第四屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩大賽教案及說明：甘肅?。弘p曲線及其標準方程（一）（白銀市實驗中學 高波）

1、人教版高中數(shù)學第二冊上8.3 雙曲線及其標準方程一甘肅省白銀市實驗中學 高波教學目標：1知識與技能：與橢圓定義類比，深刻理解雙曲線的定義并能獨立推導出雙曲線標準方程；2過程與方法：通過定義及標準方程的深刻挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比發(fā)現(xiàn)及數(shù)形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力；3情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點認識問題。教學重點：雙曲線的定義、標準方程及其簡單應用教學難點：雙曲線定義中關于絕對值，2a0。師： 在橢圓里到兩個定點的距離的和這個常數(shù)是正數(shù)，那么，平面內(nèi)到兩定點的差這個常數(shù)還一定是正數(shù)嗎生：不一定。師：可能

2、是什么數(shù)呢？學生甲答復：是正數(shù)，負數(shù)或零 師：當常數(shù)是零時動點的軌跡是什么？生：是線段F1F2的中垂線。老師做出的中垂線。師：當常數(shù)是正數(shù)時的點的位置在什么地方？生：在線段F1F2的中垂線的右側。師：當常數(shù)是負數(shù)時的點的位置在什么地方？生：在線段F1F2的中垂線的左側。 師：平面內(nèi)與兩個定點的距離之差等于非零常數(shù)的點的軌跡到底是是什么呢？我們一起做一個實驗來探索。2、實驗：師生共同完成道具：一根拉鏈具體做法：老師在拉開的拉鏈兩側各取一點打結實驗前已經(jīng)測量好，使兩結之間的距離小于兩定點間的距離，請兩位同學協(xié)助將兩點分別固定在定點F1，F(xiàn)2處，使拉鏈頭在的上方。將拉鏈頭看作動點M,使M到F1的距離

3、比M到F2的距離遠。 師：|MF1|比|MF2|長多少？ 請同學觀察，將其中一側拉鏈拉過來比擬，學生可以很清楚的看到長出的局部。在|MF1|比|MF2|長出的地方用顏色鮮艷的小夾子做記號，在三次演示可以清楚的看到，在拉鏈的拉合中拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是夾子到F1的距離，距離差記為2a2a0，當拉鏈頭在的下方時，兩次演示在拉鏈的拉合中，動點拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是夾子到F1的距離，即M到兩定點的差始終是夾子到F1的距離2a。同學們通過演示觀察得出,拉鏈頭M到F1的距離與它到F2的距離的差始終是正常數(shù).將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的開合做出一條曲線(在作圖過程中

4、要保持將拉鏈拉直),老師在圖的下方板書：|MF1|-|MF2|=2a(a0);調(diào)換兩拉鏈的固定點，仍然請兩位同學協(xié)助將兩點分別固定在定點F1，F(xiàn)2處，這時拉鏈頭M到F1的距離比M到F2的距離短，使拉鏈頭在的上方。同樣在兩次演示過程中提問：|MF1|比|MF2|短多少？讓同學們觀察，在拉鏈的拉合中,|MF1|始終比|MF2|短夾子到F2的距離，記為2a2a0，當拉鏈頭在的下方時結果相同.同學們很容易觀察到在拉鏈的拉合過程中，拉鏈頭到F1的距離與它到F2的距離的差始終是負常數(shù),這個常數(shù)是2a的相反數(shù)，記為-2a。將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的合開做出一條曲線(在作圖過程中要保持將拉鏈拉直),畫出中

5、垂線的左側的一條曲線。在圖的下方板書：|MF1|-|MF2|=-2a(a0)。 師：我們將這兩條曲線叫雙曲線,其中的一條叫雙曲線的一支. 在黑板上板書課題： 8.3雙曲線的定義及其標準方程。師：比擬每條曲線滿足的條件，這兩支曲線，即雙曲線上的動點M 滿足的條件是什么？ 生：。老師板書 2a0。3、研究2a和2c的關系.師:平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)的動點的軌跡一定是雙曲線嗎?(原以為雙曲線定義已經(jīng)得到的同學們又開始思考)師:與橢圓類比,在橢圓里,到兩個定點的距離之和等于常數(shù)2a,只有這個常數(shù)2a大于兩定點的距離時,動點的軌跡才是橢圓,當兩個定點的距離之和等于兩定點的距離時,動點的軌

6、跡是之間的線段。在雙曲線里,到兩個定點的距離差2a與兩定點的距離2c之間是否也有大小關系呢? (同學們的視線又回到剛剛作出的雙曲線圖形上)師:在剛剛所做的雙曲線上任取一點M,它與構成了三角形, |MF1|與|MF2|的差也就是三角形兩邊的差,同學們欣喜的喊到:三角形兩邊的差小于第三邊，2a2c.(假設點剛好是雙曲線與所在直線的焦點,沒有構成三角形，同學們?nèi)匀缓苋菀椎玫?a2c時，動點有軌跡嗎？(假設動點在之間,到F1與F2的距離的差在變化,不是定值,并且的總長為2c,動點到F1與F2的距離的差的絕對值2a不可能大于2c.生:當2a2c時，動點沒有軌跡.師:現(xiàn)在請同學們給出雙曲線的準確定義.生(

7、自信地):平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動點的軌跡叫雙曲線 用投影儀展示雙曲線圖形及其定義,焦點,焦距概念。三、新課講解1、雙曲線定義： 平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動點的軌跡叫雙曲線即，2a2c叫雙曲線的焦點，=2c(2c0)叫做焦距。強調(diào)：“平面內(nèi)、“距離的差的絕對值、“常數(shù)2a小于 2、雙曲線的標準方程：師：與求橢圓的標準方程類似，我們根據(jù)雙曲線的定義推導雙曲線的標準方程。求曲線方程的根本步驟是什么？生：1建系；2設點；3列式;4化簡老師在投影儀上演示求雙曲線標準方程的過程中，同學們在練習本上書寫求雙曲線標準方程的過程。提醒同學們需要注意1牢牢抓住雙曲線定義

8、列式；2在化簡到 ，結合雙曲線定義中2a 0 )(2a0) 2a 2c教 案 說 明一、授課內(nèi)容數(shù)學本質(zhì)和教學目標定位通過老師創(chuàng)設情景、啟發(fā)誘導，師生共同動手實驗，使學生經(jīng)歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納類比，抽象概括，符號表示，運算求解數(shù)據(jù)處理，反思建構等思維過程，進一步體驗類比發(fā)現(xiàn)法及數(shù)形結合等思想方法的運用，提高學生的實踐，觀察，思考，探究能力,特別是提高類比發(fā)現(xiàn)能力；通過教師指導下的師生交流探索活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點認識問題，體會數(shù)學的科學價值、應用價值、人文價值，體會數(shù)學的系統(tǒng)性、嚴密性，崇尚數(shù)學的理性精神。對本節(jié)課的教學目標從以下幾個方面進行定位：1知識與技能：與

9、橢圓定義類比，深刻理解雙曲線的定義并能獨立推導標準方程；2過程與方法：通過定義及標準方程的深刻挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比及數(shù)形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力；3情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點認識問題，促進學生的數(shù)學交流能力，開展學生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學生提出問題的習慣和能力，培養(yǎng)獨立思考，積極探索的習慣。依據(jù)教學目標和學生的認知規(guī)律，把理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程確定為本節(jié)課的重點，把對雙曲線的定義的理解和掌握確定為本節(jié)課的難點。二、學習本內(nèi)容的根底及今后作用本節(jié)教材所處的地位作用 雙曲線的定義及其標準方程

10、內(nèi)容可分為二個課時，第一課時內(nèi)容主要是雙曲線的定義和標準方程，以及課本中的例1；第二課時主要是課本中的例2、例3及幾個變式例題。雙曲線在社會生產(chǎn)、日常生活和科學技術上有著廣泛的應用，大綱明確要求學生必須熟練掌握 學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對圓錐曲線研究內(nèi)容的進一步深化和提高。通過對橢圓的學習，學生已經(jīng)對“由條件求曲線的方程，再從所得方程來研究曲線的幾何性質(zhì)的解析法有了進一步的認識，為雙曲線的學習在數(shù)學思想、方法等方面打好了根底，做好了鋪墊。而在雙曲線的學習中，如果把雙曲線的定義及其標準方程研究透徹、清楚了，不僅很容易解決雙曲線的定義及其標準方程2中的例2、例3及幾個變式

11、例題，而且對雙曲線的簡單性質(zhì)的學習打下了堅實根底。通過對雙曲線的定義及其標準方程的學習，對已經(jīng)學過的橢圓及其標準方程會有更深的理解，對拋物線的學習就會順理成章,對圓錐曲線局部的解題的有很大幫助，所以這節(jié)課在本章中起著承前啟后的作用。雙曲線的定義與橢圓的定義相比難度增大，所以這節(jié)課在本章中的地位非常重要。三、教學診斷分析 學生在學習了橢圓后，利用類比發(fā)現(xiàn)法，學習本節(jié)教材中的以下知識點是比擬容易的： 1、用求曲線方程的一般方法確定求雙曲線的標準方程的根本步驟；2、應用雙曲線定義求雙曲線的標準方程；3、雙曲線方程的化簡。在本節(jié)教材中，較難理解的地方主要集中在雙曲線的定義局部：1、為什么在拉鏈的拉合過

12、程中拉鏈頭到兩個定點的距離之差的絕對值為定值。2、為什么在定義中對差這個常數(shù)要加絕對值 ；3、為什么2a2c呢?四、教學特點和預期效果分析 1、通過實驗，讓學生主動參與、積極體驗 。教材中雖然有拉鏈，有雙曲線的圖像, 但那是靜態(tài)的，為什么在拉鏈的拉合過程中拉鏈頭到兩個定點的距離之差的絕對值為定值,學生對本質(zhì)并沒有一個直觀的理解; 本人用幾何畫板或動畫去做雙曲線，不如直接實驗得心應手，經(jīng)過屢次考慮決定用拉鏈畫出雙曲線的圖像，變抽象為直觀。1通過實驗中的屢次演示，以小夾子作為參照物，讓學生清楚的看到在拉鏈的拉合中拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是定值，并且這個定值隨著拉鏈固定點的調(diào)換，可正

13、可負，互為相反數(shù)。2把拉鏈頭看作動點M,先使M到F1的距離比M到F2的距離遠，即|MF1|-|MF2|=2a(a0);將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的開合做出中垂線右側一條曲線。調(diào)換兩拉鏈的固定點，這時拉鏈頭M到F1的距離比M到F2的距離短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a0)，將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的合開畫出中垂線的左側的一條曲線。這兩條曲線叫雙曲線,其中的一條叫雙曲線的一支. 這兩支曲線，即雙曲線上的動點M 滿足的條件是 2a0。對定義中絕對值的理解就非常直觀了。3研究2a和2c的關系.在實驗的過程中，能用拉鏈畫出雙曲線，實際上是需要條件的。在畫圖之前，我已經(jīng)將兩定點的距離以及差的

14、絕對值的大小關系定好了，即2a2c，以保證不僅能畫出雙曲線，而且使畫出的雙曲線比擬美觀。結合圖形，與橢圓類比設問：在橢圓里，在雙曲線里,到兩個定點的距離差2a與兩定點的距離之間是否也有大小關系呢? 在雙曲線上任取一點M,它與構成了三角形, |MF1|與|MF2|的差也就是三角形兩邊的差,三角形兩邊的差小于第三邊，2a2c.(假設點剛好是雙曲線與所在直線的焦點,同學們?nèi)匀缓苋菀椎玫?a2c時，動點沒有軌跡.2、以類比發(fā)現(xiàn)思維作為教學的主線 (1) 雙曲線的定義與橢圓定義類比, (2)雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程類比(3)雙曲線和橢圓中,2a與2c的意義及大小關系的類比(4)焦點在x軸上的方程與焦點在y軸上的方程類比。3、 結合投影儀等形式，加大一堂課的信息容量，提高教學的直觀性和趣味性，提高課堂效益。4、教師創(chuàng)設和諧、愉悅的環(huán)境進行引導，用激發(fā)興趣、自主探究的講解討論相結合，使學生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，促進學生說、想、做，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題，大膽分析問題和解決問題.進行主動探究學習，形成師生互動的教學氣氛。 老師捕捉住學生發(fā)言中的閃光點和思維的火花，對學生的積極表現(xiàn)給予鼓勵和肯定。預期教學實效：1、學生對雙曲線的定義中的關鍵詞：差，絕對值，2a2c有非常清晰的理解，對雙曲線的標準方程及其標準方程中a