金融時(shí)間序列的多重分形分析(共32頁)

1、 金融時(shí)間(shjin)序列的多重分形分析MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES指 導(dǎo) 教 師：申請(qǐng)(shnqng)學(xué)位級(jí)別：學(xué) 士論文提交(tjio)日期：2014年6月12日摘 要 有效市場(chǎng)假說(EMH)是現(xiàn)代金融市場(chǎng)的基礎(chǔ)理論，該理論認(rèn)為市場(chǎng)的價(jià)格反映了市場(chǎng)的全部信息，市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)之間相互獨(dú)立而且不可預(yù)測(cè)，收益率服從隨機(jī)游走，收益率分布服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布.但是，現(xiàn)實(shí)中的種種限制因素決定著這一傳統(tǒng)的金融理論有著很大的局限性，實(shí)際的資本市場(chǎng)并不是傳統(tǒng)理論所描述的線性系統(tǒng)，而是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，這也意味著分形理論開始應(yīng)用在金融市場(chǎng)

2、.分形理論則認(rèn)為金融市場(chǎng)具有明顯的分形結(jié)構(gòu)和尖峰(jin fn)厚尾的分布特征，金融時(shí)間序列在一定的標(biāo)度范圍內(nèi)有著持續(xù)性與反持續(xù)性的特征，而且不同幅度的波動(dòng)能夠表現(xiàn)出多重分形特征.分形理論比有效市場(chǎng)理論更能有效揭示金融市場(chǎng)的波動(dòng)本質(zhì)，同時(shí)也能更有效地揭示出金融市場(chǎng)的基本規(guī)律.本文選取上證綜指（上海證券綜合指數(shù)）和深證成指（深圳證券成分指數(shù)）2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盤價(jià)的股指收益數(shù)據(jù)位樣本，分別采取R/S、DFA、MF-DFA方法對(duì)我國(guó)股市的分形及多重分形特征進(jìn)行實(shí)證研究與分析.主要驗(yàn)證了兩時(shí)間序列的分形及多重分形特征；分析比較(bjio)了兩時(shí)間序列的市場(chǎng)有效性特征，通

3、過計(jì)算并比較的大小，得出(d ch)了上海證券市場(chǎng)比深證證券市場(chǎng)有效；分析比較了兩時(shí)間序列的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，通過計(jì)算并比較多重分形譜的寬度，得出了上海證券市場(chǎng)存在的風(fēng)險(xiǎn)比深證證券市場(chǎng)的要大.關(guān)鍵詞：分形； 多重分形； 廣義Hurst指數(shù)；市場(chǎng)有效性； 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)ABSTRACT Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market

4、, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories ha

5、ve great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory.The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal st

6、ructure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital mark

7、et theory, and can effectively reveal basic law of the finance market. This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S,

8、DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics, by analysis the effectiveness of market of two time series, and give

9、 the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market, by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market.Key word: Fractal; multi-fractal; generalized h

10、urst exponent; stock market efficiency; financial market risk目 錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc32689 1 引言(ynyn) 1 引言(ynyn)1.1 研究背景(bijng)與意義 1.1.1 研究(ynji)背景中國(guó)的金融市場(chǎng)從20世紀(jì)90年代興起以來，直到現(xiàn)在在中國(guó)的經(jīng)濟(jì)體系中它已成為了一個(gè)重要的成分.金融在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中處于核心的地位，它在促進(jìn)生產(chǎn)要素的重新組成以及建立一個(gè)不斷完善的社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，占據(jù)著越來越重要的地位，同時(shí)金融市場(chǎng)在促進(jìn)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的發(fā)展與優(yōu)化資源配置等各個(gè)方面也起著

11、很重要的作用.現(xiàn)在，股票市場(chǎng)更為投資者提供了投資的主要渠道，而且股票價(jià)格的變動(dòng)也為股票市場(chǎng)的變動(dòng)提供了重要的信息，與此同時(shí)，不斷發(fā)展起來的股票市場(chǎng)更需要理論作為其堅(jiān)實(shí)的后盾.自形成以來，金融經(jīng)濟(jì)學(xué)一直以一個(gè)線性的范式為引導(dǎo)，由此而發(fā)展起來的.有效市場(chǎng)假說成為了現(xiàn)代金融學(xué)的基石，有效市場(chǎng)假說（Efficient Markets Hypothesis），簡(jiǎn)記為EMH，它是在1970年由尤金法瑪經(jīng)過深刻研究并提出來的.EMH的意義在于：在任何時(shí)刻證券的價(jià)格都是完全并正確地反映出所有可以獲取的信息.有效市場(chǎng)假說指的是一種理想狀態(tài)，實(shí)際上它體現(xiàn)的是一種均衡、平等競(jìng)爭(zhēng)的思想.而在這樣的假定下，價(jià)格能夠反映

12、出所有的相關(guān)信息，而且價(jià)格的波動(dòng)相互之間是獨(dú)立的，是無法預(yù)測(cè)到未來價(jià)格變動(dòng)的，價(jià)格的收益率服從隨機(jī)游走，收益率的分布呈現(xiàn)出正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的分布.以經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的觀點(diǎn)來看，在有效的市場(chǎng)中，要想連續(xù)不斷地獲取到超額的利潤(rùn)是幾乎不可能實(shí)現(xiàn)的.有效市場(chǎng)假說是當(dāng)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的支柱性理論之一，雖然該理論指的是理想狀態(tài)，沒有考慮現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的各種因素影響，但金融市場(chǎng)的這種線性范式已經(jīng)成為了金融學(xué)進(jìn)行研究的主流，之后的理論都是以它為基礎(chǔ)發(fā)展起來的. 隨著學(xué)者們的深入學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了最近不斷涌現(xiàn)一些反面的例子，這使人們所熟知的有效市場(chǎng)假說遭遇了很大的沖擊，有效市場(chǎng)理論無法對(duì)這些異象作出合理的解釋.比如：小公司效應(yīng)，小市值

13、的公司股票收益率并不小于大市值的公司股票收益率；雖然小公司股票的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)比較大，但是，長(zhǎng)期投資于小公司的股票卻獲得了較高的收益；于1987年出現(xiàn)的異?！昂谏瞧谝弧爆F(xiàn)象，美國(guó)的股市在這一年10月19日的股災(zāi)中的平均指數(shù)頓時(shí)暴跌；“一月效應(yīng)”，也就是每年的一月份，股票價(jià)格一般會(huì)有比較高的漲幅程度，從而可以獲得到超額的收益，而且，這幾乎可以算得上是一種可以預(yù)測(cè)的現(xiàn)象.“輸家贏家效應(yīng)”，研究結(jié)果表明，前一期絕對(duì)的輸方，也就是虧損者趨向于被低估，而前一期絕對(duì)的贏方則會(huì)相反趨向于被高估.另外，金融市場(chǎng)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)則開始出現(xiàn)了長(zhǎng)記憶性、尖峰厚尾等特征.由于諸多異?，F(xiàn)象的存在，越來越多的學(xué)者開始從不同的角度做

14、出了深入探索，研究成果也各不相同.他們開始將目光轉(zhuǎn)移到非線性系統(tǒng)，并從非線性系統(tǒng)的角度來分析和研究金融市場(chǎng)，分形理論作為非線性科學(xué)理論中的一個(gè)非常重要的部分，也開始應(yīng)運(yùn)而生，它在金融市場(chǎng)的分析研究中占據(jù)著極其重要的成分. 最初分形理論的研究比較集中在金融市場(chǎng)的單分形特征上，但是單分形僅僅能夠描述出股價(jià)波動(dòng)的長(zhǎng)期性的統(tǒng)計(jì)行為，適用于對(duì)全局的統(tǒng)計(jì)，對(duì)局部過程的詳細(xì)描述卻不夠全面，不能滿足人們的研究需要.為了使價(jià)格的波動(dòng)情況能夠更加的全面描述，學(xué)者們開始了對(duì)多重分形理論的相關(guān)分析與研究.隨著研究的不斷深入，多重分形理論逐漸被接受(jishu)，而且受到了各國(guó)學(xué)者廣泛的關(guān)注，它在復(fù)雜的金融系統(tǒng)中有著潛

15、在的應(yīng)用前景.為了更深入認(rèn)識(shí)和理解中國(guó)的股票市場(chǎng)，眾多學(xué)者運(yùn)用了各種方法，不斷對(duì)金融市場(chǎng)多重分形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加深入的研究. 1.1.2 研究(ynji)意義本論文針對(duì)分形及多重分形理論，通過認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識(shí)并將其運(yùn)用于金融(jnrng)領(lǐng)域，利用金融時(shí)間序列的具體實(shí)例進(jìn)行分析研究，主要目的是判斷并研究金融時(shí)間序列中的分形及多重分形行為，通過數(shù)據(jù)的擬合，研究市場(chǎng)的長(zhǎng)程相關(guān)性和波動(dòng)行為，并計(jì)算廣義Hurst指數(shù)，度量并比較不同的市場(chǎng)有效性市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)大小.1.2 國(guó)內(nèi)外研究綜述1.2.1 單分形相關(guān)的國(guó)外文獻(xiàn)綜述 1977年，Mandelbrot分析研究了在不同的時(shí)間標(biāo)度上時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)1

16、，之后經(jīng)過多年的研究，提出了“分形”這一概念.Przekota G用Hurst指數(shù)這一指標(biāo)來識(shí)別資本市場(chǎng)的時(shí)間序列特征，考察并研究了金融市場(chǎng)時(shí)間序列的長(zhǎng)期相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)方法2.C.K. Peng等人3 于20世紀(jì)初，在分析研究DNA分子鏈的單分形結(jié)構(gòu)的時(shí)候，提出了用于解決非平穩(wěn)的時(shí)間序列分形分析的方法，稱之為消除趨勢(shì)波動(dòng)方法( de-trended fluctuation analysis)，簡(jiǎn)記為DFA方法.1.2.2 單分形相關(guān)的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)綜述 國(guó)內(nèi)的一些學(xué)者對(duì)單分形理論也有了一定程度的分析研究，牛淑珍運(yùn)用了R/S（重標(biāo)極差）分析方法，來研究深圳和上海兩地的股票市場(chǎng)的每周的收盤指數(shù)的時(shí)間序列4

17、，其結(jié)果顯示，我國(guó)的股票市場(chǎng)的波動(dòng)性呈現(xiàn)出非線性的特征.莊新田用上海證券綜合指數(shù)（上證綜指）和深圳證券成分指數(shù)（深圳成指）每日的收盤價(jià)格為樣本，來研究上海和深圳兩地的股票交易市場(chǎng)的分形特征5，并認(rèn)為兩地的金融市場(chǎng)并不具有有效市場(chǎng)的特征，它們的股價(jià)指數(shù)顯示出有偏隨機(jī)游走而非正態(tài)的特征，同時(shí)時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶的特征.1.2.3 多重分形(fn xn)相關(guān)的國(guó)外文獻(xiàn)綜述 在金融股票市場(chǎng)上通過對(duì)分形理論的深入研究，分形理論不斷取得新的成果，并且學(xué)者們已經(jīng)開始了從研究單分形理論過渡到多重分形理論的分析研究階段.Muniandy 通過研究馬來西亞外匯的分形行為，用R/S分析方法、DFA方法和相關(guān)系數(shù)的二階

18、矩等方法計(jì)算了全局的Hurst指數(shù)(zhsh)，并用多重分形的布朗運(yùn)動(dòng)來分析金融時(shí)間序列的多重分形特征性6.Norouzzdeh用MF-DFA分析方法研究了伊朗的銀幣對(duì)美元的匯率波動(dòng)的多重分形特征，他通過對(duì)廣義Hurst指數(shù)、標(biāo)度指數(shù)、廣義分形維以及奇異譜的研究，發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生(chnshng)多重分形的原因，這一原因是與尖峰厚尾的分布特征和長(zhǎng)程相關(guān)性相關(guān)的7.Sadegh Movahed運(yùn)用了分形分析的MF-DFA方法來研究河流流量的波動(dòng)，結(jié)果表示，存在著兩個(gè)相互交叉的時(shí)間標(biāo)度，河流流量的Hurst指數(shù)顯示出了長(zhǎng)程相關(guān)性的特征，并逐漸發(fā)現(xiàn)了多重分形的特性是因?yàn)楦怕拭芏群瘮?shù)的厚尾這一分布所造成的8

19、.1.2.4 多重分形相關(guān)的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)綜述 張永東和畢秋香在 HYPERLINK /kns/detail/detail.aspx?QueryID=7&CurRec=3&recid=&FileName=YUCE200204013&DbName=CJFD9902&DbCode=CJFQ&pr= 中國(guó)股票市場(chǎng)多標(biāo)度行為的實(shí)證分析一文9中， 通過研究中國(guó)股指的時(shí)間序列，并分析研究不同時(shí)間跨度的指數(shù)增量序列和收益率序列、廣義的累積絕對(duì)收益序列的標(biāo)準(zhǔn)差，發(fā)現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)差s與時(shí)間跨度t之間滿足一種冪律關(guān)系，而且冪指數(shù)并不是唯一的，它具有明顯的多標(biāo)度的特征.常松和何建敏，他們運(yùn)用多重分形特征理論來分析中國(guó)的股票市場(chǎng)

20、10，驗(yàn)證了中國(guó)股票市場(chǎng)的多重分形游走特征，而且通過進(jìn)一步研究多重分形過程局部的尺度特性，將這種局部尺度和多尺度之間的相關(guān)性聯(lián)合建立了小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互結(jié)合的對(duì)于股票價(jià)格的一種預(yù)測(cè)模型.莊新田和苑瑩通過運(yùn)用MF-DFA方法（消除波動(dòng)趨勢(shì)的分析方法）對(duì)上證綜指的日收益率進(jìn)行多重分形特征的分析，發(fā)現(xiàn)了出現(xiàn)多重分形的原因，這是由于非線性的長(zhǎng)程相關(guān)性和概率分布函數(shù)的尖峰厚尾分布所導(dǎo)致的，隨后繼續(xù)研究了股票價(jià)格的指數(shù)波動(dòng)特征，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)股票價(jià)格的指數(shù)波動(dòng)相對(duì)較大時(shí)，廣義Hurst指數(shù)具有非常顯著的波動(dòng)特征，由此他提出了基于廣義Hurst指數(shù)的兩種不同的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)11.1.2.5 文獻(xiàn)綜述總結(jié) 從以上研究來看

21、，現(xiàn)階段，將分形理論應(yīng)用到金融領(lǐng)域仍是一個(gè)熱門的課題，但卻還不夠完善，仍存在著大量的缺陷.目前來說，國(guó)內(nèi)外對(duì)待金融市場(chǎng)中多重分形理論的分析研究以及應(yīng)用都還處于初級(jí)階段，都還不成熟，很大部分的相關(guān)研究成果都只是停留在對(duì)金融時(shí)間序列的多重分形特性的檢驗(yàn)階段，而沒有繼續(xù)深入.盡管部分學(xué)者已經(jīng)證明了多重分形譜的形態(tài)特征對(duì)金融時(shí)間序列的波動(dòng)、金融風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)及考察都具有一定的指示效果，但研究結(jié)果終究比較零碎，不完善，現(xiàn)在還沒有形成一個(gè)比較完整的體系.比如說實(shí)證方法和技術(shù)多樣缺乏標(biāo)準(zhǔn)的判別指標(biāo)，對(duì)于分形結(jié)構(gòu)存在的原因的分析各有不同，至于分形及多重分形理論在金融市場(chǎng)上的預(yù)測(cè)等應(yīng)用還在探索中，具體的應(yīng)用還有待于

22、進(jìn)一步研究，需要不斷改進(jìn).1.3 研究(ynji)內(nèi)容1.3.1 研究思路(sl)及框架基本思路：本文將先介紹分形(fn xn)理論的一些基本知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)單介紹分形市場(chǎng)理論，然后將分形理論應(yīng)用到中國(guó)上證綜指和深證綜指的金融時(shí)間序列中，通過計(jì)算廣義Hurst指數(shù)，研究市場(chǎng)的長(zhǎng)程相關(guān)性和波動(dòng)行為，判斷金融時(shí)間序列是否符合分形及多重分形行為，并度量市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)效率.基本框架：1.引言，包括：研究背景及意義、國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)綜述、研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)述；2.介紹金融時(shí)間序列的相關(guān)分形理論與方法，包括：3.介紹各種研究方法，包括R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等；4.用數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，做個(gè)各種方法的對(duì)

23、比；5.得出結(jié)論，并作出評(píng)價(jià).1.3.2 研究方式與方法研究方式： 本論文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)充分理解基本理論知識(shí)及方法，如R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等，主動(dòng)請(qǐng)教指導(dǎo)老師，之后根據(jù)自己的想法及思路，在matlab上實(shí)現(xiàn)相關(guān)程序，根據(jù)圖形得出結(jié)論，最后總結(jié)、評(píng)價(jià)，找到不足，并指出自己的一些展望.具體研究方法有：1.在圖書館查閱相關(guān)書籍，進(jìn)行相關(guān)方面知識(shí)的研究和探討.2.借助網(wǎng)絡(luò)媒介進(jìn)行相關(guān)資料的搜索.3.查閱國(guó)內(nèi)外期刊中與課題相關(guān)的文章，加以分析研究.4.就本課題向老師和同學(xué)們討教，聽取他們的意見和觀點(diǎn).2 金融時(shí)間序列(xli)的相關(guān)分形理論與方法2.1 分形(fn xn)理論

24、2.1.1 分形理論(lln)的形成分形理論是由Mandelbrot首先提出來的，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展為一種系統(tǒng)的理論，它起源于對(duì)海岸線長(zhǎng)度測(cè)量的研究問題.Mandelbrot在研究英國(guó)的海岸線的復(fù)雜邊界時(shí)，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測(cè)量出來的海岸線長(zhǎng)度是不同的，這也正是歐幾里德幾何所無法解釋的一點(diǎn).大家都知道，海岸線是彎彎曲曲的，不規(guī)則且極不光滑的一條曲線.如果要對(duì)它的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，就必須要選取一定的測(cè)量單位才可以.如果選作“公里”作為測(cè)量單位來測(cè)量海岸線，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時(shí)測(cè)量的結(jié)果我們記為 M1；如果選取“米”作為測(cè)量單位，測(cè)量的結(jié)果很明顯要比上一次的準(zhǔn)確一

25、些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測(cè)量的范圍內(nèi)，然而厘米量級(jí)的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計(jì)量長(zhǎng)度范圍之外，這時(shí)的測(cè)量結(jié)果我們記為 M2，則一定有關(guān)系式 M2M1；如果繼續(xù)用更小的“毫米”為單位來測(cè)量，其結(jié)果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微米量級(jí)的小的彎曲被忽略掉了，此時(shí)的測(cè)量結(jié)果記為 M3，且存在關(guān)系式 M3M2M1.繼續(xù)設(shè)想，如果繼續(xù)把海岸線分解到“分子”、“原子”這樣的尺度標(biāo)準(zhǔn)，很顯然測(cè)量得到的長(zhǎng)度L4 會(huì)大到天文數(shù)字的級(jí)別.追究其原因則是因?yàn)楹０毒€是一種具有各種層次且無窮多的細(xì)節(jié)的非常復(fù)雜的幾何對(duì)象.自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對(duì)象，它們都是一些極其不規(guī)則而且支

26、離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團(tuán)、樹枝等等.Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復(fù)雜的幾何對(duì)象.在研究過程中，他將測(cè)量長(zhǎng)度和放大尺度（比例）分別取其對(duì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間存在著一種線性的關(guān)系，這表示，這類十分復(fù)雜的集合體都具有一種共同的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相似的.后來，通過研究，Mandelbrot更進(jìn)一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理論不僅可以產(chǎn)生許多分形集曲線和圖形，如Mandelbrot集、Koch曲線、Cantor集、Sierpinski墊片等等，而且還可以用來(yn li)描述復(fù)雜對(duì)象的幾何特性.Mandelbrot

27、用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復(fù)雜的圖形特征和復(fù)雜過程規(guī)律的性質(zhì).2.1.2 分形(fn xn)理論的定義及特征盡管至今為止，分形(fn xn)理論還是沒有形成一個(gè)比較嚴(yán)格的定義，但是很多研究者都根據(jù)自己的理解做出了自己的定義.最開始的時(shí)候，分形定義是由Mandelbrot提出來的，他指出分形是這樣的一種集合：它的維數(shù)嚴(yán)格意義上是大于其拓?fù)渚S數(shù)的.但是這個(gè)定義還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而且比較抽象，不能夠被人們所理解.接著他指出另一個(gè)定義，部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形”，但是這個(gè)定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家所認(rèn)可.直到1990年，Edger指出，分形集合是這樣的

28、一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學(xué)所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進(jìn)一步地進(jìn)行縮小，這種集合的不規(guī)則程度性仍然是十分明顯的.緊接著，英國(guó)數(shù)學(xué)家Kenneth J. Falconer出版了Fractal Geometry一本書，對(duì)分形定義做了如下比較詳盡的描述.集合F如果滿足以下條件，則認(rèn)為它是是分形的： （1）集合F具有很精細(xì)的結(jié)構(gòu).即它在任意小的尺度之下，它總是具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)的； （2）集合F通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時(shí)是嚴(yán)格相似的，但也可能是統(tǒng)計(jì)意義上的相似； （3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語言是無法對(duì)不規(guī)則的集合F進(jìn)行局部與全局特征的描述

29、的； （4）集合F的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的；分形集合總的來說是有以下的特征的： （1）自相似性.也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴(yán)格意義上的自相似，還包括在一定的尺度(chd)范圍內(nèi)的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性. （2）標(biāo)度不變性.也就是說無論放大多少倍或者(huzh)是縮小多少倍，集合的不規(guī)則特征、形態(tài)結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度等是都不會(huì)發(fā)生變化的.而且存在這種關(guān)系：具有標(biāo)度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征. （3）分?jǐn)?shù)維.即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分?jǐn)?shù)的形式表示的，而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的.維數(shù)是空間理論和幾何學(xué)里的一個(gè)

30、基本概念.我們現(xiàn)在已經(jīng)習(xí)慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的.在歐氏空間之中，物體(wt)被認(rèn)為是連續(xù)且光滑的，對(duì)稱的而且同質(zhì)的，因此我們通常可以用整數(shù)維對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的描述.但是對(duì)于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對(duì)象，傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無法做出回答的.分形維數(shù)是對(duì)幾何體的不規(guī)則性程度，復(fù)雜的程度，粗糙程度等性質(zhì)的一個(gè)有效地測(cè)度. （4）自放射性.自放射變換指的是整體的各個(gè)方向的變換比率是基本不一樣的，但是局部的隨機(jī)性與整體的確定性是同時(shí)存在的.最后，分形集其實(shí)可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結(jié)構(gòu)、形態(tài)等方面的自相似性，而

31、且這種相似性是不會(huì)隨著測(cè)量尺度的變化而改變的，同時(shí)觀測(cè)尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關(guān)系形式.所以說，分形能夠從不同的標(biāo)度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的概念來刻畫分形結(jié)構(gòu)的特征. 2.2 多重分形理論2.2.1 多重分形定義多重分形(Multi-fractal)，這一概念是定義在分形結(jié)構(gòu)上的，它是由多個(gè)不同的標(biāo)度和標(biāo)度指數(shù)的分形測(cè)度來組成的這樣的一個(gè)無限的集合.多重分形理論是從集合的局部出發(fā)來進(jìn)行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進(jìn)行交錯(cuò)疊加而形成的.從幾何的角度來看，組成分形集合的許多若干個(gè)子集的標(biāo)度q及分形維數(shù)都是互相不相同的

32、，多重分形也被稱為是稱多標(biāo)度分形.可以表征多重分形的主要方法有：廣義Hurst指數(shù)，或者可以使用奇異譜函數(shù).奇異譜可以定量地刻畫出來分形體在各個(gè)不同的局部條件下對(duì)應(yīng)的概率分布特征，其中奇異標(biāo)度指數(shù)規(guī)定了奇異性的強(qiáng)度，而則描述了分布的稠密程度.2.2.2 多重分形(fn xn)過程 Mandelbrot通過運(yùn)用增量(zn lin)矩的尺度特性，來定義了多重分形過程：如果一個(gè)連續(xù)的時(shí)間(shjin)過程具有一個(gè)平穩(wěn)的增量，并且滿足： （2-1）則稱為多重分形過程.其中為時(shí)間增量，T和Q是實(shí)軸上的區(qū)間，它們長(zhǎng)度非零，并且，和均是Q域上的函數(shù). 上式表示了多重分形過程的矩的一個(gè)冪律關(guān)系的性質(zhì).函數(shù)是多

33、重分形過程中的尺度函數(shù)，通過運(yùn)用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量的尺度特征，進(jìn)而可以刻畫出各個(gè)不同時(shí)點(diǎn)上的分形特征.其中，當(dāng)為q的線性函數(shù)時(shí)，這一過程是單分形過程，比如當(dāng)時(shí)，是由H唯一決定的一個(gè)線性函數(shù)；而當(dāng)為q的非線性函數(shù)時(shí)，這時(shí)就稱這一過程是多重分形的過程.通過對(duì)不同幅度的波動(dòng)進(jìn)行冪次方處理，這就相當(dāng)于對(duì)波動(dòng)的波幅放大幾倍或縮小幾倍.所以，不同的q值對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)著不同的波動(dòng)，從而反映出了不同程度大小的價(jià)格波動(dòng)信息，而且隨著時(shí)間標(biāo)度的取值變化，還可以觀察在不同時(shí)間標(biāo)度上的價(jià)格波動(dòng)信息.總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場(chǎng)上的不同時(shí)間的標(biāo)度，不同幅度變化的價(jià)格或者

34、收益波動(dòng)的相關(guān)特征.多重分形能夠定量地刻畫出十分復(fù)雜的幾何對(duì)象在不同的層次的一個(gè)分形特征，并且可以用多重分形譜的形式表達(dá)出來.因此，我們可以知道，通過運(yùn)用多重分形的相關(guān)理論去分析研究金融市場(chǎng)，能夠更準(zhǔn)確地對(duì)金融市場(chǎng)的波動(dòng)性進(jìn)行更加細(xì)致的剖析和描述，進(jìn)而可以得到有關(guān)于金融時(shí)間序列在不同的時(shí)間標(biāo)度以及不同幅度程度的波動(dòng)信息.2.2.3 廣義(gungy)Hurst指數(shù) 對(duì)于(duy)時(shí)間序列，根據(jù)公式(gngsh)(2-1)，來定義廣義Hurst指數(shù)， （2-2） 函數(shù)描述了時(shí)間增量在下的廣義平均波動(dòng)的相關(guān)信息.特別地，當(dāng)時(shí)，即為前面單分形中的指數(shù)，也稱為全局H指數(shù)，當(dāng)時(shí)，序列表現(xiàn)持續(xù)性，時(shí)，表現(xiàn)

35、反持續(xù)性，時(shí)，即為隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng).廣義Hurst指數(shù)與尺度函數(shù)之間的關(guān)系為： （2-3）2.3 分形市場(chǎng)理論2.3.1 分形時(shí)間序列 對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時(shí)才是隨機(jī)的.而且對(duì)于一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間序列，構(gòu)成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內(nèi)在相關(guān)性的，也就是說時(shí)間序列是分形的.分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機(jī)的游動(dòng)，曼德勃羅特（ Mandelbrot）把這種隨機(jī)游動(dòng)稱為是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).它表示了時(shí)間序列的非隨機(jī)特征，序列具有趨勢(shì)疊加上噪聲的這樣的一種特性.趨勢(shì)的存在也導(dǎo)致了測(cè)出的觀測(cè)值之間不是相互獨(dú)立的，這個(gè)時(shí)候，序列的觀測(cè)值就具有長(zhǎng)記憶性的特征. 通常來講，分形時(shí)間序

36、列具有下列的一些特點(diǎn)： （1）分形時(shí)間序列具有著無限的精細(xì)結(jié)構(gòu).當(dāng)觀測(cè)的對(duì)象，即股票收益率序列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時(shí)這樣的逐漸變化時(shí)，大量結(jié)果表明，股票收益率序列的復(fù)雜細(xì)節(jié)是不會(huì)隨尺度改變而發(fā)生變化的. （2）分形時(shí)間序列具有分形維數(shù).分形維數(shù)是描述時(shí)間序列如何填充空間的這樣的一個(gè)參數(shù).它表征了分形幾何體的復(fù)雜程度以及粗糙程度. （3）分形時(shí)間序列具有自相似性特征.復(fù)雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內(nèi)部之間的精細(xì)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性的.2.3.2 分形(fn xn)市場(chǎng)理論 Peters在1994年開始將分形理論引入到

37、了復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，提出了分形市場(chǎng)理論，分形市場(chǎng)理論是分形理論在金融市場(chǎng)分析研究中的一個(gè)具體(jt)運(yùn)用.傳統(tǒng)的有效市場(chǎng)理論認(rèn)為市場(chǎng)的收益序列具有線性、獨(dú)立以及有限方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場(chǎng)理論展現(xiàn)了一種理想的市場(chǎng)結(jié)構(gòu).Peters則根據(jù)非線性的觀點(diǎn)，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，提出了更符合資本市場(chǎng)實(shí)際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場(chǎng)信息接受程度和不同的投資時(shí)間尺度對(duì)不同投資者的投資決策所產(chǎn)生的不同影響，認(rèn)為資本市場(chǎng)都具有分形結(jié)構(gòu)的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯(mngxin)的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大.由于在資本市場(chǎng)中，存在許多偏

38、好不同的投資者，加上投資者的理性有限，投資者對(duì)信息的理解能力互不相同，導(dǎo)致投資者做出不同的投資決策.由于上述實(shí)際資本市場(chǎng)的種種因素，決定了資產(chǎn)價(jià)格的變化不是隨機(jī)游動(dòng)的，而是具有持續(xù)相關(guān)性的.分形市場(chǎng)的特征有：標(biāo)度不變性，也就是指不同的時(shí)間標(biāo)度下具有相似的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.長(zhǎng)程相關(guān)性，即過去的相關(guān)信息對(duì)現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨(dú)立的，而且是能夠產(chǎn)生著長(zhǎng)期性影響的.如果預(yù)測(cè)的時(shí)間越長(zhǎng)，那么預(yù)測(cè)的結(jié)果是越不可信的，不能夠進(jìn)行長(zhǎng)期準(zhǔn)確地預(yù)測(cè).3 幾種分形方法理論研究3.1 單分形方法3.1.1 R/S方法分析R/S分析法，即重標(biāo)極差分析法，它廣泛用于研究時(shí)間序列的分形特征和分析長(zhǎng)期記憶過程，該方法最初是英國(guó)

39、水文學(xué)家赫斯特(Hurst)在1951年研究尼羅河水壩工程時(shí)經(jīng)過研究提出來的，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更一般的冪率形式（式3-1）并同時(shí)提出來一個(gè)新的非參數(shù)統(tǒng)量，被稱為Hurst指數(shù)，簡(jiǎn)稱為H指數(shù).此后，R/S分析法被用在各種時(shí)間序列的分析當(dāng)中. (3-1)其中(qzhng)，對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，R/S是重標(biāo)極差，S指序列(xli)每段的方差，n表示每段區(qū)間的長(zhǎng)度(chngd)，C為常數(shù).R/S分析方法的基本步驟如下：（1）對(duì)一個(gè)時(shí)間序列，把它分為k個(gè)長(zhǎng)度為n的等長(zhǎng)子區(qū)間，對(duì)于每一個(gè)子區(qū)間，依次計(jì)算下面第2至第5步.（2）計(jì)算各段數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以第j段的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為例： ， （3-2）計(jì)算各段數(shù)據(jù)的

40、累計(jì)離差和極差，以第j段的累積離差序列和極差為例： ， （3-3）（4）計(jì)算各段的重標(biāo)極差，以第j段為例： （3-4）計(jì)算整個(gè)k段序列的平均重標(biāo)極差： （3-5）（6）改變每段長(zhǎng)度n，使n取值為從2到之間改變，對(duì)不同的n，重復(fù)上述（2）-（5）步，得到散點(diǎn)對(duì)（7）繪制圖形，并用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，如滿足下式，則說明序列是單分形，且所得到的直線的斜率就是Hurst指數(shù). （3-6）通過分析Hurst指數(shù)結(jié)果(ji gu)，可得出：當(dāng)時(shí)，說明序列(xli)具有持續(xù)性；時(shí)，序列(xli)具有反持續(xù)性；時(shí)，序列符合隨機(jī)游走.R/S分析法對(duì)短期記憶性比較敏感，因而由其不足，而消除趨勢(shì)波動(dòng)分析方法（D

41、FA）可以消去短期相關(guān)性并反映長(zhǎng)記憶性及分形特征.3.1.2 DFA方法分析 C.K.Peng等物理學(xué)家和生物學(xué)家在1994年研究DNA分子的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)NDA分子順序在其分子個(gè)數(shù)大于時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)出一種長(zhǎng)記憶性的、冪指數(shù)分布，之后他們提出了DFA(de-trended fluctuation analysis)方法.DFA方法可以消除短期的波動(dòng)趨勢(shì)，用來檢測(cè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性，并且得到Hurst指數(shù).DFA方法的步驟如下：根據(jù)時(shí)間序列，得出累積離差序列： （3-7）其中，是序列的平均值，將（1）中得到的序列分成個(gè)連續(xù)的不重復(fù)的區(qū)間段，其中s為每個(gè)區(qū)間段的長(zhǎng)度.因?yàn)镹不一定被s整除，為了防止末

42、尾數(shù)據(jù)丟失，可以從序列末端開始反方向再重復(fù)分割一次，這樣子就會(huì)得到一共個(gè)長(zhǎng)度為s的區(qū)間段.在每個(gè)區(qū)間段內(nèi)，如第j段，用最小二乘法回歸擬合趨勢(shì)多項(xiàng)式： （3-8）其中，m稱為回歸趨勢(shì)階數(shù).不同的階DFA的比較結(jié)果能夠估計(jì)時(shí)間序列里的趨勢(shì)的強(qiáng)度.于是計(jì)算出各個(gè)區(qū)間段消除趨勢(shì)后的序列，并分別對(duì)這個(gè)區(qū)間段計(jì)算出方差： （3-9） （3-10）（4）對(duì)所有(suyu)區(qū)間段的方差求平均值，再計(jì)算方根得到DFA波動(dòng)函數(shù)： （3-11） （5）對(duì)不同(b tn)s，重復(fù)上述（2）-（4）步，并計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的.如果(rgu)與s的對(duì)數(shù)函數(shù)之間存在存在線性關(guān)系： （3-12）則存在冪率形式的波動(dòng)： （3-13）

43、其中，H即為Hurst指數(shù).3.2 MF-DFA方法 Kantelhardt等人2002年在原來DFA方法的基礎(chǔ)上，提出了MF-DFA方法，也就是多重分形消除趨勢(shì)分析方法，它是在驗(yàn)證單分形的方法DFA的基礎(chǔ)上提出來的，用來驗(yàn)證一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是否具有多重分形特征的有效方法. 基本步驟如下：MF-DFA方法的前三步與DFA分析方法步驟的（1）-（3）步是基本一樣的. 第四步：對(duì)所有區(qū)間段的方差求平均值，給定（任意實(shí)數(shù)），計(jì)算得到階消除趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)： ， （3-14）當(dāng)時(shí)，；特別的，時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)的DFA方法.第五步：當(dāng)分割的長(zhǎng)度取遍中的各個(gè)整數(shù)后，根據(jù)冪律關(guān)系 （3-15）對(duì)的散點(diǎn)圖做線性回歸擬

44、合，斜率(xil)即為對(duì)應(yīng)于q的.第六步：改變q的值，重復(fù)上述(shngsh)前五步，得到關(guān)于q的函數(shù)，我們(w men)稱為廣義Hurst指數(shù).第七步：分析的關(guān)系及圖形，并判斷出序列是否符合多重分形特征.當(dāng)h(q)數(shù)值大小與階數(shù)q無關(guān)時(shí)，即為一常數(shù)，則時(shí)間序列是單分形的；當(dāng)h(q)與q有關(guān)時(shí)，此時(shí)時(shí)間序列是多重分形的.當(dāng)時(shí)，的大小主要取決于小波動(dòng)偏差的大小，描述了小幅度波動(dòng)的標(biāo)度行為，當(dāng)時(shí)，大小主要取決于大波動(dòng)偏差的大小，此時(shí)描述了大幅度波動(dòng)的標(biāo)度行為.于是，不同的值也就描述了不同程度的波動(dòng)對(duì)波動(dòng)函數(shù)的影響.4 滬深股指分形特征(tzhng)的實(shí)例分析 4.1 滬深股指( zh)的分形特征分

45、析本文(bnwn)以中國(guó)上海證券市場(chǎng)綜合指數(shù)(上證綜指)和深圳證券市場(chǎng)成分指數(shù)（深證成指）為代表研究中國(guó)金融時(shí)間序列的分形特征.選取了上證綜指和深圳成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價(jià)格作為樣本，樣本數(shù)都是3160個(gè)，通過對(duì)數(shù)差分計(jì)算，得到相應(yīng)的收益率序列而作為研究對(duì)象.也就是說，為了消除原始數(shù)據(jù)自相關(guān)的影響，我們需要對(duì)原始數(shù)據(jù)事先做處理，用于消除或者有效降低線性依賴性程度.由于我們選取的原始數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時(shí)間序列以表示，則得到的對(duì)數(shù)收益序列為： ， （4-1）其中，表示t時(shí)的對(duì)數(shù)收益，表示t時(shí)刻的股價(jià)指數(shù).以作為自變量，作為因變量，進(jìn)行回歸分析，得到的殘差序列 （4-2）

46、這時(shí)的長(zhǎng)度為N-1，那么問題就轉(zhuǎn)化為對(duì)序列進(jìn)行分析.4.2 Hurst指數(shù)分析Hurst指數(shù)主要應(yīng)用于單分形時(shí)間序列，它的的大小可以度量金融時(shí)間序列的持續(xù)性和反持續(xù)性特征.當(dāng)時(shí)，這就表明了時(shí)間序列具有持續(xù)性，而且H的值越接近1，則此時(shí)表示序列持續(xù)性程度越強(qiáng)；當(dāng)時(shí)，這時(shí)就表示時(shí)間序列具有反持續(xù)的特征，而且H越接近0的時(shí)候反持續(xù)性程度就會(huì)越強(qiáng)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)間序列既不表現(xiàn)持續(xù)性也不表現(xiàn)反持續(xù)性，處于一種隨機(jī)狀態(tài)，而且H越接近0.5時(shí)，隨機(jī)游走特征就會(huì)越明顯.下面兩圖是分別運(yùn)用R/S分析方法和DFA分析方法，以上證指數(shù)和深證成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價(jià)格（分別為3160個(gè)

47、數(shù)據(jù)）作為樣本，在Matlab軟件上進(jìn)行擬合而成的，主要用來計(jì)算Hurst指數(shù). (b)圖4-1 上證綜指(a)和深證成指(b)的R/S分析(fnx)圖 (c) (d)圖4-2 上證綜指(c)和深證成指(d)的DFA分析(fnx)圖各方法(fngf)的結(jié)果顯示：表4-1 Hurst指數(shù)數(shù)值比較方法上證綜指深證成指R/S0.61760.6219DFA0.67900.6850 該結(jié)果表明了，雖然兩種方法計(jì)算后所得到H指數(shù)互不不同，但都是明顯大于0.5的，由此可以知道，我們所研究得到的滬深指數(shù)收益序列的波動(dòng)特征是明顯不同于布朗運(yùn)動(dòng)的，而且兩種波動(dòng)均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場(chǎng)的持續(xù)性強(qiáng)度較大

48、.這就表示，這兩個(gè)序列(xli)是具有分形特征的.4.3 滬深股指( zh)的多重分形特征的測(cè)度下面(xi mian)是運(yùn)用MF-DFA分析方法得到的擬合圖形： (e) (f)圖4-3 上證綜指的MF-DFA分析圖,(e)圖表示q值分別取-5,0,5時(shí)，波動(dòng)函數(shù)的圖形，（f）圖表示的圖形 (g) (h)圖4-4 上證綜指的MF-DFA分析圖，(g)圖表示q值分別取-5,0,5時(shí)，波動(dòng)函數(shù)的圖形，（h）圖表示的圖形 以上結(jié)果表示，對(duì)于（e）、（g）圖，不同的q值，波動(dòng)函數(shù)的波動(dòng)程度也是在改變的，而且，對(duì)于每一個(gè)給定的q值，所對(duì)應(yīng)的Hurst指數(shù)（即直線的斜率）是各不相同的.（f）、（h）圖則給出

49、了Hurst指數(shù)隨著q的變化而變化的關(guān)系圖.這就表明，瀘深股市都符合多重分形特征.5 滬深股市的市場(chǎng)有效性、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)關(guān)系的分析5.1 市場(chǎng)(shchng)有效性分析與比較5.1.1 相關(guān)(xinggun)理論對(duì)于金融市場(chǎng)的分形特征，我們大多時(shí)候都采用廣義Hurst指數(shù)來測(cè)量金融市場(chǎng)的有效性.由于廣義Hurst指數(shù)與的取值有關(guān)，于是我們采用來定量比較市場(chǎng)效率問題. （5-1）當(dāng)時(shí)，表明市場(chǎng)是最有效的；越接近0.5，則表示市場(chǎng)是越有效的，相反越遠(yuǎn)離0.5時(shí)，表明市場(chǎng)是越無效的.由于現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的種種因素的限制，導(dǎo)致不可能取0.5，也就是現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，是不可能會(huì)有市場(chǎng)是完全有效的，

50、只能比較不同市場(chǎng)之間的相對(duì)有效程度.所以，針對(duì)金融市場(chǎng)的分形特征，是可以利用廣義Hurst指數(shù)的距離0.5的遠(yuǎn)近程度來衡量有效性的程度的.具體來講就是，如果某市場(chǎng)是相對(duì)較有效的，則該市場(chǎng)的廣義Hurst指數(shù)的更趨近于0.5，而如果離0.5越遠(yuǎn)的話，這就表明這個(gè)市場(chǎng)是越無效的.5.1.2 有效性分析下面分別是上證指數(shù)和深證綜指的的關(guān)系圖 (a) (b)圖5-1 上證綜指(a)和深證成指(b)的關(guān)系圖以上結(jié)果顯示，上海證券市場(chǎng)的，而深證證券市場(chǎng)的，因此，更接近0.5，因此我們認(rèn)為，上海證券市場(chǎng)是較有效的.同時(shí)，圖（a）中知，q=2時(shí)，圖（b）中，此時(shí)的即指Hurst指數(shù)，且，更接近0.5，這里也可

51、以得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的.5.2 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)分析與比較5.2.1 多重分形(fn xn)譜 用于描述金融(jnrng)時(shí)間序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形譜.多重分形譜是用來描述奇異指數(shù)變化的這樣一種圖形，如果序列式單分形特征，則只是通過唯一的一個(gè)奇異指數(shù)來刻畫時(shí)間序列在不同的時(shí)刻以及不同的時(shí)間尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，則是通過不斷改變的奇異指數(shù)來衡量整個(gè)復(fù)雜過程的一個(gè)局部規(guī)則特性，來進(jìn)行描述價(jià)格波動(dòng)在不同時(shí)間區(qū)間的的一種不均勻性. 式子中，其中a指的是奇異指數(shù)，它是用來描述復(fù)雜系統(tǒng)在中各個(gè)區(qū)間不同的奇異程度，它的取值范圍的大小則可以表示出不同

52、的奇異強(qiáng)度分布范圍的大小.則是為多重分形譜，它主要用于表征奇異指數(shù)的變化程度.如果研究的時(shí)間序列是單分形的，則函數(shù)的值是一定的，那么如果時(shí)間序列是多重分形時(shí)，則此時(shí)函數(shù)的圖像呈現(xiàn)的是單峰鐘形圖形. 多重分形譜的寬度則刻畫出了資產(chǎn)價(jià)格的漲跌幅度大小，它的大小則可以定量表示出金融市場(chǎng)中的波動(dòng)強(qiáng)度，同時(shí)可以用來刻畫市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的大小.如果越大，則表示時(shí)間序列分布是越不均勻的，這也就預(yù)示著該多重分形蘊(yùn)含的波動(dòng)程度越大，則該市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)越大.如果，則表示市場(chǎng)處于完全均勻分布的狀況，不過這只是理想狀態(tài)而已.5.2.2 風(fēng)險(xiǎn)分析下面是對(duì)兩市場(chǎng)的多重分形譜的繪制圖形： 圖5-1 上海證券市場(chǎng)(zhn qun s

53、h chn)的多重分形譜 (d) 圖5-2 深證證券市場(chǎng)(zhn qun sh chn)的多重分形譜從上圖可以看出，上海證券市場(chǎng)(zhn qun sh chn)的多重分形譜寬度，深證證券市場(chǎng)的多重分形譜寬度，由此知，但差別不大，故上海證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的.6 總結(jié)(zngji)與展望6.1 研究成果總結(jié)(zngji)本文對(duì)分形及多重分形理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，對(duì)幾種多重分形方法的優(yōu)劣進(jìn)行了分析.由于MF-DMA方法的估計(jì)效果較好，在分析多重分形時(shí)釆用了該方法進(jìn)行分析.并且(bngqi)選用了具有代表性的上證綜指和深證成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價(jià)

54、格（分別為3160個(gè)數(shù)據(jù)）作為樣本，進(jìn)行了分析，以此探討了上海金融市場(chǎng)和深圳金融市場(chǎng)的多重分形特征.主要研究成果：（1）通過對(duì)兩時(shí)間序列進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)了上證綜指和證成指的收益率序列的分布都不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征的.（2）通過R/S和DFA分析方法計(jì)算得到的上證綜指和深證成指收益率序列的Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩時(shí)間序列都符合分形特征，而且兩種時(shí)間序列波動(dòng)均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場(chǎng)的持續(xù)性強(qiáng)度較大.（3）接著通過進(jìn)一步運(yùn)用MF-DFA方法計(jì)算上證綜指和深證成指的收益率序列的廣義Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)了廣義Hurst指數(shù)是隨著q值的變化而改變的，說明，兩時(shí)間序列符合

55、多重分形特征.（4）通過計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的的大小，得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的.（5）通過計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的多重分形譜寬度的大小，得出上海證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的.6.2 研究展望盡管本文得出了一些研究成果，但是這些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理論還是在實(shí)踐方面都是需要進(jìn)一步的研究.本文只是對(duì)股指的日收益率序列做了分析，而對(duì)其他的時(shí)間間隔的收益率序列，比如每周數(shù)據(jù)、每月數(shù)據(jù)等的多重分形結(jié)構(gòu)以及它們之間的關(guān)系還有待進(jìn)一步研究.本文只是用R/S、DFA、MF-DFA三種方法對(duì)兩時(shí)間序列進(jìn)行分析，而沒有運(yùn)用

56、其他一些方法，不夠廣泛.如何利用廣義Hurst指數(shù)、多重分形譜等多重分形的特性對(duì)金融市場(chǎng)的收益率進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，是多重分形分析研究的一個(gè)發(fā)展方向，需進(jìn)一步進(jìn)行探討.參考文獻(xiàn)1 Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature M.New York: W. H. Freeman and Company, 1977, 211-321.2 Przekota G. Estimation and Interpretation of Hursts Index For Stock-Exchange Data D. Badania Operacyjne, 2002,

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