D斯托克斯公式課件

1、一、 斯托克斯公式 定理1. 設光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, (斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一證:情形1. 與平行 z 軸的直線只交于 一點, 設其方程為為確定起見, 不妨設 取上側(cè) (如圖).則有簡介 則(利用格林公式) 定理1 因此同理可證三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個, 則可通過作輔助線把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是

2、 xOy 面上的一塊平面區(qū)域, 則斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 證畢定理1 為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1 例1. 利用斯托克斯公式計算積分其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標面所截三角形的整解: 記三角形域為 , 取上側(cè),則個邊界, 方向如圖所示. 利用對稱性例2. 為柱面與平面 y = z 的交線, 從 z 軸正向看為順時針, 解: 設 為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式其他形式 計算*二、空間曲線積分與路徑無關的條件定理2. 設 G 是空間一維單連通域, 具

3、有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價: (1) 對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 , 與路徑無關(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 , 與路徑無關(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使證:由斯托克斯公式可知結論成立;(自證) 設函數(shù) 則定理2 (3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有同理可證 故有若(3)成立, 則必有因P, Q, R 一階偏導數(shù)連續(xù), 故有同理 證畢定理2 與路徑無關, 解: 令 積分與路徑無關,因此例3. 驗證曲線積分定理2 并求函數(shù)*三、 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設曲面 的

4、法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為 令 , 引進一個向量記作向量 rot A 稱為向量場 A 的稱為向量場 A 定義: 沿有向閉曲線 的環(huán)流量.或 于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度. rotation設某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動,M 為剛體上任一點, 建立坐標系如圖,則角速度為,點 M 的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學意義:向量場 A 產(chǎn)生的旋度場 穿過 的通量 注意 與 的方向形成右手系! 向量場 A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式的物理意義:例4.求電場強度 的旋度 .解: (除原點外)這說明, 在除點電荷所在原點外, 整個電場無旋.的外法向量,計算解: 例5.

5、設內(nèi)容小結1. 斯托克斯公式也可寫成:其中A 的旋度A在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影在 內(nèi)與路徑無關在 內(nèi)處處有在 內(nèi)處處有2. 空間曲線積分與路徑無關的充要條件設 P, Q, R 在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則3. 場論中的三個度設 梯度:散度:旋度:則思考與練習則提示:三式相加即得作業(yè)P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7補充題: 證明 習題課 斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家. 他是19世紀英國數(shù)學物理學派的重要代表人物之一, 其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學物理問題的有效且一般的新方法, 在1845年他導出了著名的粘性流體運動方程 ( 后