車位分配問題__數(shù)學(xué)建模

1、停車場(chǎng)車位分配問題研究摘要某寫字樓的停車位數(shù)目一定，主要提供寫字樓辦公人員辦卡包年或包月使用，為了使停車場(chǎng)空置率減少，以及免于有卡卻沒有車位產(chǎn)生沖突的為難，我們必須對(duì)停車流量進(jìn)行模擬分析，建立合理的最正確的車位分配管理方法，并得到最大的收益。首先對(duì)附表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因?yàn)槲覀兊玫降氖撬脑路莸耐＼嚵髁?，為了方便分析研究，我們?yīng)該把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為停車量。我們從中引入了概率進(jìn)行模擬。假設(shè)停在停車場(chǎng)中的車輛在各個(gè)時(shí)間段離開是按照泊松分布，即可分別求的到來的和離開的車輛數(shù)目，就可以方便得得到停車量這個(gè)關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。分析結(jié)果如下表所示：時(shí)間段123456789101112131415停車量22541472001

2、941941691551471521409462260定義沖突概率，為第個(gè)時(shí)間段進(jìn)入停車場(chǎng)的車輛數(shù)目。由于第四時(shí)間段為停車頂峰期，因此原那么這一時(shí)間段進(jìn)行分析。樣本服從正態(tài)分布，用原那么，即可求出當(dāng)時(shí)的最大售卡量為240張。制定更好的車位分配方案時(shí)那么將卡的種類分為年卡和月卡，通過設(shè)定年卡和月卡的價(jià)格來控制相應(yīng)的銷量，從而使收益最大。運(yùn)用邊際函數(shù)相關(guān)知識(shí)，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，用Lingo軟件即可計(jì)算出當(dāng)時(shí)年卡和月卡最正確銷售價(jià)格以及張數(shù)如下表所示：卡的種類年卡月卡卡的價(jià)格/元17023卡的數(shù)量/張125115關(guān)鍵詞：泊松分布，正態(tài)分布，邊際函數(shù)問題分析與重述問題一：題目要求模擬附表中停車流

3、量，分析停車量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。停車流量與停車量是兩個(gè)不同的概念，要分析停車量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就必須弄清楚來到停車場(chǎng)的車輛數(shù)目以及離開停車場(chǎng)的車輛數(shù)目。而題目所給的條件中我們只知道停車流量，也就是車離開與來到的總的次數(shù)，因此我們假設(shè)車的離開服從泊松分布，運(yùn)用概率來求出單位時(shí)間內(nèi)車輛離開的數(shù)目，這樣也就可以知道單位時(shí)間內(nèi)車輛到來的數(shù)目，它們兩者的差值也就是我們所要求的停車量。問題二：定義沖突概率，求假設(shè)沖突概率低于情形下，計(jì)算最大售卡量。根據(jù)附表中停車流量數(shù)據(jù)，以及上題對(duì)停車量的分析，我們可以知道在第四個(gè)時(shí)間段，即早上9:0010:00停車量是最多的，也就是在這段時(shí)間產(chǎn)生沖突的概率是最大的，為了計(jì)算最大售卡

4、量，我們就取這段時(shí)間進(jìn)行分析。將四月份這段時(shí)間的這些數(shù)據(jù)就行整理，做頂峰期停車量與次數(shù)的柱狀圖，近似服從正態(tài)分布，求出均值后再用原那么，即可求出最多可以停車的數(shù)量，也就是最大售卡量。問題三：此問要求設(shè)計(jì)出最正確車位分配管理方式，使得收益最大。也就是在滿足沖突概率低于一定值的條件下，找到它與收益的平衡點(diǎn)。我們從售卡種類，價(jià)格，數(shù)量出發(fā)，設(shè)計(jì)方案將利潤(rùn)最大化。首先將卡分為年卡和月卡，兩者的價(jià)格和銷量那么按照經(jīng)濟(jì)學(xué)的編輯函數(shù)計(jì)算得出，列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，用Lingo軟件即可求出我們所需的數(shù)據(jù)。建模過程1問題一符號(hào)定義與說明符號(hào)定義與說明第個(gè)時(shí)間段進(jìn)入停車場(chǎng)的車輛數(shù)目第個(gè)時(shí)間段離開停車場(chǎng)的車輛數(shù)目

5、第個(gè)時(shí)間段的停車量第個(gè)時(shí)間段的停車流量泊松分布概率泊松分布變量泊松分布期望或方差模型假設(shè)假設(shè)在第個(gè)時(shí)間段初了最后一個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)停車的車輛不會(huì)在這個(gè)時(shí)間段離開，都是在第之后的時(shí)間段離開。假設(shè)在一天結(jié)束之后，所有車都離開停車場(chǎng)。假設(shè)車輛在各個(gè)時(shí)間段離開的數(shù)量服從泊松分布。假設(shè)售卡數(shù)量為212張。模型建立與求解各時(shí)間段的停車流量，目的是要求出各個(gè)時(shí)間段的停車量。停車流量是單位時(shí)間內(nèi)來到停車場(chǎng)的車輛數(shù)目與離開停車場(chǎng)的車輛數(shù)目的和，單位時(shí)間的停車量那么是來到停車場(chǎng)的車輛數(shù)目與離開停車場(chǎng)的車輛數(shù)目的差值。這兩者的關(guān)系如下面兩式所示： 1 2由1式，2式可知：3因此，問題的關(guān)鍵就是要求出。由假設(shè)第三條

6、即：假設(shè)車輛在各個(gè)時(shí)間段離開的數(shù)量服從泊松分布:再根據(jù)假設(shè)第一條即：假設(shè)在第個(gè)時(shí)間段初了最后一個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)停車的車輛不會(huì)在這個(gè)時(shí)間段離開，都是在第之后的時(shí)間段離開，就可以列出以下式子：第1個(gè)時(shí)間段：；第2個(gè)時(shí)間段：；第3個(gè)時(shí)間段：；第個(gè)時(shí)間段：；用上述計(jì)算公式即可計(jì)算出單位時(shí)間內(nèi)也就是每個(gè)時(shí)間段的進(jìn)入停車場(chǎng)車輛的數(shù)目和離開停車場(chǎng)車輛的數(shù)目。用折線圖來表示如下列圖所示： 代表每個(gè)時(shí)間段進(jìn)入停車場(chǎng)的車輛的數(shù)目 代表每個(gè)時(shí)間段離開停車場(chǎng)的車輛的數(shù)目各時(shí)間段停車場(chǎng)進(jìn)出車輛數(shù)目根據(jù)上圖容易得到各時(shí)間段停車量如圖表所示：綜上所述，各時(shí)間段的進(jìn)入停車場(chǎng)的車輛的數(shù)目，離開停車場(chǎng)的車輛的數(shù)目以及停車量如下

7、表所示：1234567891011121314152242131161148160143134138135132114724635223711210771805960657060342055051954778084747365728052413022541472001941941691551471521409462260從圖1.2和表1.2中可以看出，在9點(diǎn)以前停車量是不斷上升的，在9點(diǎn)到10點(diǎn)之間有一個(gè)停車量最大值，然后就是稍稍下降和持平。到了11點(diǎn)，出現(xiàn)一次明顯的下降，在15點(diǎn)時(shí)有一個(gè)較小的峰值，等到16點(diǎn)之后，停車量迅速減小直至所有車都離開停車場(chǎng)。2問題二符號(hào)定義與說明符號(hào)定義與說明沖突

8、概率第個(gè)時(shí)間段進(jìn)入停車場(chǎng)的車輛數(shù)目第4個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)車輛數(shù)目的均值第4個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)車輛數(shù)目的方差第4個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)車輛數(shù)目的中位數(shù)持卡人來停車的概率最大售卡量假設(shè)汽車來到停車場(chǎng)的時(shí)間服從均勻分布。假設(shè)忽略工作日和休息日的區(qū)別。假設(shè)停車場(chǎng)現(xiàn)售出212張卡。：停車場(chǎng)發(fā)生沖突也就是來到停車場(chǎng)的車的數(shù)量比停車場(chǎng)車位的數(shù)量多。定義可以有兩種可能：一天中有的時(shí)間段出現(xiàn)車位不夠的現(xiàn)象當(dāng)來到停車場(chǎng)的車輛數(shù)目大于車位數(shù)的時(shí)為沖突我們選用第二種方式定義沖突概率，也就是：b.求最大售卡量：由第一問可知，在第四時(shí)間段即9:0010:00停車量是最多的，所以這個(gè)時(shí)間段發(fā)生沖突的概率最大，如果其他時(shí)間段發(fā)生

9、了沖突，這個(gè)時(shí)間段必然也會(huì)發(fā)生沖突，因此，想要得到最大售卡量，只要考慮這個(gè)時(shí)間段即可。以9:0010:00這個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)的車輛數(shù)目為橫坐標(biāo)，以到達(dá)相同來車數(shù)目的次數(shù)為縱坐標(biāo)作柱狀圖得到這個(gè)時(shí)間段即最頂峰來車數(shù)分布直方圖如下列圖所示：從上圖可以看出，第四時(shí)間段來車分布近似服從正態(tài)分布。整理第四個(gè)時(shí)間段數(shù)據(jù)得出：第4個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)車輛數(shù)目的均值為：的方差為：第4個(gè)時(shí)間段來到停車場(chǎng)車輛數(shù)目的中位數(shù)：正態(tài)分布檢驗(yàn)：可認(rèn)為樣本大致呈正態(tài)分布根據(jù)正態(tài)分布的原那么，在3倍的區(qū)間內(nèi)事情發(fā)生的概率為99%，也就是說有199+12=211輛車停在停車場(chǎng)的概率為99%。由于該停車場(chǎng)有212各車位，允許發(fā)生

10、沖突的概率為0.05，所以該時(shí)間段的停車上限為212*1.05=223，所以，加上沖突后可以多讓233-211=22個(gè)人來停車。假設(shè)持卡人來停車的概率為，那么計(jì)算最大售卡量的公式為：的得來：根據(jù)可能來到停車場(chǎng)中的車和在停車場(chǎng)中的車與時(shí)間段作散點(diǎn)圖，并連成折線圖如下列圖所示：實(shí)現(xiàn)代表可能到停車場(chǎng)的車，虛線代表已經(jīng)在停車場(chǎng)中的車。從圖中可以看出，還沒到停車場(chǎng)中的車輛數(shù)目也就是有卡卻遭遇沖突的車輛數(shù)目，因此：綜上所述：當(dāng)時(shí)，最大售卡量。3問題三符號(hào)定義與說明年卡的單價(jià)月卡的單價(jià)年卡的銷售量月卡的銷售量收益2.模型建立與求解將卡的種類分為年卡和月卡，它們價(jià)格和銷量不同，我們通過設(shè)定年卡和月卡的價(jià)格來控

11、制相應(yīng)的銷量，從而使收益最大。運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際函數(shù)的相關(guān)概念，我們可以得到以下關(guān)系式：12偏邊際：；交叉邊際：；偏邊際表示當(dāng)月卡的價(jià)格不變時(shí)，年卡的價(jià)格每增加1單位，年卡的銷量就會(huì)降低2單位。而交叉邊際表示當(dāng)年卡的價(jià)格不變時(shí)，月卡的價(jià)格每增加一個(gè)單位，年卡的銷量就會(huì)增加3單位。類似的我們有：偏邊際：交叉邊際：偏邊際表示當(dāng)年卡的價(jià)格不變時(shí)，年卡的價(jià)格每增加1單位，年卡的銷量就會(huì)降低4單位。而交叉邊際表示當(dāng)月卡的價(jià)格不變時(shí)，月卡的價(jià)格每增加一個(gè)單位，年卡的銷量就會(huì)增加1單位。一年的收益：約束條件：；且當(dāng)時(shí)有：用Lingo軟件計(jì)算得：；將結(jié)果帶入1、2兩式得：；。從該結(jié)果中可以得到，我們?cè)谑劭〞r(shí)在沖突概率小于0.05的條件下年卡賣125張，月卡賣112張，其中年卡單價(jià)為170，月卡單價(jià)為23。這樣得到收益最高的分配方式。附錄附錄一：計(jì)算持卡人停車概率的程序：st=1:15;x0=; t,x=ode45(ill,st,x0); plot(t,x(:,1),.,t,x(:,2),-),grid,pausefunction y=ill(t,x)if t=1 & t=4ab=1.2;bc=0.01;y=ab*x(1)*x(2)-bc*x(