第五講ARCH和GARCH模型估計(jì)

1、第五講 條件異方差模型 EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計(jì)工具都是用來建立隨機(jī)變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的建立變量的條件方差或變量波動(dòng)性模型。 我們想要建模并預(yù)測其變動(dòng)性通常有如下幾個(gè)原因: 首先，我們可能要分析持有某項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)；其次，預(yù)測置信區(qū)間可能是時(shí)變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當(dāng)控制的，我們就能得到更有效的估計(jì)。 1內(nèi)容概況一ARCH模型及擴(kuò)展二在EViews中估計(jì)ARCH模型三 估計(jì)結(jié)果與檢驗(yàn)2 一 自回歸條件異方差模型 自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heterosc

2、edasticity Model， ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進(jìn)行預(yù)測的。 ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle, R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為GARCH (Generalized ARCH)廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。尤其在金融時(shí)間序列分析中。 按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時(shí)間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。但在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異方差呢？會(huì)是怎樣出現(xiàn)的？ 3 恩格爾和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時(shí)間序列模型中

3、的擾動(dòng)方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時(shí)，大的及小的預(yù)測誤差會(huì)大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動(dòng)項(xiàng)的大小。 從事于股票價(jià)格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時(shí)間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時(shí)期的不同而有相當(dāng)大的變化。預(yù)測的誤差在某一時(shí)期里相對地小，而在某一時(shí)期里則相對地大，然后，在另一時(shí)期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動(dòng)性易受謠言、政局變動(dòng)、政府貨幣與財(cái)政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。 為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是時(shí)刻 t

4、 的ut 的方差（= t2 ）依賴于時(shí)刻(t 1)的殘差平方的大小，即依賴于 ut2- 1 。 4（一） ARCH模型 為了說得更具體，讓我們回到k -變量回歸模型：(5.1.1) 并假設(shè)在時(shí)刻 ( t1 ) 所有信息已知的條件下，擾動(dòng)項(xiàng) ut 的分布是： (5.1.2) 也就是，ut 遵循以0為均值，(0+ 1u2t-1 )為方差的正態(tài)分布。 由于(5.1.2)中ut的方差依賴于前期的平方擾動(dòng)項(xiàng)，我們稱它為ARCH(1)過程：然而，容易加以推廣。5 例如，一個(gè)ARCH (p)過程可以寫為：（5.1.3） 如果擾動(dòng)項(xiàng)方差中沒有自相關(guān)，就會(huì)有 H0 ：這時(shí) 從而得到誤差方差的同方差性情形。 恩格

5、爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗(yàn)上述虛擬假設(shè)：（5.1.4） 其中，t 表示從原始回歸模型（5.1.1）估計(jì)得到的OLS殘差。 6（二） GARCH(1, 1)模型 我們常常有理由認(rèn)為 ut 的方差依賴于很多時(shí)刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。這里的問題在于，我們必須估計(jì)很多參數(shù)，而這一點(diǎn)很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(5.1.3)不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個(gè)或兩個(gè)t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heterosce-d

6、asticity model，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個(gè)不同的設(shè)定：一個(gè)是條件均值，另一個(gè)是條件方差。 7在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH(1,1)模型中： (5.1.5) (5.1.6)其中：xt是1(k+1)維外生變量向量， 是(k+1)1維系數(shù)向量。 (5.1.5)中給出的均值方程是一個(gè)帶有誤差項(xiàng)的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差 ，所以它被稱作條件方差。8 (5.1.6)中給出的條件方差方程是下面三項(xiàng)的函數(shù)： 1常數(shù)項(xiàng)（均值）： 2用均值方程(5.1.5)的殘差平方的滯后來度量從前期得到的波動(dòng)性的信息： ut2-1（ARCH項(xiàng)）。 3上一期的預(yù)

7、測方差： t2-1 （GARCH項(xiàng)）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項(xiàng)（括號中的第一項(xiàng)）和階數(shù)為1的ARCH項(xiàng)（括號中的第二項(xiàng)）。一個(gè)普通的ARCH模型是GARCH模型的一個(gè)特例，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測方差t2的說明。 9 在EViews中ARCH模型是在誤差是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計(jì)的。例如，對于GARCH(1,1)，t 時(shí)期的對數(shù)似然函數(shù)為：(5.1.7) 其中 (5.1.8) 這個(gè)說明通常可以在金融領(lǐng)域得到解釋，因?yàn)榇砩袒蛸Q(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項(xiàng)）和在以前各期中觀測到的關(guān)

8、于變動(dòng)性的信息（ARCH項(xiàng)）來預(yù)測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會(huì)增加對下期方差的預(yù)期。這個(gè)模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪?cái)務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動(dòng)組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進(jìn)一步的巨大變化。10（三）方差方程的回歸因子 方程(5.1.6)可以擴(kuò)展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程： （5.1.11） 注意到從這個(gè)模型中得到的預(yù)測方差不能保證是正的。可以引入到這樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負(fù)的預(yù)測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：（5.1.12） 11 GARCH(p, q)模型 高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得

9、到估計(jì)，記作GARCH(p, q)。其方差表示為：（5.1.13） 這里，p是GARCH項(xiàng)的階數(shù)，q是ARCH項(xiàng)的階數(shù)。 12（四） ARCH-M模型 金融理論表明具有較高可觀測到的風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)可以獲得更高的平均收益，其原因在于人們一般認(rèn)為金融資產(chǎn)的收益應(yīng)當(dāng)與其風(fēng)險(xiǎn)成正比，風(fēng)險(xiǎn)越大，預(yù)期的收益就越高。這種利用條件方差表示預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的模型被稱為ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中我們把條件方差引進(jìn)到均值方程中: （5.1.14） ARCH-M模型的另一種不同形式是將條件方差換成條件標(biāo)準(zhǔn)差：或取對數(shù) 13 ARCH-M模型通常用于關(guān)于資產(chǎn)的預(yù)期收益與預(yù)期

10、風(fēng)險(xiǎn)緊密相關(guān)的金融領(lǐng)域。預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)系數(shù)是風(fēng)險(xiǎn)收益交易的度量。例如，我們可以認(rèn)為某股票指數(shù)，如上證的股票指數(shù)的票面收益（returet）依賴于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，通貨膨脹率t 以及條件方差： 這種類型的模型（其中期望風(fēng)險(xiǎn)用條件方差表示）就稱為GARCH-M模型。 14二 在EViews中估計(jì)ARCH模型 估計(jì)GARCH和ARCH模型，首先選擇Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對話框。 (EViews4.0)的對話框15 (EViews5)的對話框16 與選擇估計(jì)方法和樣本一樣

11、，需要指定均值方程和方差方程。 （ 一）均值方程 在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個(gè)更復(fù)雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。 如果解釋變量的表達(dá)式中含有ARCHM項(xiàng)，就需要點(diǎn)擊對話框右上方對應(yīng)的按鈕。EViews4.0中，只有3個(gè)選項(xiàng)： 1.選項(xiàng)None表示方程中不含有ARCHM項(xiàng)； 2.選項(xiàng)Std.Dev.表示在方程中加入條件標(biāo)準(zhǔn)差； 3.選項(xiàng)Variance則表示在方程中含有條件方差 2。 而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了這三個(gè)選項(xiàng)外，還添加了一個(gè)新的選項(xiàng)：Log(

12、Var)，它表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln( 2)作為解釋變量。 17 （二）方差方程 EViews5的選擇模型類型列表 （1）在model下拉框中可以選擇所要估計(jì)的ARCH模型的類型，需要注意，EViews5中的模型設(shè)定下拉菜單中的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中，并沒有這個(gè)選項(xiàng)，而是直接將幾種類型列在對話框中。 18 （3）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進(jìn)行方差回歸時(shí)總會(huì)包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)作為解釋變量，所以不必在變量表中列出C。 （2）設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的階數(shù)。

13、缺省的形式為包含一階ARCH項(xiàng)和一階GARCH項(xiàng)的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。如果要估計(jì)一個(gè)非對稱的模型，就應(yīng)該在Threshold編輯欄中輸入非對稱項(xiàng)的數(shù)目，缺省的設(shè)置是不估計(jì)非對稱的模型，即該選項(xiàng)的個(gè)數(shù)為0。仍需注意的是，這個(gè)Threshold編輯欄也是EViews5新增的選項(xiàng)，即EViews5可以估計(jì)含有多個(gè)非對稱項(xiàng)的非對稱模型。在EViews4.0中，并沒有這個(gè)選項(xiàng)，非對稱模型中的非對稱項(xiàng)只能有1項(xiàng)。 19 （4）Error組合框是EViews5新增的對話框，它可以設(shè)定誤差的分布形式，缺省的形式為Normal（Gaussian），備選的選項(xiàng)有：Students-t，Generalize

14、d Error（GED）、Students-t with fixed df.和GED with fixed parameter。需要注意，選擇了后兩個(gè)選項(xiàng)的任何一項(xiàng)都會(huì)彈出一個(gè)選擇框，需要在這個(gè)選擇框中分別為這兩個(gè)分布的固定參數(shù)設(shè)定一個(gè)值。在EViews4.0中，并沒有Error選項(xiàng)，誤差的條件分布形式默認(rèn)為Normal（Gaussian）。 20 （四）估計(jì)選項(xiàng)（Options） EViews為我們提供了可以進(jìn)入許多估計(jì)方法的設(shè)置。只要點(diǎn)擊Options按鈕并按要求填寫對話即可。 21 1. 回推(Backcasting) 在缺省的情況下，MA初始的擾動(dòng)項(xiàng)和GARCH項(xiàng)中要求的初始預(yù)測方差都

15、是用回推方法來確定初始值的。如果不選擇回推算法，EViews會(huì)設(shè)置殘差為零來初始化MA過程，用無條件方差來設(shè)置初始化的方差和殘差值。但是經(jīng)驗(yàn)告訴我們，使用回推指數(shù)平滑算法通常比使用無條件方差來初始化GARCH模型的效果要理想。 2. 系數(shù)協(xié)方差 (Coefficient Covariance) 點(diǎn)擊Heteroskedasticity Consistent Covariances計(jì)算極大似然（QML）協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差。 如果懷疑殘差不服從條件正態(tài)分布，就應(yīng)該使用這個(gè)選項(xiàng)。只有選定這一選項(xiàng)，協(xié)方差的估計(jì)才可能是一致的，才可能產(chǎn)生正確的標(biāo)準(zhǔn)差。 注意如果選擇該項(xiàng)，參數(shù)估計(jì)將是不變的，改變的只是協(xié)方

16、差矩陣。22 3. 導(dǎo)數(shù)方法 (Derivatives) EViews現(xiàn)在用數(shù)值導(dǎo)數(shù)方法來估計(jì)ARCH模型。在計(jì)算導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，可以控制這種方法達(dá)到更快的速度（較大的步長計(jì)算）或者更高的精確性（較小的步長計(jì)算）。 4. 迭代估計(jì)控制 (Iterative process) 當(dāng)用默認(rèn)的設(shè)置進(jìn)行估計(jì)不收斂時(shí)，可以通過改變初值、增加迭代的最大次數(shù)或者調(diào)整收斂準(zhǔn)則來進(jìn)行迭代控制。 5算法選擇 (Optimization algorithm) ARCH模型的似然函數(shù)不總是正規(guī)的，所以這時(shí)可以利用選擇迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛頓）使其達(dá)到收斂。 23三 ARCH的估計(jì)結(jié)果 在均值方程中

17、和方差方程中估計(jì)含有解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)GARCH(1,1)模型， (5.3.1) 例1 為了檢驗(yàn)股票價(jià)格指數(shù)的波動(dòng)是否具有條件異方差性，我們選擇了滬市股票的收盤價(jià)格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因?yàn)樯虾９善笔袌霾粌H開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價(jià)格波動(dòng)具有一定代表性。在這個(gè)例子中，我們選擇的樣本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價(jià)格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計(jì)時(shí)，對sp進(jìn)行自然對數(shù)處理，即將序列l(wèi)og(sp)作為因變量進(jìn)行估計(jì)。24 由于股票價(jià)格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程隨機(jī)游動(dòng)（Random Walk

18、）模型描述，所以本例進(jìn)行估計(jì)的基本形式為： 首先利用最小二乘法，估計(jì)了一個(gè)普通的回歸方程，結(jié)果如下：(5.3.2) （12145） R2= 0.998 對數(shù)似然值 = 5974 AIC = -4.16 SC = -4.16 25 可以看出，這個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，而且，擬和的程度也很好。但是對這個(gè)方程進(jìn)行異方差的White和ARCHLM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn) q = 3 時(shí)的ARCH-LM檢驗(yàn)的相伴概率，小于5%，White檢驗(yàn)的結(jié)果類似，其相伴概率，即P值也小于5%，這說明誤差項(xiàng)具有條件異方差性。26 股票價(jià)格指數(shù)方程回歸殘差 但是觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動(dòng)的“成群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些

19、較長的時(shí)間內(nèi)非常小（例如2000年），在其他一些較長的時(shí)間內(nèi)非常大（例如1999年），這說明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。27（一） ARCH 的檢驗(yàn)1. ARCH LM檢驗(yàn) Engle(1982)提出對殘差中自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH) 進(jìn)行拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) (Lagrange multiplier test)，即 LM檢驗(yàn)。異方差的這種特殊定義是由于對許多金融時(shí)間序列的觀測而提出的，殘差的大小呈現(xiàn)出與近期殘差值有關(guān)。ARCH自身不能使標(biāo)準(zhǔn)LS推理無效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。 2

20、8 ARCH LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由一個(gè)輔助檢驗(yàn)回歸計(jì)算。為檢驗(yàn)原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運(yùn)行如下回歸： 式中t是殘差。這是一個(gè)對常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。F統(tǒng)計(jì)量是對所有滯后平方殘差聯(lián)合顯著性所作的檢驗(yàn)。Obs*R2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,它是觀測值數(shù)T乘以檢驗(yàn)回歸R2。292. 平方殘差相關(guān)圖 顯示直到所定義的滯后階數(shù)的平方殘差t2的自相關(guān)性和偏自相關(guān)性，計(jì)算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量。平方殘差相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)應(yīng)為0，且Q統(tǒng)計(jì)量應(yīng)不顯著。可適用于使用LS，TSLS，非

21、線性LS估計(jì)方程。顯示平方殘差相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量，選擇View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在打開的滯后定義對話框，定義計(jì)算相關(guān)圖的滯后數(shù)。 30 因此，對式(5.3.2)進(jìn)行條件異方差的ARCH LM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p = 3時(shí)的ARCH LM檢驗(yàn)結(jié)果： 此處的P值為3%，拒絕原假設(shè)，說明式（5.1.2）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。還可以計(jì)算式（5.1.2）的殘差平方的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：31 重新建立序列的GARCH（1, 1）模型，結(jié)果如下： 均值方程： （35953.47） 方差方程： （1

22、1.44） （33.36）對數(shù)似然值 = 7033 AIC = -4.9 SC = -4.9GARCH = 6.582490162e-006 + 0.4524492914*RESID(-1)2 + 0.7210106883*GARCH(-1) 32 方差方程中的ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時(shí)AIC和SC值都變小了，這說明這個(gè)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個(gè)方程進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，相伴概率為P = 0.97，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。3334 ARCH估計(jì)的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果；下

23、半部分，即方差方程包括系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤差，z統(tǒng)計(jì)量和方差方程系數(shù)的P值。在方程(5.1.6)中ARCH的參數(shù)對應(yīng)于，GARCH的參數(shù)對應(yīng)于 。在表的底部是一組標(biāo)準(zhǔn)的回歸統(tǒng)計(jì)量，使用的殘差來自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回歸量，那么這些標(biāo)準(zhǔn)，例如R2也就沒有意義了。 35 例2 估計(jì)我國股票收益率的ARCHM模型。選擇的時(shí)間序列仍是1991年1月7日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價(jià)格收盤指數(shù)sp，股票的收益率是根據(jù)公式： ，即股票價(jià)格收盤指數(shù)對數(shù)的差分計(jì)算出來的。 ARCHM模型： ， 估計(jì)出的結(jié)果是: (-5.1) (5.5) (12.46) (28.28) (121

24、.2) 對數(shù)似然值 = 7036 AIC = -4.9 SC = -4.9 在收益率方程中包括 t 的原因是為了在收益率的生成過程中融入風(fēng)險(xiǎn)測量，這是許多資產(chǎn)定價(jià)理論模型的基礎(chǔ) “均值方程假設(shè)” 的含義。在這個(gè)假設(shè)下， 應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果 = -0.067，因此我們預(yù)期較大值的條件標(biāo)準(zhǔn)差與高收益率相聯(lián)系。估計(jì)出的方程的所有系數(shù)都很顯著。均值方程中t 的系數(shù)為-0.067，表明當(dāng)市場中的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)增加一個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致收益率也相應(yīng)的增加0.067個(gè)百分點(diǎn)。 3637四 ARCH模型的視圖與過程 一旦模型被估計(jì)出來，EViews會(huì)提供各種視圖和過程進(jìn)行推理和診斷檢驗(yàn)。 （一）ARCH模型的視圖 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各種殘差形式，例如，表格，圖形和標(biāo)準(zhǔn)殘差。 2. 條件SD圖 顯示了在樣本中對每個(gè)觀測值繪制向前一步的標(biāo)準(zhǔn)偏差t 。t 時(shí)期的觀察值是由t-1期可得到的信息得出的預(yù)測值。 38 3. 協(xié)方差矩陣 顯示了估計(jì)的系數(shù)協(xié)方差矩陣。大多數(shù)ARCH模型（ARC