二重積分計算-經(jīng)典課件

1、 二重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算二重積分2. 利用極坐標(biāo)計算二重積分3.二重積分的變量變換7/23/20221 若 (x,y)0 仍然適用。注意: 為方便，上式也常記為： 積分次序: X -型域 先 y 后 x ; 積分限確定法: “域中一線插”,須用平行 于 y 軸的射線穿插區(qū)域 。 說明: 二重積分可化為二次定積分計算;7/23/20222c y d D： 1 (x) x 2 (x)(2) Y型區(qū)域xoycdDx= 2(y)x = 1(y)yY型區(qū)域的特點(diǎn)：平行于 x 軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個。 積分限確定法：注意: 積分次序: Y -型域 ,先 x 后 y

2、; 積分限確定法:“域中一線插”,須用平行于 x 軸的射線穿插區(qū)域。7/23/20223注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分時，關(guān)鍵在于正確 確定積分限，一定要做到熟練、準(zhǔn)確。(5) 利用直角系計算二重積分的步驟 畫出積分區(qū)域的圖形, 求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)； 確定積分限，化為二次定積分； 根據(jù)積分區(qū)域類型, 確定積分次序； 計算二次積分，即可得出結(jié)果.7/23/20224解：X型ox7/23/20225Y型oy7/23/20226例2.解：X-型ox7/23/20227例3. 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解:為計算簡便,先對 x 后對 y 積分,及直線則 7/23/20228注：若將D視為

3、x - 型，則需對D分割如下圖。7/23/20229例4. 計算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,因此取D 為 X 型域:先對 x 積分不行, 說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.7/23/202210例5. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域,則7/23/202211畫出積分區(qū)域如圖xyo231原式練習(xí)：改變積分次序解: 積分域由兩部分組成:改為 X 型7/23/202212例6. 計算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,7/23/2022132. 利用極坐標(biāo)計算二重積分 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡單，或者一些函數(shù)

4、它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計算時，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計算問題。例如:7/23/202214直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分關(guān)系(1) 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的關(guān)系。Rxyo2Rxyo2R。RxyoRR-R-R7/23/202215（3）注意： “三換”：被積函數(shù)：積分區(qū)域：面積元素：坐標(biāo)變量的轉(zhuǎn)換邊界曲線的轉(zhuǎn)換面積元素的轉(zhuǎn)換7/23/202216總結(jié)上述：在極坐標(biāo)系下被積函數(shù)：積分區(qū)域：面積元素：二重積分化為兩個單積分。適合：1.被積函數(shù)含有形式的;2.積分區(qū)域是圓、環(huán)、扇形域的。注意：根據(jù)極點(diǎn)在區(qū)域外、邊界上、區(qū)域內(nèi)把7/23/2022172D1xyo例8. 計算其中解:在極

5、坐標(biāo)系下原式故7/23/202218例9. 計算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.rO7/23/202219例10. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對稱性可知7/23/202220解例10. 計算雙紐線所圍成的圖形的面積根據(jù)對稱性有 7/23/202221備選：xyo11解：畫出積分區(qū)域D如右(X-型)原式原函數(shù)求不出！把積分區(qū)域D視為Y-型原式7/23/202222解：如圖，由曲面方程消去z得立體在xoy面投影區(qū)域為xyzo7/23/202223oyxroyxroyxroyxr常用曲線的極坐標(biāo)曲線：7/23/2022

6、24 三重積分的計算一、三重積分的概念 二、三重積分的計算7/23/202225二、三重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:7/23/202226zxyx+y+z=10例1.計算其中是由平面x+y+z=1與三個坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解： D: 0 y 1x, 0 x 1 11Dx+y=1 xy7/23/202227例2.計算其中 是由拋物柱面及平面y=0, z=0, 解

7、： D: 0 y , 0 x yxz0D0yx7/23/202228例4.計算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z): x2+y2zz0, 17/23/202229其中 為三個坐標(biāo)例6. 計算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面7/23/202230例7. 計算三重積分解: 用“先二后一 ” 7/23/2022312、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分(0 +, 02, z 0 )內(nèi)部的那部分面積.解：由對稱性 A = 4 A1 (A1第一卦限部分）曲面方程 :Dxy : x 2 + y 2 a x, y 0.zyxDxy7/23/202236zyxDx

8、y面積7/23/202237例1. 計算其中 L 是拋物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧. (P189例1) 解:上點(diǎn) O (0,0)7/23/202238例2. 計算其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周,方向為逆時針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則（P197例2）路徑不同，積分不同！7/23/202239例4. 計算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域為D,則7/23/202240例

9、5. 驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù). 證:設(shè)則由定理2 可知,存在函數(shù) u(x, y) 使。7/23/202241例1. 計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:Dxyh(P217例1) 7/23/202242例2. 計算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. (P218例2) 解:設(shè)上的部分,則與 原式 = 分別表示 在平面 7/23/202243解根據(jù)對稱性 思考: 下述解法是否正確:例2.計算球面外側(cè)在的部分. (P226例2) 其中是7/23/2022447/23/202245一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (Gauss 公式)7/23/202246例1. 用Gauss 公式計算其中 為柱面閉域 的整個邊界曲面的