浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)試卷專(zhuān)題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

1、CB例6圖2專(zhuān)題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想閱讀與思考線(xiàn)段的中點(diǎn)把線(xiàn)段分成相等的兩部分，圖形中出現(xiàn)中點(diǎn)，可以引起我們豐富的聯(lián)想：首先它和三角形 的中線(xiàn)緊密聯(lián)系；若中點(diǎn)是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”結(jié)論； 其次，中點(diǎn)又與中位線(xiàn)息息相關(guān)；另外，中點(diǎn)還可以與中心對(duì)稱(chēng)相連.解答中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線(xiàn)，如作中線(xiàn)倍長(zhǎng)、作直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)、構(gòu)造三角 形、梯形中位線(xiàn)、構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)圖形等，如圖所示：例題與求解【例如圖，ABC邊長(zhǎng)分別為AB = 14, BC = 16, AC=26, P為NA的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BPLAD, M為BC的中點(diǎn)，則PM的值為.（安徽省競(jìng)賽試

2、題）例1題圖例2題圖解題思路：NA的平分線(xiàn)與BP邊上的垂線(xiàn)互相重合，通過(guò)作輔助線(xiàn)，點(diǎn)P可變?yōu)槟尘€(xiàn)段的中點(diǎn)，利用 三角形中位線(xiàn)定理解題.【例2】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD所在的平面上移動(dòng)，始終保持EF（北京市競(jìng)賽試題）AB,線(xiàn)段CF, DH的中點(diǎn)分別為M, N,則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度為（）解題思路：連接CG,取CG的中點(diǎn)T,構(gòu)造三角形中位線(xiàn)、梯形中位線(xiàn).求證：CD=2EC.【例A】如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB, E為AB中點(diǎn)，連接CE, CD,(寧波市競(jìng)賽試題)解題思路：圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)E, B,聯(lián)想到與中點(diǎn)相關(guān)的豐富知識(shí)，將線(xiàn)段倍分關(guān)系的證明

3、轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段相等關(guān)系的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)添加輔助線(xiàn).【例4】如圖1, P是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，在A(yíng)B的同側(cè)作AAPC和ABPD,使NAPC=NBPD, PC=PA, PD =PB,連接CD,點(diǎn)E, F, G, H分別是AC, AB, BD, CD的中點(diǎn)，順次連接E, F, G, H.(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的上方時(shí)，如圖2,在4APB的外部作AAPC和ABPD,其他條件不變，(1)中的 結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3)如果中，ZAPC=ZBPD=90 ,其他條件不變，先補(bǔ)全圖3,再判斷四邊形EFGH的形狀，并 說(shuō)明理由.(營(yíng)口市中考試題)圖圖圖解題思

4、路：結(jié)論隨著條件的改變也許發(fā)生變化，但解決問(wèn)題的方法是一致的，即通過(guò)連線(xiàn)，為三角形 中位線(xiàn)定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件.【例如圖，以ABC的AB, AC邊為斜邊向形外作直角三角形ABD和ACE,且使NABD=NACE, M是BC的中點(diǎn)，求證：DM=EM.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：顯然DBM不全等于ECM,必須通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形證明DM=EM.例5圖【例如圖，已知ABC中，NACB=90 , AB邊上的高CH與AABC的兩條內(nèi)角平分線(xiàn)AM, BN分別 交于P, Q兩點(diǎn)，PM, QN的中點(diǎn)分別為E, F,求證：EFAB.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解題思路：從圖形的形成過(guò)程，逐步探索相應(yīng)結(jié)論.

5、將原問(wèn)題分解為多個(gè)小問(wèn)題.如圖，若E, F, G, H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是.（1）如果把條件中的四邊形ABCD依次改為矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他條件不變，那么所 得的四邊形EFGH分別為；（2）如果把結(jié)論中的平行四邊形EFGH依次改為矩形、菱形、正方形，那么原四邊形ABCD應(yīng)具備的條 件是.（湖北省黃岡市中考試題）.如圖，已知AG_LBD, AFCE, BD, CE分別是NABC和NACB的角平分線(xiàn)，若BF=2, ED=3, GC=4,則4ABC的周長(zhǎng)為.（重慶市競(jìng)賽試題）.如圖，在4ABC 中，AB=AC, ADBC 于點(diǎn) D, E 是 AC 的中點(diǎn)，若

6、 BC = 16, DE=5,則 AD =.（南京市中考試題）A.如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC, M, N分別是AB, AC的中點(diǎn)，D, E為BC上的點(diǎn)，連接DN, EM,若AB=13cm, BC = 10cm, DE=5cm,則圖中陰影部分的面積為.（北京市中考試題）第7題圖. A , B , C，D順次為四邊形ABCD的各邊的中點(diǎn)，下面條件中使四邊形A B C，D為正方形的條件是（A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形B第10題圖B第10題圖C.四邊形ABCD是等腰梯形D.四邊形 ABCD 中，ACJLBD 且 AC=BD.若等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，中位線(xiàn)長(zhǎng)為8cm,則該等

7、腰梯形的面積為（A. 16cm2B. 32cm-C. 64cm2D- 112cm27-如圖,梯形ABCD中，ADBC, E, F分別是BD, AC的中點(diǎn)，若AD=6cm, BC = 18cm,則EF的長(zhǎng)A- 8cm7cm6cm5cm8.如圖,在梯形 ABCD 中，ADEFGHBC, AE=EG=GB, AD = 18, BC=32,則 EF+GH=(A. 40D. 56（泰州市中考試題）B. 48C. 50第8題圖第9題圖1在A(yíng)BC中，ZB=2ZC, ADLBC于點(diǎn)D, M是BC的中點(diǎn)，求證：DM=,B.如圖，在A(yíng)ABC中，BD=CE, BE, CD的中點(diǎn)分別是M, N,直線(xiàn)MN分別交AB,

8、AC于點(diǎn)P, Q,求證：AP=AQ.(1)(2)(3)將圖2中的CE縮短到圖3的情況,FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說(shuō)明理由）（2009年河北省中考試題）.在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線(xiàn)段CE的中點(diǎn).四邊形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中點(diǎn)是M.如圖1,點(diǎn)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH, FMMH；將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖為，求證：FMH是等腰直角三角形;.在六邊形 ABCDEF 中，ABDE, BCEF, CDFA, AB+DE=BC+EF, B】，D，E.分別是邊 AB, BC, DE, EF 的中點(diǎn)，

9、AR=BE.求證：ZCDE=ZAFE.A F第12題圖B 級(jí).如圖，正方形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)E, NCAD的平分線(xiàn)AF交DE于點(diǎn)G,交DC于點(diǎn)F,若GE =24,則 FC=.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC, BD相交于點(diǎn)F, M, N分別是AB, CD的中點(diǎn)，MN分別交BD, AC 于點(diǎn)P, Q,且NFPQ=NFQP, BD = 10,則AC=.（重慶市競(jìng)賽試題）第3題圖A.如圖，在A(yíng)BC中，ZBAC = 120 ,以AB, AC為邊分別向形外作正三角形ABD和正三角形ACE, M 為AD的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，則NMPN=.（北京市競(jìng)賽試題）4.如圖，已知A為DE的

10、中點(diǎn)，設(shè)DBC, AABC, AEBC的面積分別為S/S：, S3，則S：, S? S3之間 的關(guān)系是（）3/ 、1/、1/ 、3ZA. S9=-(S+S) B. S9=?(S-S) C. S9=?(S+S) D. S9=-(S-S)5.A.如圖，在圖形ABCD中，ABDC, M為DC的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則（1B. MNt(AD+BC)乙C.MN=1(AD+BC)D.無(wú)法確定MN與4（AD+BC）的關(guān)系A(chǔ)BC第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖DA的中點(diǎn)，那么圖中的陰影6.如圖，凸四邊形ABCD的面積是a, E, F,G, H分別是AB, BC,CD,部分的面積為（1 C. -a1B. -a（

11、江蘇省競(jìng)賽試題）A.如圖，在A(yíng)BC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA,CB到點(diǎn)E, F,使DE=DF,過(guò)E, F分別作CA,（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）CB的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)P.求證：ZPAE=ZPBF.A.如圖，銳角ABC中，作高BD和CE,過(guò)頂點(diǎn)B, C分別作DE的垂線(xiàn)BF和CG,求證：EF=DG.(全俄奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)9. 如圖，在A(yíng)ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)M在A(yíng)B邊上，點(diǎn)N在A(yíng)C邊上，并且NMDN=90 , 如果BW+CN2=DM2+DN2.求證：AD2 = 1(AB2+AC2).(北京市競(jìng)賽試題)右.已知：ABD和4ACE都是直角三角形，且NABD=NACE=90.如圖1,連

12、接DE,設(shè)M為DE的中占 I 八、(1)求證：MB=MC；(2)設(shè)NBAD=NCAE,固定AABD,讓RtACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，試問(wèn)：MB=MC是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.(江蘇省競(jìng)賽試題)圖1圖2n.已知 OAB, OCD都是等腰直角三角形，ZA0B=ZC0D=90 .（1）如圖1,點(diǎn)C在0A邊上，點(diǎn)D在0B邊上，連接AD, BC, M為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，求證：OMBC.（2）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將AOCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a （c（為銳角），M為線(xiàn)段AD的中點(diǎn).求證：om=1bc；OMLBC是否還成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖212.如圖小，在A(yíng)BC中，點(diǎn)P為

13、BC邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B, P在直線(xiàn)a的異側(cè), BM,直線(xiàn)a于點(diǎn)M, CN,直線(xiàn)a于點(diǎn)N,連接PM, PN.延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E （如圖2）.求證：ABPM4CPE；求證：PM=PN.若直線(xiàn)a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B, P在直線(xiàn)a的同側(cè)，其他條件不變，止匕時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.）若直線(xiàn)&繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其他條件不變.請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN是否成立.不必說(shuō)明理由.（沈陽(yáng)市中考試題）AAA專(zhuān)題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)超 TOC o 1-5 h z W 6;例N B掛本;域W的中點(diǎn)八連AH則MT1至過(guò)丁=

14、22卬2一忖：例3提示；題八C中以F,連HF,證明RF-UE,例4 ）四邊形EFGM為菱形3：C 2）成。，連 A 0 , 0C,由 /AP D” CPH得 AD -BC,又“，號(hào)坎：.巴；畀0打，一方因,EH二 ,八則EF 困=3H= HE,故四邊形EFGH為： 贏(yíng)EIC乃四邊EEFGH足正方形，j且4N乩產(chǎn)+境）AFCi) - EES5,71 I、刎5 證叫：延長(zhǎng)號(hào)口至P.快口產(chǎn)一口我，延長(zhǎng)至Q.曲 EQ=EC，隹 AP.AQ.PC.太 Al： = AP. Xf = AQ. Z iJAC : ：/ *：日/H15；.&4 Bg/y，F(xiàn)T,有 P= RQ,乂W（ME分則是八UPC與.1的中仰

15、線(xiàn).放 MIAME例6 C1 ）地闔31,心皆為等乙三用形 誣 UECF,則 CE 尸MCFJJVQ如圖以分別適長(zhǎng)CE.CF交AB TS,凡則EFA %KS.、 ZI-平行四邊形CI）菱形、矩形、正方形、磋形N2）時(shí)的戮 互相垂直、對(duì)角線(xiàn)褶等、對(duì)角縫互相或直且相筆2- 303. 64. 30chls 5“ D 6. C7, C 8, C9,握示：取AC中煮N莊桀VN,口兒則MN；加，證第 DM=MN.川一提本和5c中點(diǎn)R,旌結(jié)MR.NR廨MR=NR IL （D骼.121連M凡總工）.劃國(guó)邊用HCDM為平行四邊形可證 明 AFBM 匕 M”L 則 FM Mf，/丑EM = NJPMH國(guó)長(zhǎng)40交M

16、H于，劃NDMH=eSM匚 / BFMi 則/FBE=/FMh =箕，故/FMH 是等理 直痢三曲形.居12. M圖作RBPF.汪草QP,取口P吊線(xiàn)開(kāi)7Tq的中點(diǎn)M,則四邊形城二上步是梯形.白冷楔邛E .連結(jié)B -蟻由彝形中位線(xiàn)定理 E礴匯 鈾,B M療 CD ff fer 4通尸-ME, * DE FP4A乩且自M =若3? = g!叫E. M = 刊F+CE_.W22J-同理,體r；BCMX連結(jié)OFt OF的中點(diǎn)久,連結(jié) AN.UX由擲軟中位就定理知,aN#-8 SN口 f F3/WEF- RC AB4- DE22 在立國(guó)*三與ZiAWR中，0 M N國(guó)H=DN又-At Di - Bi 8

17、 , . A Bi N必ssAANT? t二/日KfTi =Z4.APh ZCDAFE.B iSlK iS建示：取AK中點(diǎn)H逐結(jié)HE, .即HE=GE, FC-2“瓦. 10輟于：家上。中點(diǎn)E,連結(jié)則.于了 熊示：身別跟AC中點(diǎn)F.G一結(jié)FP.4凡 FMq匕4 . CB祝示；詵站兒g取AU中點(diǎn)P迎靖?防昆電D 廢季：連 EKHZGH,J，E3C7,分制取AP. J5P的中點(diǎn)MN,連鉆EMJMcFN山Y(jié).V IM.yBX, DN /WD= Zfd ND.；JVL t分別是Rt2S4TP.RiASFF斜邊的中點(diǎn).；.EM =i.vf fjyt Fw= BN- DM.Z E(E口匕，乙口瓜田也口卜工

18、甜二EMJ -uEVD. /AVE=/ENF.而AAMT,二百NF均為等展二用形. 必FAE ZPJ3F.R.整帆分別刷BCDEF點(diǎn)M，健正訓(xùn)則 M=m-f. WV. I FG, TOC o 1-5 h z 9.證明:道長(zhǎng)V1J勺不，住DP DN. it結(jié)R巴則由 刖66國(guó)一加1得 12=1% ：/UHNDCN L4C/R.iMP=MW紫由 WW - BM CM 羯 MP =口彳YA、又/M*P=/RAC-9ClIf汴 Ri AABC 中，記=4*+ # t把4力=一：常，代人上式，羽A1J 1 (二E十八d J.”部長(zhǎng)BM交CE于 DHXM占ENM.得出M =匚城鼠g(2)MW=MC - 成立十取AD中點(diǎn)P卜AE5點(diǎn)Q連 產(chǎn)門(mén) * 尸Mdd E5 MF =AT= G9 ha=3 4口 =RP. ZrlP.M = ZMQf 由 APBM沼 AQM1 W 累X =MC11. fl i 充