斷裂力學(xué)講義第三章彈性力學(xué)的平面問題

1、 第3章彈性力學(xué)的平面問題任何彈性力學(xué)問題都是空間問題，但是在某些條件下，它們可以簡(jiǎn)化為平面問題。在平面問題中，我們以x,y,z表示直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)，以u(píng),v,w表示相應(yīng)的位移分量，而以XX、 yy和xx、 yy分別表示相應(yīng)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量。 3.1平衡方程與變形協(xié)調(diào)方程在平面冋題里，所有位移量都只是x, y的函數(shù)，與z無關(guān)，因而所有應(yīng)變和應(yīng)力分量也都只是x, y的函數(shù)，與z無關(guān)。平衡方程（2.40）可簡(jiǎn)化為xxxyfx 0 xyxyyyfy0 xy(3.1)變形協(xié)調(diào)方程（2.63）只余下222xxyy2xy22yxxy(3.2)3.2.1平面應(yīng)力問題3.2平面應(yīng)力與平面應(yīng)變平面應(yīng)力問

2、題是指：發(fā)生在物體某一方向（z方向）的尺寸遠(yuǎn)小于其余兩個(gè)方向尺寸的物體中， 即物體是一個(gè)很薄的平板，此外還要求板的厚度均勻，所有外力都作用在板的中面內(nèi)，或者所有 外力都作用在與中面平行的平面內(nèi)，且載荷對(duì)中面對(duì)稱。根據(jù)這些前提條件，在物體的兩個(gè)端面（上下底面）上，進(jìn)而整個(gè)物體內(nèi)，zz 0,其它應(yīng)力分量中平面應(yīng)力的 應(yīng)變分量，根據(jù)虎克定律（2.95）式，有,zzzxzy 0。0yzzxzzxxyy)(3.3)利用（2.95）式，虎克定律 可以寫成xxyyxy1i(1!(12xxyyxyyy )xx )xy(3.4)3.2.2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題是指：在彈性體沿某一方向（z方向）的尺度遠(yuǎn)大于其余

3、兩個(gè)方向的尺度，而且物體形狀及載荷沿z方向不變的情況下，在任一遠(yuǎn)離端部且與xoy平行的平面內(nèi)，物體的變形都是相同的。此外，由于z方向尺度極大，不能產(chǎn)生z方向的位移，即 w 0，因此，物體內(nèi)的變形yz zx只發(fā)生在與xoy平行的平面內(nèi)。這類彈性力學(xué)問題稱之為平面應(yīng)變問題。由應(yīng)變與位移的關(guān)系直 接得出zz 0，其它應(yīng)變分量中，yz zx 022 平面應(yīng)變的 應(yīng)力分量，根據(jù)虎克定律(3.15)式，有zzXXyzyy )zx(3.5)利用(2.95)式，虎克定律 可以寫成XXyyXy1 2甘1E122-(XyXXyyyy)3.2.3虎克定律的統(tǒng)一形式引入符號(hào):11EXX )(3.6)Xy2)(平面應(yīng)變

4、) (平面應(yīng)力) 代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律 可以統(tǒng)一寫成臺(tái)1 2-EE/(1E/(1(平面應(yīng)變)(平面應(yīng)力)(3.7)XXyyXyXXyyXy以應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程為:2XX2y也可改寫為:2(yy )XX )(3.8)其中2yy2Xyy2XXXyy )(11 Exy2XX2X2(12Xy)x y(3.9)fX(3.10) 為二維直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算符。 y由(3.7)還可以得到一個(gè)常用的關(guān)系式：在后面我們還經(jīng)常用到一個(gè)材料常數(shù)3(31E,它的定義是 (平面應(yīng)變)/(1)(平面應(yīng)力)(3.11)(3.12)利用彈性常數(shù)之間的關(guān)系式(2.97)，還可以得到常用的關(guān)系式丄2E1

5、E(3.13) 3.3 Airy應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)有許多種。本節(jié)只介紹平面問題中常用的Airy應(yīng)力函數(shù)。在(3.10)中引入體力的勢(shì)函數(shù)V,滿足 fx-Vx，fyVy(3.14)和Airy函數(shù)U(x, y)使2U 、，2U2Uxx- V，yy2Vxy(3.15)yxx y則平衡方程自動(dòng)滿足，代入?yún)f(xié)調(diào)方程，得到2U) 4u1 2V(3.16)式中44442(2)42-2 24(3.17)xx yy當(dāng)體力勢(shì)為零時(shí)，U滿足雙調(diào)和方程4U0(3.18)應(yīng)力分量與Airy函數(shù)的關(guān)系成為2U2U2Uxx2，yy2xy(3.19)yxx yAiry函數(shù)可以取多種形式，例如多項(xiàng)式、三角函數(shù)等。這里只介紹一些矩形

6、的平面問題，并取應(yīng)力函數(shù)為多項(xiàng)式的形式。由(3.18)可知，U必須是二次以上的多項(xiàng)式。因?yàn)橐淮味囗?xiàng)式只能使應(yīng)力為零。在以下例子中,我們都假定V 0。表3.3.1列出了取二次和三次多項(xiàng)式中的一項(xiàng)為應(yīng)力函數(shù)時(shí)的應(yīng)力分布。各應(yīng)力函數(shù)相應(yīng)的矩形板的邊界條件如表 3.3.1第4列顯示。表 3.3.1當(dāng)U是一個(gè)高于三次的多項(xiàng)式時(shí)，則不能任取一項(xiàng)。此多項(xiàng)式的系數(shù)必須滿足某種關(guān)系時(shí),才能取為應(yīng)力函數(shù)。 3.4極坐標(biāo)系中平面問題的基本方程應(yīng)力 根據(jù) 2.1的應(yīng)力張量坐標(biāo)變換的方法，可以得出極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)系中應(yīng) 力分量的轉(zhuǎn)換關(guān)系：rr2xx COs2yySin2 xySincos2 xxSin2yy

7、COs2 xySincosr(yyxx)sincosxy (cos2 sin)反過來xx2rr COs2 sin2 r sincosyy2 Si n2 cos2 r sincosxy(rr)sincosr (coS22 sin)由(3.20)還可以得到下面的關(guān)系式：rrxxyy(rr2i r)(yyxx2i 2ixy)e極坐標(biāo)的位移分量ur ,u與直角坐標(biāo)系中的位移分量間有如下關(guān)系:(3.20)(3.21)(3.22)上式也可表示為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系統(tǒng)一寫成Urcossinuusin cos v(Ur iu ) (u iv)ei(3.23)(3.24)其中E,參見(3.7)式。平衡方程rrr1 (3

8、.25)Errrrrr2rrr rfr 0f 0(3.26) 3.5應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法由Muskhelishvili(1953)等系統(tǒng)研究，并形成了一套完整的解法。這些方法在斷裂力學(xué)中也得到廣泛應(yīng)用。在以下討論中，我們假定體力為零。在 量滿足(3.13),從而使U成為雙調(diào)和函數(shù),3.3節(jié)，我們已經(jīng)引進(jìn)了應(yīng)力函數(shù)U(x, y)使各應(yīng)力分4U 0。進(jìn)一步，我們選擇解析函數(shù)(z)和g(z)，將U表示為U Rez (z) g(3.27)記 (z) g (z)?？梢则?yàn)證yyyyxxxx 2ixy4Re (z)2z(z)(z)(3.28)上式稱為柯洛索夫公式。利用虎克定律求出應(yīng)變

9、 xx和yy，然后利用應(yīng)變與位移的關(guān)系作積分， 得到位移的復(fù)變函數(shù)表示為2 (u iv) (z) z- 飛(3.29)其中-(z)和(z)分別表示 (z)和(z)的共軛函數(shù)，的定義參見(3.12)式。利用坐標(biāo)變換可以得出，在極坐標(biāo)系中，柯洛索夫公式可以表示為rrrr 2i r2 (uriu )4Re (z)(3.30)2z (z)(z)e2i(z) z (z)(z)e將上式中的第一式減第二式得到另一個(gè)相當(dāng)有用的公式：rr i r藝e(3.27)的另一種寫法為1 _ U - z (z) z (z) g(z) g(z) 2稱之為古莎公式。 3.6邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示3.6.1力的邊界條件通常給定

10、物體邊界上應(yīng)力矢量Tx，Ty。利用Cauchy公式(2.9)Txxx m yx,Tyxyyy -(3.31)(3.32)(3.33)l cos(N,x) dy/ds，m圖3.1由圖(3.1)可知cos(N,y) dx/dsTxU dy2 一x ydxdsUy ydy dsxUydxdsyds所以dUdUTxTydsydsx再利用(3.19)式，將應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示，得到參照柯洛索夫公式，我們用應(yīng)力矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式(3.34)TxiTydds.d U i - ds.d U i -ds x.Ui-y利用古莎公式(3.32), uUxUy記(z)g(z)，得到1z212(z)因此得(z)z (z)z

11、 (z)TxiTy，有(z)z (z)z (z)z (z)g(z)g(z)g(z) g(3.35).di -ds(z)或者i(Tx將上式沿物體邊界對(duì)弧長積分，例如從Bi aiTy) d (z) z7)dsA到B(圖3.1),則得iTy)ds (z)zp厲B(3.36)(3.37)BX iY ,其中X,Y分別為AB段上上式中i A(Tx iTy)ds等于在邊界上AB段內(nèi)應(yīng)力矢量的主矢量 應(yīng)力矢量得主矢 R在x,y方向上的投影。B點(diǎn)為邊界上的任意點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)),則zB記為乙而式如果選定A點(diǎn)為邊界上的某一基點(diǎn)(定點(diǎn)),(3.37)可寫成BA(Tx(z) z (z)(z) i可以證明(參見尹祥礎(chǔ)，1995

12、),如果取(z) z (z) 并不影響應(yīng)力和位移，因而可以使(3.38)簡(jiǎn)化為(z) z 帀 上式就是用 (z)、 (z)表示的力的邊界條件。其中 (x,y)。同理可得iTy)ds(z)zza(z) z (z)zz”BA(TxiTy)ds(z) iA點(diǎn)為邊界上的某一固定點(diǎn)z (z) zz (z)A 其中M ab表示作用在邊界 AB段上所有外力對(duì)原點(diǎn)的合力矩。M ab Reg(z)(3.38)(3.39),B點(diǎn)代表動(dòng)點(diǎn)(3.40)3.6.2位移的邊界條件對(duì)于邊界上的位移給定為 u u(x, y) 的情況，按柯洛索夫公式，可立即得到其邊界條件為(z) z- 帀 2 u(x,y) iv(x, y)v

13、 v(x, y)(3.41) 3.7用復(fù)變函數(shù)方法解彈性力學(xué)平面問題的若干實(shí)例3.7.1均勻應(yīng)力場(chǎng)2 取復(fù)應(yīng)力函數(shù)HzHz(3.42)其中H, H 為復(fù)常數(shù)，H B iC其中B, BC, C為實(shí)常數(shù)。按柯洛索夫公式H B iC由上式可得yyxx4Re(z)4Byyxx2i xy2z(z)(z)2H 2(B iC)2B Bxxyy2BBxy C(3.43)可以得到不同的應(yīng)力狀態(tài)。 另外,可見，應(yīng)力函數(shù)(3.42)代表均勻應(yīng)力場(chǎng)。適當(dāng)?shù)剡x擇各常數(shù)的值, 由(3.43)可知，C的值對(duì)應(yīng)力值不起作用，故取C 0。1.沿X方向的單向拉伸，拉應(yīng)力為 !。遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件為 xx !， yy xy 0，代入(3

14、.43)得B J4, B 此復(fù)應(yīng)力函數(shù)為i /2, C 0。因(Z) iZ/4,iZ/2(3.44)2.沿x,y兩個(gè)方向雙向拉伸，拉應(yīng)力分別為i和2遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件為xx1,yy2,xy00代入(3.43)得到B(12)/4 ,B ( 21)/2, C0,因此復(fù)應(yīng)力函數(shù)為(z)12z/4,(z)21z/2(3.45)3.純剪，剪應(yīng)力為0遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件為xxyy05xy0,類似地得到B B 0, C 0 ,復(fù)應(yīng)力函數(shù)為(z)0,(z) i z(3.46)3.取般的情況。主應(yīng)力為1， 2 01與x軸的夾角為。由柯洛索夫公式y(tǒng)yxx1 2 4Byyxx2i xy(12)e2i2(B iC)解之得B12,B

15、12 cos2C 12 sin2(3.47)422相應(yīng)的復(fù)應(yīng)力函數(shù)為(3.48)2ize位移：將式(3.42)代入位移的柯洛索夫公式(3.29)，將實(shí)部與虛部分開得到:1u尹B(1)BxC(1)Cy21(3.49)vC(1)CxB(1)By3.7.2無限大平板中有一圓孔，孔壁受均勻壓力p(圖3.2)取(z) 0, /z(3.50) 按柯洛索夫公式，rrrr2i r解之得Ur利用孔壁內(nèi)邊界條件：在孔壁上r R,2 (Urrr在巖體中鉆孔后施加壓力/(2rriu )4Re (z)02z (z)(z)e2i(z) z- /r2，rrr)，時(shí)， pR2/r2, pR2/r2, 00.rr2( 2P,即

16、P,只要能測(cè)出在P,得2 e2i 面e， /r圖3.2無限大介質(zhì)中, 圓孔受均勻內(nèi)壓 問題/r2，pR ,最后得到2ur pR / 2 ru 0(3.51)pp作用下孔壁的徑向位移 ur |r R ,就可求出(3.52)3.7.3帶圓孔無限大平板受到單向拉力的問題如圖3.3所示，在無限大平板中有一圓孔，半徑為R.在無限遠(yuǎn)處受到單向拉力的作用,并取此方向?yàn)閄軸。取如下的解：(3.53)其中A, B, C均為實(shí)常數(shù)。本問題的邊界條件為r R時(shí),rr可求出2R2，R2，R4.(3.54)最后得1rrR22 rR22 r2R2r23R4r4R2r3R4rsin 2和斷裂力學(xué)直接相關(guān)的是孔邊的周向應(yīng)力型

17、 cos2rcos2(3.55)|r R，在式(3.55)中第二式中令r=R, 得|r R當(dāng) 之比）。當(dāng) 特別當(dāng)90 （圖3.4中A、B兩點(diǎn)）,30時(shí),0時(shí),maxi （12 cos2 ）3 i,即應(yīng)力集中系數(shù)i 0為壓應(yīng)力時(shí)，在（3.56）為3（最大應(yīng)力與平均應(yīng)力30范圍內(nèi)為拉應(yīng)力。與i異號(hào)。這意味著當(dāng)AR圖3.48 urr2R(12 cos 2)-1R 1Rr8 u2r2R彳R21sin 2R 1Rrr再將式（3.53）、（3.54）代入柯洛索夫公式中，可求得位移為1R2cos2(3.57)孔壁的徑向位移Ur Ur |r R也有特別重要的意義。將r R代入上式即可得Ur(3.58)3.7.

18、4帶圓孔無限大平板受到雙向拉力的問題當(dāng)沿x方向作用主應(yīng)力孔壁徑向位移分別為沿y方向作用主應(yīng)力2時(shí)，利用疊加原理，可得到其應(yīng)力分布及rrUr2( 12( 12(12）2)2）R2rR22 r2R2r2(2(3R4)212在式（3.59）中第二式中令R(12 1 23max1|r R190 （圖3.5中A、B兩點(diǎn)）時(shí),2）2)4R22r3R42)cos2cos2.cos2 ,(3.59)圖3.5(3.60)當(dāng) 0或 180 （圖3.5中C、D兩點(diǎn)）時(shí)，i 3 2（3.61）當(dāng)1、2均為壓應(yīng)力時(shí)，若記 1、2為絕對(duì)值，則上述各式中1、2換為 1、2。 3.8地應(yīng)力和地應(yīng)力的測(cè)量地殼中的應(yīng)力場(chǎng)是地學(xué)中

19、的基本課題之一。它與地學(xué)中的許多重大課題（諸如地震的孕育與預(yù)報(bào)，構(gòu)造物理學(xué)等）密切相關(guān)。一般認(rèn)為，地應(yīng)力的三個(gè)主應(yīng)力方向分別沿水平方向和垂直方向。 其中垂直方向記為z v，水平方向的兩個(gè)主應(yīng)力按絕對(duì)值大小記為Hmax和H min。當(dāng)然，也有些地區(qū)不滿足上述假設(shè)，這些地方的主應(yīng)力與垂直向或水平向成某種角度。最簡(jiǎn)單的地應(yīng)力狀態(tài)是沒有構(gòu)造應(yīng)力的地殼上部應(yīng)力場(chǎng)。22.7g/cm0。代入（2.94）式，有為巖石密度（例如花崗閃長巖的 形，即xxyyxyxxyy得到H maxxxyy為深度,H minyyzzv gh ,其中 g為重力加速度。假定水平方向沒有變?cè)谶@種情況下,gh(3.62)地應(yīng)力狀況分幾種

20、類型。如令3 |，則按照絕對(duì)值可劃分為:1垂直向?yàn)橹虚g主應(yīng)力（即2垂直向?yàn)樽畲笾鲏簯?yīng)力（3垂直向?yàn)樽钚≈鲏簯?yīng)力（H maxv ,3H min ),H max ,3H min ),2H min ,3v )。地應(yīng)力的測(cè)量方法分為絕對(duì)測(cè)量與相對(duì)測(cè)量?jī)纱箢悺Ｇ罢呤侵笢y(cè)量地殼中某處（某點(diǎn)）的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)。后者則是測(cè)量該處應(yīng)力的變化。一般來說前者比后者更困難些。絕對(duì)測(cè)量法中較常用 的是應(yīng)力解除法與水壓致裂法。3.8.1應(yīng)力解除法如圖3.6所示，在巖石表面垂直鉆一圓孔，半徑為 R,直徑為D。利用套鉆或其它方法在此孔的周圍挖成一個(gè)環(huán)形槽，從而使孔R(shí)周圍巖體中原來所受到的應(yīng)力H max和ymin被解除。應(yīng)力解除過程是應(yīng)力加載的擬過程，在孔中安置儀器，測(cè)量應(yīng)力解除后孔壁的徑向位移Ur。實(shí)際操作常常是測(cè)量半徑 D的變化 D，而Ur/R D/D。至少需要測(cè)量三個(gè)角度1, 2, 3上的Ur（如圖3.7）。角度差3221 ,通常取為60或45。按式（3.57）,Ur1D1(1)(H maxH min )2(RD8UR2D2(1)(H maxH min )2(RD8UR3D3(1)(H maxH min )2(RD8H maxH min ) C0S2 1H maxH min )