根軌跡法基本條件和方程規(guī)則

1、根軌跡法基本條件和方程規(guī)則 閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的分布所決定。利用系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布圖，采用圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根隨參數變化的運動軌跡-根軌跡。 內容提要 本章介紹根軌跡的基本條件、常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則、廣義根軌跡的繪制，以及用根軌跡確定閉環(huán)極點及系統(tǒng)性能指標。 知識要點 根軌跡的基本條件、幅值方程、相角方程，常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制、根軌跡圖分析系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)特性。 引言系統(tǒng)特征方程的根在復平面上的分布位置與系統(tǒng)的動態(tài)性能是密切相關的。閉環(huán)控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于其特征方程的根是否位于復平面的左半平面內，而閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性

2、能取決于系統(tǒng)特征方程的根在復平面左半平面上的分布。對于高階系統(tǒng)，為了避免解析法求解所有特征根的繁瑣性，1948年伊萬斯（）創(chuàng)立了一種通過改變系統(tǒng)的一個參數來分析系統(tǒng)特征方程根的位置變化的方法，并給出了繪制系統(tǒng)特征根變化軌跡的方法，簡稱為根軌跡法。 根軌跡法是一種分析線性控制系統(tǒng)的圖解方法，具有直觀和簡便的優(yōu)點，并且是一種通用方法，可以繪制任意線性多項式關于任何參數的根軌跡，這樣不需要用解析法求特征方程的根也能夠在根軌跡圖上分析改變系統(tǒng)的參數對其動態(tài)性能的影響。 根軌跡的基本概念4.1.1 根軌跡的基本概念C(s)R(s)15.0(+SSKC(s)R(s)15.0(+ssK 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的某

3、一參數從零變化到無窮時，閉環(huán)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡稱為根軌跡。 系統(tǒng)特征根的分布與系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)性能密切相關，而根軌跡正是直觀反應了特征根在復平面的位置以及變化情況，所以利用根軌跡很容易了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)性能。 根軌跡上的任何一點都有與之對應的開環(huán)增益值，而開環(huán)增益與穩(wěn)態(tài)誤差成反比，因而通過根軌跡也可以確定出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 根軌跡與系統(tǒng)性能之間有比較密切的關系。4.1.2 根軌跡與系統(tǒng)性能4.1.3 閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關系G(s)C(s)R(s)H(s)G(s)C(s)R(s)H(s)結論4.1.4 根軌跡方程 特征方程的這種形式稱為根軌跡方程。滿足根軌跡方程的s就

4、是閉環(huán)特征根。當根軌跡增益K*從0時，特征根s在復平面上變化的軌跡就是根軌跡。G(s)C(s)R(s)H(s)G(s)C(s)R(s)H(s) 繪制根軌跡的基本規(guī)則4.2.1 180根軌跡的繪制原則 兩條或兩條以上的根軌跡在復平面上相遇后又分開的點，稱為根軌跡的會合點或分離點。（1）實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間為根軌跡段，則一定有分離點；（2）實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間為根軌跡段，則一定有會合點；（3）實軸上一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間為根軌跡段，則一定既有分離點又有會合點，或既沒有分離點又沒有會合點；（4）分離點（會合點）可以是實數，也可以是復數，兩個相鄰的開環(huán)復極點（或零點）之間可能有

5、分離點或會合點例4-1設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解：例4-2已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試畫出其根軌跡草圖。解：（2）利用Routh判據確定K和值 由特征方程式列出勞斯陣為當勞斯陣s1行等于零時，特征方程可能會出現共軛虛根。令s1 行等于零，則得K*KC6。共軛虛根值可由s2行的輔助方程求得：將KC6代入上式解得 兩種方法計算的結果一致。（2）利用Routh判據確定K*和值 由特征方程式列出勞斯陣為例4-4：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞為 ，其開環(huán)零、極點位置如下圖所示，試計算根軌跡在起點1j1的出射角。 令 K 從零稍微增大，則根軌跡從1j1點出發(fā)到達 s1，s1點應滿足相角條件，即

6、 如上圖a所示 ，由于 s1 點離起點很近，故可認為上式中的1 ，1，2，3就是開環(huán)零極點到起點1j1的矢量幅角，見上圖 b ，即1 45，135 ，26.6 ，3 90，代入上式求得4 71.6。因此根軌跡在1j1點的出射角為71.6。根據對稱性，可求得根軌跡在-1-j1處的出射角為。例4-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，繪制系統(tǒng)的根軌跡。式中：解：（1）起點：有兩個開環(huán)極點，所以起點為 s1 0 ，s2 2 。 （2）終點：因沒有有限零點，所以兩條根軌跡都將趨于無窮遠。（3）實軸上的根軌跡：根據法則4，根軌跡存在的區(qū)間為2，0。（4）計算分離點：將 N(s) 1，D(s)s(s2) 代入分

7、離點計算公式 N(s) D(s) N(s) D(s) 0中，解得分離點為 s 1。（5）根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角：根據式漸近線計算公式得漸近線的交點：根據公式計算得4.2.2 根軌跡的繪制漸近線的交點和根軌跡的分離點重合。根據以上分析計算結果，可繪制出系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。例4-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)的開環(huán)極點為 ，無開環(huán)零點。（1）起點：有4個開環(huán)極點，分別起始于（2）終點：因沒有有限零點，所以4條根軌跡都將趨于無窮遠。（3）實軸上的根軌跡：根據法則4，根軌跡存在的區(qū)間為4，0。（4）根軌跡的漸近線。 漸近線與實軸的交點漸近線的傾角（5）計算分離點

8、：將 N(s) 1，D(s)s(s2) (s2+4s5) 代入分離點計算公式 N(s) D(s) N(s) D(s) 0中，解得分離點為 （6）分離點（會合點）的分離角（會合角）均為 。（7）根軌跡與虛軸的交點為（8）共軛復極點 的起始角為根據對稱性得 。綜上，系統(tǒng)的根軌跡草圖如下所示。一般來說，由兩個開環(huán)極點（實數極點或復數共軛極點）和一個有限開環(huán)零點（必為實數零點）組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點不位于兩個實數極點之間，那么當K*由0時，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的非實數部分是以該有限零點為圓心，以有限零點到會合點的距離為半徑的一個圓或圓的一部分。 注意：例4-8 已知具有開環(huán)零點的開環(huán)傳遞函數為 ，試繪

9、制系統(tǒng)的根軌跡。解：（1）起點：有兩個開環(huán)極點，所以起點為 s1 0，s2 -2 。（2）終點：二條根軌跡一條終止于開環(huán)有限零點 s=-4，另一條趨向無限零點。 （3）實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡存在的區(qū)間為-2,0-，-4 。（4）分離點和會合點：由公式可得 N(s) D(s) N(s)D(s) (2s+2)(s+4)-(s2+2s) 0 整理得 s2+8s+8 0 對上式求解得 （5）復平面上的根軌跡。 根據相角條件，根軌跡上的各點應滿足幅值和相角條件公式，即在復平面上， ，于是得即對上式整理后得圓方程式 它的圓心在(-4, )點，半徑等于 ，根軌跡如下圖所示。這個圓與實軸的交點即為分離點

10、和會合點。0-4p1p2p3p4A0-4p1p2p3p4A0-4p1p2p3p4A高階系統(tǒng)的試差求解4-3 廣義根軌跡4.3.1 參數根軌跡 以非開環(huán)增益的其他參量為參變量的根軌跡稱為反饋系統(tǒng)的參數根軌跡。 繪制參數根軌跡的方法與180和0根軌跡規(guī)則一樣，只是把特征方程化為如下形式： 繪制參數根軌跡的一般步驟如下：（1）寫出原系統(tǒng)的特征方程；（2）以特征方程式中不含參數的各項去除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程。該方程中原系統(tǒng)的參數即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益；（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數根軌跡。 例4-10 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ，試繪制當K*=4時，以參數為參變量的根軌

11、跡。解：系統(tǒng)特征方程為 ，上式和根軌跡方程具有相同的形式，其左邊部分 相當于某一開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數，稱為等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數，參數稱為等效根軌跡增益。利用根軌跡繪制法則，可以繪出當從零變化到無窮大時等效系統(tǒng)的根軌跡。也可寫成（1）起點： s1 j2，s2 -j2。（2）終點： s1 0，s2 -。（3）實軸上的根軌跡存在區(qū)間(，0。（4）會合點：據公式 N(s) D(s) N(s)D(s) 0可解得因為 s 2不在根軌跡上，所以 s 2為會合點。（5）復平面上的根軌跡：可以證明根軌跡在復平面上為半圓，方程為根據以上幾點，以為參變量的根軌跡如下圖所示。書P110-4-9 已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

12、數為 ， 試求K*=1時，以T為參變量的系統(tǒng)根軌跡圖。 解：當K*=1時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 ，則以T為參變量時的等效開環(huán)傳遞函數為按照繪制常規(guī)根軌跡的基本原則繪制以T為參變量的系統(tǒng)根軌跡為：（1）起點：三條根軌跡分別起始于p1 0，p2 p31 。（2）終點：無開環(huán)有限零點，三條根軌跡分別終止于無窮遠點。（3）實軸上的根軌跡存在區(qū)間為(，-1和-1，0。即（4）根軌跡有三條漸近線 （5）根軌跡的分離點：據公式 N(s) D(s) N(s)D(s) 0可解得（6）根軌跡與虛軸的交點。根據閉環(huán)特征方程列寫Routh表如下當T2時，Routh表的s1行元素全為零，輔助方程為解得作系統(tǒng)參數根軌跡如下

13、圖所示。4.3.2 零度根軌跡 零度根軌跡的繪制，原則上可參照常規(guī)根軌跡的繪制法則，但在與相角條件有關的一些法則中，需作適當調整。 下面給出繪制零度根軌跡的基本法則： （1）根軌跡的起點、終點和條數同常規(guī)根軌跡。 （2）實軸上的根軌跡存在的區(qū)間為其右側實軸上的開環(huán)零點和極點個數之和為偶數。 （3）根軌跡的分離點和會合點的計算方法同常規(guī)根軌跡。 （4）根軌跡的漸近線與實軸的交點的計算方法同常規(guī)根軌跡。傾角的計算公式為 （5）根軌跡的出射角和入射角的計算公式為 （6）根軌跡與虛軸交點的計算方法同常規(guī)根軌跡。 其它性質均同常規(guī)根軌跡。 （1）起點：s1 0，s2 -1， s3 -5。 （2）終點：

14、三條根軌跡都趨向無窮遠。 （3）實軸上根軌跡存在的區(qū)間為-5,-1,(0,+)。 （4）計算分離點：N(s) 1， D(s) s(s1)(s5)代入計算公式解得 s1 3.52 s2 由于 不在根軌跡上，所以根軌跡的分離點為。 （5）根軌跡的漸近線 傾角 交點 根據以上幾點，可繪出系統(tǒng)的零度根軌跡如下圖所示。例4-12 設單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 , 試繪制根軌跡。解：繪制步驟如下：例4-13 設某正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖，確定臨界增益KC。C(s)G(S)H(S)-set-G(s)H(s)R(s)-set-X2(t)X1(t)X2(t)X1(t)t主根軌跡圖 控制系

15、統(tǒng)的根軌跡法分析4.4.1 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定的系統(tǒng)，其閉環(huán)特征根必須全部位于s平面左半側，而且在s平面左半側距虛軸距離越遠，其相對穩(wěn)定性越好。 根軌跡正好直觀地反映了系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上隨參數變化的情況，因此，由根軌跡很容易了解參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數變化范圍。例:設某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試繪制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*取值范圍。解：利用根軌跡的繪制法則(過程從略)可繪出K*從0變化到 時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。 由圖可見，當0K*14及64K*195時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而當14K*64及K*195時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 把參數在一定范圍內取

16、值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)叫條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 如前面所舉的例子中的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對于條件穩(wěn)系統(tǒng)，可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數取值范圍。 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能不十分可靠，實際工作中，應盡量通過參數的選擇或適當的校正方法消除條件穩(wěn)定的問題。 4.4.2 根據根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點 利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)根軌跡增益或其它開環(huán)系統(tǒng)參數改變時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其暫態(tài)性能的變化情況。例：典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳函為當變化時，作出系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 圖中阻尼角與阻尼比的關系為 根據根軌跡我們可以確定系統(tǒng)工作在根軌跡上任一點時所對應的，n 值，再根據暫態(tài)指標的計算公式 可得到系統(tǒng)工作

17、在該點的暫態(tài)性能。反過來，我們也可以根據系統(tǒng)暫態(tài)指標的要求，確定系統(tǒng)特征根的位置，及閉環(huán)極點。方法：(1)根據超調量的要求先求出阻尼角，再從原點以阻尼角引二條射線。(2)根據調節(jié)時間的要求，計算出n 在s平面上畫出s的直線。由此確定滿足系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的區(qū)域。 若在該區(qū)域內沒有合適的根軌跡，則應在系統(tǒng)中加入極點、零點合適的校正裝置以改變根軌跡的形狀，使根軌跡進入該區(qū)域。然后確定滿足要求的閉環(huán)極點位置及相應的開環(huán)系統(tǒng)參數值。 例：單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 若要求閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應的最大超調量%18%，試確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。 解：繪出 K由零變化到時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。當K17時，根軌

18、跡在實軸上有分離點。當K240時，閉環(huán)極點是不穩(wěn)定的。根據%18 %的要求，求得阻尼角應為60，在根軌跡圖上作60 的射線，并以此直線和根軌跡的交點A ，B作為滿足性能指標要求的閉環(huán)系統(tǒng)主導極點，即閉環(huán)系統(tǒng)主導極點為 由根軌跡方程的幅值條件，可求得相應于 A，B 點的 K*值為再計算出系統(tǒng)的開環(huán)增益為 根據閉環(huán)極點之和等于常數的性質，可求得系統(tǒng)另一閉環(huán)實極點為 它將不會使系統(tǒng)超調量增大，故取K 可滿足要求。4.4.3 開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響 增加開環(huán)零點將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應性能. 下面以三階系統(tǒng)為例來說明。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 如果在系統(tǒng)中增

19、加一個開環(huán)零點，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)?1. ，設 ，則相應系統(tǒng)的根軌跡如圖b)所示。由于增加一個開環(huán)零點，根軌跡相應發(fā)生變化。 下面來研究開環(huán)零點在下列三種情況下系統(tǒng)的根軌跡。 從根軌跡形狀變化看，系統(tǒng)性能的改善不顯著，當系統(tǒng)增益超過臨界值時，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開環(huán)增益和臨界頻率都有所提高。2. ，設 ，相應的根軌跡如圖c）所示. 此時系統(tǒng)的開環(huán)增益取任何值時系統(tǒng)都將穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，如設計得合適，系統(tǒng)將有兩個共軛復數極點和一個實數極點，并且共軛復數極點距虛軸較近，即為共軛復數主導極點。在這種情況下，系統(tǒng)可近似看成一個二階欠阻尼比系統(tǒng)來進行分析。3. ，設 ，相應系統(tǒng)根軌跡如

20、圖 d）所示。 在此情況下，閉環(huán)復數極點距離軸較遠，而實數極點卻距離軸較近，這說明系統(tǒng)將有較低的瞬態(tài)響應速度。 從以上三種情況來看，一般第二種情況比較理想，這時系統(tǒng)具有一對共軛復數主導極點，其瞬態(tài)響應性能指標也比較滿意。 增加開環(huán)零點將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點的方向發(fā)生變形。若增加的零點位于左半平面，系統(tǒng)的根軌跡向左偏移，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有利于系統(tǒng)動態(tài)特性的改善，且開環(huán)零點離虛軸越近，系統(tǒng)動態(tài)特性改善越顯著。 當開環(huán)零點與極點重合時，二者構成偶極子，產生零點對消；當開環(huán)零點位于右半平面時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.4.4 開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡的影響 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 ，其對應的

21、系統(tǒng)根軌跡如圖 a）所示。 若系統(tǒng)增加開環(huán)極點，開環(huán)傳遞函數變?yōu)?其相應的根軌跡如圖 b）所示。 增加開環(huán)極點使根軌跡右移，將可能使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。4.4.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比，開環(huán)增益與根軌跡增益之間又有確定的比例關系，即 在根軌跡上確定滿足暫態(tài)性能的閉環(huán)極點后，可由根軌跡的幅度條件計算出 K* 值，然后由上式求得開環(huán)增益K。若該 K值不滿足系統(tǒng)提出的穩(wěn)態(tài)性能要求時，可采用增加開環(huán)系統(tǒng)的極、零點的方法來解決。 如下圖所示，設在開環(huán)系統(tǒng)中增加一對極點比零點更接近原點的實數極、零點pc和zc(稱為偶極子)，這一對實數極、零點對離原點較遠的A，B點附近根軌跡形狀及A，B點的K*值影響很小，但卻使開環(huán)增益增加D倍，D