受影響。 異方差直觀診斷殘差圖殘差平方圖殘差圖方差齊性殘差圖遞增型異方差殘差圖殘差平方圖原理殘差序列的方差實際上就是它平方的期望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn) 例5.11直觀考察美國1963年4月1971年7月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。 一階差分后殘差圖

17、一階差分后殘差平方圖異方差處理方法假如已知異方差函數(shù)具體形式，進行方差齊性變化假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型 5.5 方差齊性變換使用場合序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關系 其中： 是某個已知函數(shù)處理思路嘗試尋找一個轉換函數(shù) ，使得經(jīng)轉換后的變量滿足方差齊性轉換函數(shù)的確定原理轉換函數(shù) 在 附近作一階泰勒展開求轉換函數(shù)的方差轉換函數(shù)的確定常用轉換函數(shù)的確定假定轉換函數(shù)的確定例5.11續(xù)對美國1963年4月1971年7月短期國庫券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進行分析 假定函數(shù)變換對數(shù)序列時序圖一階差分后序列圖白噪聲檢驗延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值63.5

18、80.73371210.820.54411821.710.2452擬合模型口徑及擬合效果圖5.6 條件異方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的變體EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型ARCH模型假定原理通過構造殘差平方序列的自回歸模型來擬合異方差函數(shù) ARCH(q)模型結構GARCH 模型結構使用場合ARCH模型實際上適用于異方差函數(shù)短期自相關過程 GARCH模型實際上適用于異方差函數(shù)長期自相關過程 模型結構GARCH模型的約束條件參數(shù)非負 參數(shù)有界 EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型GARCH模型擬合步驟回歸擬合殘差自相關性檢驗異方差自相關性檢驗ARCH模型定階參數(shù)估計正態(tài)性檢驗例5.12使用條件異方差模型擬合某金融時間序列。回歸擬合擬合模型參數(shù)估計參數(shù)顯著性檢驗P值0.0001,參數(shù)高度顯著 殘差自相關性檢驗殘差序列DW檢驗