多目標(biāo)規(guī)劃方法和應(yīng)用實(shí)例

1、多目標(biāo)規(guī)劃方法和應(yīng)用實(shí)例 1多目標(biāo)規(guī)劃解的討論非劣解 多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介效用最優(yōu)化模型 罰款模型約束模型 目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法 求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例 多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為 MOP(multi-objective programming)。在很多實(shí)際問題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計等領(lǐng)域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標(biāo)來判斷，而需要用多個目標(biāo)來比較，而這些目標(biāo)有時不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。189

2、6年法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家V.帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問題，之后，J.馮諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。4求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法，即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決

3、策與分析方法，對于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。 多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成： （1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)； （2）若干個約束條件。 （二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式： 一 多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解 式中： 為決策變量向量。 縮寫形式：有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)， m個約束方程，則： Z=F(X) 是k維函數(shù)向量， (X)是m維函數(shù)向量； G是m維常數(shù)向量； （1）（2） 對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以進(jìn)一步用矩陣表示： 式中： X 為n 維決策變量向量； C 為kn 矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣； B 為mn 矩陣，即約束方

4、程系數(shù)矩陣； b 為m 維的向量，即約束向量。 多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇： 每一個目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？ 每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決 ？ 在圖1中，max(f1, f2) .就方案和來說，的 f2 目標(biāo)值比大，但其目標(biāo)值 f1 比小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。 在各個方案之間，顯然：比好，比好, 比好, 比好。 非劣解可以用圖1說明。圖1 多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解10 而對于方案、之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有

5、比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。 效用最優(yōu)化模型 罰款模型 約束模型 目標(biāo)達(dá)到法 目標(biāo)規(guī)劃模型二 多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介 為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。 方法一 效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法） （1） （2） 思想：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的

6、方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題： 在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值 i 來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中， i 應(yīng)滿足：向量形式：方法二 罰款模型（理想點(diǎn)法） 思想: 規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實(shí)際值 fi 與期望值 fi* 之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?式中， 是與第i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重； A是由 (i=1,2,k )組成的mm對角矩陣。理論依據(jù) ：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一

7、個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題： 方法三 約束模型（極大極小法） 方法四 目標(biāo)達(dá)到法 首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo) fi* ( i=1,2,k ) ,每一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為 i* ( i=1,2,k ) ，再設(shè) 為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題就轉(zhuǎn)化為： 18方法五 目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法） 需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值 fi* ，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子

8、和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標(biāo)，L個優(yōu)先級( LK)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為： 19式中： di+ 和 di分別表示與 fi 相應(yīng)的、與fi* 相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負(fù)偏差變量； pl表示第l個優(yōu)先級； lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級 pl 中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。 三 目標(biāo)規(guī)劃方法 通過前面的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。 這一方法是美國學(xué)者查恩斯（）和庫伯（）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（）和李（）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法單純形方法。 目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純

9、形方法 目標(biāo)規(guī)劃模型 給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。1.基本思想 ：2.目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8萬元和10萬元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺時和2單位臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10單位臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？ 由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使 將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)

10、后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為: （萬元）。 甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺時)1210單件利潤810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？ 但是，在實(shí)際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn) 成本增加。應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃產(chǎn)值指標(biāo)56萬元。 這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。 根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因 此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。24假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先

11、級(KL)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+ 、kl- ，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為： 目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束25在以上各式中，kl+ 、kl- 、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第 k 個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)， gk為第 k個目標(biāo)的預(yù)期值， xj為決策變量， dk+ 、dk- 、分別為第 k 個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。 (1) 偏差變量 在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量 d +、d - 。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)

12、偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。 因?yàn)闆Q策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達(dá)到目標(biāo)值，故有 d +d - =0成立。 (2) 絕對約束和目標(biāo)約束 絕對約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。 目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差 ，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。 線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。(3) 優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

13、 一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p1 ，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p2 ，并規(guī)定 pl pl+1 (l=1,2,.) 表示 pl 比 pl+1 有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1 級目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1 級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子 pl 的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i* ( i=1,2,k )。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù) 一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往

14、往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p1 ，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p2 ，并規(guī)定 pl pl+1 (l=1,2,.) 表示 pl 比 pl+1 有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1 級目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1 級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。(4)目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a) 要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即 b) 要求不超過目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可

15、能小，即 c) 要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即 基本形式有三種：30例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。分析: 題目有三個目標(biāo)層次，包含三個目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1+ ; 即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。 第二目標(biāo)： p2(d2+ + d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；第三目標(biāo)： p3d3- ; 即產(chǎn)值不小于56萬元；例2：在例1中，如果決策者在原材料

16、供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是32例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？12070單件利潤3000103設(shè)備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲 單位 產(chǎn)品資源 消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品: x1 ，乙產(chǎn)品: x2 ,(1)33 若在例3中提出下列要求： 1、完成或超額完成利潤指標(biāo) 50000元； 2

17、、產(chǎn)品甲不超過 200件，產(chǎn)品乙不低于 250件； 3、現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完。 試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 分析：題目有三個目標(biāo)層次，包含四個目標(biāo)值。 第一目標(biāo)：p1d1- 第二目標(biāo)：有兩個要求即甲 d2+ ，乙 d3- ，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即 70 :120，化簡為7:12。第三目標(biāo)：34所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：35 圖解法同樣適用兩個變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下： 1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對約束，暫不考慮正負(fù)偏差變

18、量）在坐標(biāo)平面上表示出來； 2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向； 目標(biāo)規(guī)劃的圖解法 3、求滿足最高優(yōu)先等級目標(biāo)的解； 4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級目標(biāo)的解； 5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級的目標(biāo)都已審查完畢為止； 6、確定最優(yōu)解和滿意解。36例4、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問題01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 Ax2 x1BC由于d2- 取最小，所以，（2）線可向上移動，故B，C線段上的點(diǎn)是該問題的最優(yōu)解。37 例5、已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為 其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤，x1, x2 為產(chǎn)

19、品A、B 產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標(biāo)： 1、要求總利潤必須超過 2500 元； 2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓， A、B的生產(chǎn)量不超過 60 件和 100 件； 3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型，并用圖解法求解。38解：以產(chǎn)品 A、B 的單件利潤比 2.5 :1 為權(quán)系數(shù)，模型如下：390 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 100ABCD 結(jié)論：C(60 ,58.3)為所求的滿意解。40 檢驗(yàn)：將上述結(jié)果帶入模型，因 d1+d1- 0 ； d3+d3- 0 ；d2- =0， d2+存在； d4+ 0， d4-存在。所以，有下

20、式： minZ= 將 x160， x2 58.3 帶入約束條件，得30602499.62500；260+58.3=178.3 140；1606058.3 100 由上可知：若A、B的計劃產(chǎn)量為60件和件時，所需甲資源數(shù)量將超過現(xiàn)有庫存。在現(xiàn)有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，由原來的100降至（），才能使生產(chǎn)方案（60，）成為可行方案。 求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法 目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解 ，在求解時作以下規(guī)定：因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗(yàn)數(shù)為：因?yàn)榉腔兞康臋z驗(yàn)數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子， 所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的

21、系數(shù) 1j 的正負(fù)，若 1j =0，則檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù) 2j 的正負(fù)，所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j 的正、負(fù)，若 1j =0，則檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j 的正、負(fù)，下面可依此類推。 據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)。建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。

22、若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)。按最小比值規(guī)則（ 規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。按單純形法進(jìn)行基變換運(yùn)算，建立新的計算表，返回。當(dāng)l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回 。例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題.解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 取 為初始基變量，列出初始單純形表。 取 l =1 ，檢查檢驗(yàn)數(shù)的 p1 行，因該行無負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，故轉(zhuǎn)。 因?yàn)?l =1L=3 ，置 l = l+1=2 ，返回。 檢查發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)數(shù) p2行中有-1，-2，因?yàn)橛衜in-1,-2=

23、-2 ，所以x2為換入變量，轉(zhuǎn)入。 按 規(guī)則計算： ，所以 d2- 為換出變量，轉(zhuǎn)入。 進(jìn)行換基運(yùn)算，得表3。以此類推，直至得到最終單純形表4為止。 表2表3由表3可知，x1* =2，x2* =4，為滿意解。檢查檢驗(yàn)數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量d3+的檢驗(yàn)數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。表4 在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換出變量，經(jīng)迭代得到表4。 從表4可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是該問題的滿意解。 50 用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，如下: 多目標(biāo)規(guī)劃的Matla

24、b求解X = FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT=FGOALATTAIN(FUN,X0,.)51在MATLAB中，多目標(biāo)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度；goal為用戶設(shè)計

25、的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量； 為一個松弛因子標(biāo)量；F(x)為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。52例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個等級，甲級單價2元/kg,乙級單價1元/kg，現(xiàn)要求總費(fèi)用不超過200元，購得原料總量不少于100kg,其中甲級原料不少于50kg，問如何確定最好的采購方案。分析:列出方程x150; 2x1+x2200; x1+x2100; x1,x20化為標(biāo)準(zhǔn)形min f1=2x1+x2min f2= x1 x2min f3= x1s.t :2x1+x2200 x1 x2 100 x1 50 x1, x2053matlab程序fun=2*x(1)+x(

26、2),-x(1)-x(2),-x(1);a=2 1;-1 -1;-1 0;b=200 -100 -20;goal=200,-100,-50;weight=goal;x0=55, 55;lb=0,0;X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,lb,) 化為標(biāo)準(zhǔn)形min f1=2x1+x2min f2= x1 x2min f3= x1s.t :2x1+x2200 x1 x2 100 x1 50 x1,x2054Optimization terminated: Search direct

27、ion less than 2*options.TolXand maximum constraint violation is less than options.TolCon.Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 2 2 3exitflag = 4一、土地利用問題 二、生產(chǎn)計劃問題 三、投資問題 四 多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例 大豆一、土地利用問題例: 某農(nóng)場I、II、III等耕地的面積分別為100 hm2、300 hm2和200 hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米

28、，要求三種作物的最低收獲量分別為190000 kg、130000 kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如下表所示。若三種作物的售價分別為水稻元/kg，大豆元/ kg，玉米元/kg。那么，（1）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大？I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000 取 xij 決策變量，它表示在第 j 等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括： 追求總產(chǎn)值最大追求總產(chǎn)量最大 根據(jù)題意，約束方程包括： 非負(fù)約束 對上述多

29、目標(biāo)規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。耕地面積約束最低收獲量約束1.用線性加權(quán)方法 取1=2,重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)： 這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。 用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表 此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆公頃、種植玉米公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。 用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表2.目標(biāo)規(guī)劃方法 實(shí)際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述多目標(biāo)規(guī)劃問題。 如果我們對總產(chǎn)量f1(X)和總產(chǎn)值f1(

30、X)，分別提出一個期望目標(biāo)值（kg）（元）并將兩個目標(biāo)視為相同的優(yōu)先級。 如果d1+、d1-分別表示對應(yīng)第一個目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，d2+、d2-分別表示對應(yīng)于第二個目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，而且將每一個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為： 對應(yīng)的兩個目標(biāo)約束為：即： 除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負(fù)約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負(fù)約束，不但包括決策變量的非負(fù)約束式，還包括正、負(fù)偏差變量的非負(fù)約束： 解上述目標(biāo)規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表: 在此非劣解方案下，兩

31、個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量分別為 ， ， ， 。二、生產(chǎn)計劃問題 某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費(fèi)用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達(dá)到最大? 分析:該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用 x1 和 x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）； f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）； f2(x1,x2)表示生

32、產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問題就是：求x1 和 x2，使： 分析:該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用 x1 和 x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）； f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）； f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問題就是：求x1 和 x2，使： 而且滿足： 對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達(dá)到或超過45000元；（3）兩個目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab

33、軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進(jìn)行求解，可以得到一個非劣解方案為： 而且滿足： 67而且滿足： X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT=FGOALATTAIN(FUN,X0,.)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)按照此方案進(jìn)行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。 三、投資問題 某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個項(xiàng)目的技術(shù)改造。設(shè)x1 、x2 分別表示分配給A、B項(xiàng)目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項(xiàng)目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風(fēng)險損失，與總投資和單項(xiàng)投資均有關(guān)系： 據(jù)市場調(diào)查顯示， A項(xiàng)目的投資前景好于B項(xiàng)目，因此希望A項(xiàng)目的投資額不小B項(xiàng)目。試問應(yīng)該如何在A、B兩