第三章 控制系統(tǒng)的時域分析方法

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析方法3.1 引言3.1.1 典型輸入信號1.階躍函數(shù)2.斜坡函數(shù)3.加速度函數(shù)4.正弦函數(shù)5.單位脈沖函數(shù)與單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)的性質(zhì)3.1.2 單位沖激響應(yīng)輸入信號R(s),輸出信號C(s),傳遞函數(shù)G(s)對 取拉氏反變換，由卷積定理可得 課程回顧(1)拉氏變換的定義 （2）單位階躍常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)課程回顧(2)（2）微分定理拉氏變換變換重要性質(zhì)（定理）（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實位移定理（6）初值定理（7）終值定理 拉普拉斯逆變換5 拉氏逆(反)變換（

2、1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）試湊法系數(shù)比較法留數(shù)法例1 已知，求解.試湊法用拉氏變換方法解線性常微分方程0 初條件nm: 特征根（極點）: 相對于 的模態(tài)用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I. 當 無重根時例 已知，求解.例 已知，求解.II. 當 有重根時(設(shè) 為m重根，其余為單根)例 已知，求解. 3.1.3 系統(tǒng)的時間響應(yīng)根據(jù)拉氏變換理論，C(s)的極點與c(t)有下述關(guān)系 輸入信號是R(s),輸出信號是C(s),零初始條件有 C(s)= G(s)R(s)與傳遞函數(shù)極點對應(yīng)的輸出稱為瞬態(tài)響應(yīng)，與輸入信號極點對應(yīng) 的輸出稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。傳遞函數(shù)零點不形成新的模態(tài)，但影響模態(tài)前的

3、系數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入響應(yīng)的積分。 實數(shù)單極點m重實數(shù)極點一對復(fù)數(shù)極點+jm重復(fù)數(shù)極點+j運動模態(tài)（時間響應(yīng)項）極 點3.1.4 時間響應(yīng)的性能指標1）上升時間 2）峰值時間 3）最大超調(diào)（量） 4）過渡過程時間5）振蕩次數(shù)N6）延遲時間 階躍響應(yīng)第一次達到終值的50所需的時間7）穩(wěn)態(tài)誤差ess超調(diào)和過渡時間越小越好超調(diào)一般不宜超過50%振蕩次數(shù)不超過1.5次3.2 一階系統(tǒng)時域分析輸入信號r(t)與輸出信號c(t)的關(guān)系 用一階微分方程表示的稱為一階 系統(tǒng)常見的溫度控制系統(tǒng)和液壓控制系 統(tǒng)中的控制對象都是一階系統(tǒng)

4、。3.2.1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)r(t)=1(t),R(s)=1/s。于是有單位階躍響應(yīng)的典型數(shù)值 T為時間常數(shù)，1/T為初始斜率3.2.2 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)令r(t)=t,則有可求得輸出信號的拉氏變換式系統(tǒng)的誤差信號(t)為一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)？3.2.3 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)中只有瞬態(tài)響應(yīng)。例：系統(tǒng)如圖所示，現(xiàn)采用負反饋方式，欲將系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間減小到原來的0.1倍，且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù) Ko 和 KH 的取值。 解. 依題意閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)滿足r(t) R(s) C(s)= F(s) R(s) c(t)(t) 1u (t) t一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)一階系統(tǒng)輸出無振蕩，無

5、超調(diào)時間常數(shù)T決定響應(yīng)的速度（快速性）3.3 二階系統(tǒng)的時域分析3.3.1 二階系統(tǒng)的典型形式典型形式1.欠阻尼（01）4.無阻尼（=0） 2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 =jn01101j0j0j0j0二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)s2+2ns+n2(s)=n2-j1-2 nS1,2=nj0j0j0j0T11T2111010過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼3.3.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)令r(t)=1(t),則有R(s)=1/s1.欠阻尼狀態(tài)（01）3.3.3 二階欠阻尼系統(tǒng)的動態(tài)性能指標1.上升時間 的計算2.峰值時間 的計算 3.最大超調(diào)（量） 的計算4.過渡過程時間 的計算5

6、.振蕩次數(shù)N的計算3.3.5 二階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)3.3.6 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)非零初始條件非零初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)分量純粹由初始條件引起的響應(yīng)又稱為零輸入響應(yīng)，是系統(tǒng)所有模態(tài)線性組合非零初始條件系統(tǒng)響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零初始條件響應(yīng)3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.5.1 穩(wěn)定的概念力學(xué)系統(tǒng)中，外力為零時，位移保持不變的位置稱平衡位置。平衡位置的穩(wěn)定性取決于外力為零時，系統(tǒng)能否從偏離平衡位置處自行返回到原平衡位置。懸掛的擺，垂直位置是穩(wěn)定平衡位置。倒立的擺，垂直位置是不穩(wěn)定平衡位置?？刂葡到y(tǒng)中所有的輸入信號為零，而系 統(tǒng)輸出信號保持不變的點（位置）稱為 平衡點（位置）。取平衡點時系統(tǒng)的輸出

7、信號 為零?？刂葡到y(tǒng)所有輸入信號為零時，在非零 初始條件作用下，如果系統(tǒng)的輸出信號隨時間 的推移而趨于零（即系統(tǒng)能夠自行返回到原平 衡點），則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則不穩(wěn)。3.5.2 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)閉環(huán)極點（特征根）全都具有負實部，全都分布在s平面左半部。推論與說明1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是本身固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。2.穩(wěn)定的系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)及輸出信號中的瞬態(tài)分量都趨于零。3.實際物理系統(tǒng)不穩(wěn)定時，變量往往形成大幅值的等幅振蕩，或趨于最大值。4.有實部為零（位于虛軸上）的極點，其余極點都具有負實部，稱臨界穩(wěn)

8、定。工程上臨界穩(wěn)定為不穩(wěn)定。3.5.3 勞思穩(wěn)定判據(jù)對方程的系數(shù)做簡單計算，可確定正實部根的個數(shù)，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)特征方程穩(wěn)定的必要條件：特征方程不 缺項，所有系數(shù)均為正值。勞思表 勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思表 其中 等系數(shù)按下列公式計算結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：勞思表 第一列各項元素均為正數(shù)。方程中實部為正數(shù)的根的個數(shù)是第一列元素符號改變次數(shù)。 例 3-5-1 根據(jù)特征方程判斷穩(wěn)定性。解：列勞思表 第一列元素符號改變兩次，有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例 3-3-2 已知系統(tǒng)框圖， 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的 取值范圍。解 閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程為特殊情況1.勞思表任一行中第一個元素為零，其余元素不全為

9、零。 列勞思表時用一個小正數(shù)代替零元素繼續(xù)列表。例如系統(tǒng)的特征方程為第一列元素符號改變兩次，有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.勞思表任一行中所有元素均為零。此時方程中有一對大小相等、符號相反的實根，或一對純虛根，或?qū)ΨQ于s平面原點的共軛復(fù)根。列表時先用全零行的上一行構(gòu)成輔助方程，它的根就是原方程的特殊根。再將輔助方程求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的方程代替全零行。例如系統(tǒng)的特征方程為 勞思表為： 勞思表第一列元素符 號相同，故系統(tǒng)不含 正實部的根，而含一 對純虛根，可由輔 助 方程解出，為 。例3-5-3 已知系統(tǒng)的特征方程為 根據(jù)輔助方程求特征根。解 勞思表為第一列元素符號改變一次，有一個正實部根，可根據(jù)輔助

10、方程例不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定s4s3s2 s1 s0列勞斯表 1 7 10 5 2勞斯表第一列元素變號 2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 1010 D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 3.6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念1.誤差 設(shè) 為被控量的希望值。誤差：被控量的希望值與 實際值之差。2.穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量。由參考輸入信號r(t)和擾動信號f(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，它們與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)、信號的函數(shù)形式（階躍、斜坡或加速度）以及信號進入系統(tǒng)的位置有關(guān)。這些誤差又稱原理性誤差。3. 偏差信號e(t)=0時的被控量的值就是希望值。4.偏差與誤差H(s)

11、=1,偏差信號就是誤差信號。 ，先求穩(wěn)態(tài)偏差，再求誤差信號。R(s)和F(s)都存在，用疊加原理求總的偏差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標，是對系統(tǒng)控制精度的度量。只討論系統(tǒng)的原理性誤差，不考慮由于非線性因素引起的誤差。對穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。 通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。 概 述3.6.2 利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差終值若 存在，或 的全部極點（原點除外）具有負實部，則具有參考輸入和擾動輸入單位負反饋，誤差就是偏差。例3-6-1 r(t)=t,f(t)=-1(t)，求穩(wěn)態(tài)誤

12、差終值。解 單位負反饋， 誤差就是偏差。3.6.3 系統(tǒng)的型別與參考輸入的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和偏差的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(v 型系統(tǒng))：單位負反饋系統(tǒng)1.單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)：0型系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。2.單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)：3.單位加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)：減小或消除參考輸入信 號的穩(wěn)態(tài)誤差的方法： 提高系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù) 和型別數(shù)。（缺點：影響穩(wěn)定性）參考輸入的穩(wěn)態(tài)偏差例3-6-2 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，求輸入 時的穩(wěn)態(tài)誤差終值 。解 1型單位負反饋穩(wěn)定系統(tǒng)。例3-6-3 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，求

13、輸入 時的穩(wěn)態(tài)誤差終值 。解 1型單位負反饋穩(wěn)定系統(tǒng)。例3-6-4 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求r(t)=1(t)，r(t)=t 時的穩(wěn)態(tài)誤差 。 解 該系統(tǒng)是穩(wěn)定的（勞斯判據(jù)），系統(tǒng)為零型系統(tǒng)。例3-6-5 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 分別求出 時的穩(wěn)態(tài)誤差 終值 。 解 用勞思穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1）這是1型系統(tǒng)，2）3）這是1型系統(tǒng)，例3-6-6 調(diào)速系統(tǒng)輸出信號為c(t)r/min（轉(zhuǎn)/分）。 。求r(t)=1(t)V時的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)是0型穩(wěn)定系統(tǒng)，3.6.4 擾動信號的穩(wěn)態(tài)誤差 偏差信號E（s）對擾動信號F（s）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 H(s

14、)是常數(shù)提高 (偏差信號和擾動信號之間的前向通路的放大系數(shù)和積分環(huán)節(jié)個數(shù)）可以減小擾動信號引起的誤差。 缺點：影響穩(wěn)定性例 3-6-7 設(shè)若 ，求擾動信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差終值 。解 由擾動信號引起的偏差信號為 。 此二階系統(tǒng)是單位負反饋的穩(wěn)定系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為提高 可以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差求解小結(jié)特定輸入信號：1(t), t, t2穩(wěn)態(tài)誤差類型：0，常數(shù)、無窮缺點：1 無法對任意輸入函數(shù)求解穩(wěn)態(tài)誤差2 無法準確描述穩(wěn)態(tài)誤差變化規(guī)律3.6.5 動態(tài)誤差系數(shù)法用動態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)鍵： 將偏差傳遞函數(shù)展開成s的冪級數(shù)。 在s=0的鄰域內(nèi) 展開成泰勒級數(shù)， 系數(shù) 稱為動態(tài)誤差系數(shù)，用除法

15、求。例3-6-8 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 分別求出輸入信號r(t)=1(t),t時的穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)。 解 單位負反饋系統(tǒng)，偏差就是誤差。 例3-6-9 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 輸入信號 ，求穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù) 。解 單位負反饋系統(tǒng)，偏差就是誤差。 3.7 復(fù)合控制負反饋控制加前（順）饋補償環(huán)節(jié)。不改變穩(wěn)定性，微分環(huán)節(jié)。 3.7.1 按輸入補償?shù)膹?fù)合控制誤差傳遞函數(shù)為前饋信號加到系統(tǒng)的輸入端，誤差傳遞函數(shù)為全補償?shù)那埃槪佈a償環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，功率大，不易實現(xiàn)，常采用部份補償方法。設(shè) 不采用前饋控制時，系統(tǒng)是1型系統(tǒng)。取前饋環(huán)節(jié)為取 可見，系統(tǒng)的型別從1型提到2型。3.7.2 按擾動補償?shù)膹?fù)合控制作業(yè)3-1（1）（2）3-