大物B課后題08

1、習(xí)題8-6 一根無限長直導(dǎo)線有交變電流i = I0 sino匚它旁邊有一與它共面的矩形線圈ABCD， 如圖所示，長為l的AB和CD兩邊與直導(dǎo)向平行，它們到直導(dǎo)線的距離分別為a和b，試 求矩形線圈所圍面積的磁通量，以及線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。解 建立如圖所示的坐標(biāo)系，在矩形平面上取一矩形面元dS = ldx，載流長直導(dǎo)線的磁場 穿過該面元的磁通量為d = B - dS = *0 ldx m2兀X通過矩形面積CDEF的總磁通量為b日i 日il b 曰I I、b . =! 20 ldx = 2 ln 2 0 ln sin ot由法拉第電磁感應(yīng)定律有du I lob = m = 0 0 ln cos ot

2、dt2 兀a8-7 有一無限長直螺線管，單位長度上線圈的匝數(shù)為n，在管的中心放置一繞了N圈，半 徑為,的圓形小線圈，其軸線與螺線管的軸線平行，設(shè)螺線管內(nèi)電流變化率為dIdt，球小 線圈中感應(yīng)的電動(dòng)勢。解無限長直螺線管內(nèi)部的磁場為通過N匝圓形小線圈的磁通量為 = NBS = N 七 nI n r 2由法拉第電磁感應(yīng)定律有ddI = m = N |lx n 兀 r2 dt 0 dt8-8 一面積為S的小線圈在一單位長度線圈匝數(shù)為n，通過電流為i的長螺線管內(nèi)，并與螺 線管共軸，若i = i0 sin o t，求小線圈中感生電動(dòng)勢的表達(dá)式。解 通過小線圈的磁通量為 = BS = U niS由法拉第電磁

3、感應(yīng)定律有ddi = - J* = -U nS = u nSi o cos ot8-9 如圖所示，矩形線圈ABCD放在B = 6.0 x 10-1T的均勻磁場中，磁場方向與線圈平 面的法線方向之間的夾角為a = 60。，長為0.20m的AB邊可左右滑動(dòng)。若令A(yù)B邊以速率 v = 5.0m s-1向右運(yùn)動(dòng)，試求線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小及感應(yīng)電流的方向。解利用動(dòng)生電動(dòng)勢公式8 =f B(v x B) dl =j 25 x 0.6 x sin( - - 60)dl = 0.30(V) A02感應(yīng)電流的方向從a B.8-10如圖所示，兩段導(dǎo)體AB和BC的長度均為10cm，它們在B處相接成角30。；磁場方

4、向垂直于紙面向里，其大小為B = 2.5x10-2T。若使導(dǎo)體在均勻磁場中以速率 v = 1.5m s-i運(yùn)動(dòng)，方向與AB段平行，試問AC間的電勢差是多少？哪一端的電勢高？解 導(dǎo)體AB段與運(yùn)動(dòng)方向平行，不切割磁場線，沒有電動(dòng)勢產(chǎn)生BC段產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng) 勢為8 = (v x B) dl =j 1.101.5 x 2.5 x10 -2 x cos 60。dl =1.9 x 10 -3(V)AC間的電勢差是U =-8 =-1.9 x 10-3(V)ACC端的電勢高。8-11長為l的一金屬棒ab，水平放置在均勻磁場B中，如圖所示，金屬棒可繞O點(diǎn)在水平 面內(nèi)以角速度旋轉(zhuǎn)，O點(diǎn)離a端的距離為。試求a,b兩

5、端的電勢差，并指出哪端電勢 高(設(shè)k2)解建立如圖所示的坐標(biāo)系，在Ob棒上任一位置x處取一微元dx，該微元產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢為d 8 = (v x B) dx = 一 xBdxOb棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢為1 ，一 1、8 =jl l k -wxBdx = - 2 Bl 2(1 一 )2同理，Oa棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢為1 128 =j1 一 xBdx = Bl 2 Oa 02k 2金屬棒a,b兩端的電電勢差U =-8ab ab=8 -8 =-1 Bl 2 - 1 Bl 2(1-)2 = Bl 2(1- 2)Oa Ob 2k22k 2k因k2，所以a端電勢高。8-12如圖所示，真空中一載有穩(wěn)恒電流I的無限

6、長直導(dǎo)線旁有一半圓形導(dǎo)線回路，其半徑 為,，回路平面與長直導(dǎo)線垂直，且半圓形直徑cd的延長線與長直導(dǎo)線相交，導(dǎo)線與圓心 O之間距離為l，無限長直導(dǎo)線的電流方向垂直紙面向內(nèi)，當(dāng)回路以速度v垂直紙面向外運(yùn) 動(dòng)時(shí)，求：(1)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小；(2)半圓弧導(dǎo)線cd中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小。解 (1)由于無限長直導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁場方向與半圓形導(dǎo)線所在平面平行，因此當(dāng)導(dǎo)線回 路運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過它的磁通量不隨時(shí)間改變，導(dǎo)線回路中感應(yīng)電動(dòng)勢 = 0。(2)半圓形導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢與直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小相等，方向相反，所以 可由直導(dǎo)線計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢的大小選取x軸如圖8.7所示，在x處取線元dx,dx中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)

7、勢大小為d = (v x B ) dl其中B二七/2兀x導(dǎo)線cd及圓弧cd產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的大小均為i+rvBdx =H j i+也也 ln 也l - r2 兀 ir X2兀1 r8-13在半徑R = 0.50m的圓柱體內(nèi)有均勻磁場，其方向與圓柱體的軸線平行，且 dBdt = 1.0 x 10-2 T s-1，圓柱體外無磁場，試求離開中心O的距離分別為0.1m,0.25 m,0.50 m,1.0m和各點(diǎn)的感生電場的場強(qiáng)。解 變化的磁場產(chǎn)生感生電場線是以圓柱軸線為圓心的一系列同心圓，因此有J E感 dl = JJ* dS LSr,翌-dS =-竺丸r 2dtdtS當(dāng)r R時(shí)，所以r = 0.1m時(shí)

8、，dBE感2兀r = -d兀r 21 dB2 F=5.0 x 10-4v m-1 ； r = 0.25m時(shí)，。E感=1.3x 10-3 m-1dBE 2兀 r =兀 R2 感dtE =-R2 dB感 2r dt所以 r = 0.50m 時(shí)，E感=2.5 x 10 -3V m-1； r = 1.0m 時(shí) E感=1.25 x 10-3V m-18-14如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場充滿在半徑為R的圓柱體內(nèi)，有一長為l的金 屬棒ab放在該磁場中，如果B以速率dB dt變化，試證：由變化磁場所產(chǎn)生并作用于棒兩dB 1 一端的電動(dòng)勢等于-霓2 -證明 方法一 連接Oa,Ob,設(shè)想Oab構(gòu)成閉合回路，

9、由于Oa,Ob沿半徑方向，與通過該處 的感生電場處垂直，所以O(shè)a,Ob兩段均無電動(dòng)勢，這樣由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合 回路Oab的總電動(dòng)勢就是棒ab兩端電動(dòng)勢。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律 井=-sdB=dB 1 /,r2- ab Oab dt dt 2 方法二 變化的磁場在圓柱體內(nèi)產(chǎn)生的感生電場為E =-1 rdB感 2 dt棒ab兩端的電動(dòng)勢為R 2-r1)2e =lE dx =lE cos9dx = 1 -1 ,竺 2 dx = dB 1 lIr2-(1Yab 0 感 o 感02 dt rdt 2、2 J8-15如圖所示，兩根橫截面半徑為a的平行長直導(dǎo)線，中心相距d，它們載有大小相等、 方

10、向相反的電流，屬于同一回路，設(shè)導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可以忽略不計(jì)，試證明這樣一對導(dǎo)線 長為l的一段的自感為L = N ln 質(zhì)。兀 a解兩根平行長直導(dǎo)線在它們之間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為穿過兩根導(dǎo)線間長為dx的一段的磁通量為 =fd - aB dS =+ 尸 o1、ldx m aa_ 2兀 x 2兀(d - x ；四 ll i d - a兀 a所以，一對長為的一段導(dǎo)線的自感為 旦 l d a L = m = a inI 兀 a8-16 一均勻密繞的環(huán)形螺線管，環(huán)的平均半徑為R，管的橫截面積為S，環(huán)的總匝數(shù)為N， 管內(nèi)充滿磁導(dǎo)率為R的磁介質(zhì)。求此環(huán)形螺線管的自感系數(shù)L。解 當(dāng)環(huán)形螺線管中通有電流I時(shí)，管中的

11、磁感應(yīng)強(qiáng)度為曰INB = UnI =2兀R通過環(huán)形螺線管的磁鏈為V = N =成竺m m2 冗 R則環(huán)形螺線管的自感系數(shù)為8-17由兩薄圓筒構(gòu)成的同軸電纜，內(nèi)筒半徑R1,外筒半徑為R2，兩筒間的介質(zhì)七二1。設(shè) 內(nèi)圓筒和外圓筒中的電流方向相反，而電流強(qiáng)度I相等，求長度為l的一段同軸電纜所儲(chǔ)磁 能為多少？解有安培環(huán)路定理可求得同軸電纜在空間不同區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為r % 時(shí)，B = 0R r R2 時(shí)，B3 = 0在長為L，內(nèi)徑為r，外徑為r + dr的同軸薄圓筒的體積dV = 2兀rldr中磁場能量為dW = 1 竺 dV = drm 2旦4兀r0所以，長度為l的一段同軸電纜所儲(chǔ)能為 TOC o

12、1-5 h z HYPERLINK l bookmark161 o Current Document r 旦 12 r .旦 12lRW = J 2 dr =ln 2m r 4冗r4冗R1i補(bǔ)充在同時(shí)存在電場和磁場的空間區(qū)域中，某點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，此空 間區(qū)域介質(zhì)的介電常數(shù)%，磁導(dǎo)率PR*。求P點(diǎn)處電場和磁場的總能量體密度巧。 解電場能量密度為1 口W =8 E2e 2 0磁場能量密度為1 B 2w =m 2 p0總能量密度為11 B2w = w + w =8 E2 +*08-19 一小圓線圈面積為S1 = 4.0 cm 2，由表面絕緣的細(xì)導(dǎo)線繞成，其匝數(shù)為= 50，把它 放

13、在另一半徑R2 = 20cm，N2 = 100匝的圓線圈中心，兩線圈同軸共面。如果把大線圈在 小線圈中產(chǎn)生的磁場看成是均勻的，試求這兩個(gè)線圈之間的互感；如果大線圈導(dǎo)線中的電流 每秒減少50A，試求小線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。解當(dāng)大圓形線圈通有/ 2時(shí)它在小圓形線圈中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B = N “222 2R2若把大圓形線圈在小圓形線圈中產(chǎn)生的磁場看成是均勻的，則通過小圓形線圈的磁鏈為W = N B S = NN Sm 1 2 11 2 2 R1兩個(gè)線圈之間的互感為2 x 0.2M 工=NN2“ = 50 x100 x4丸 x10-7 x4.0 x10-4 = 6.28x10-6（H）122 R

14、22 x 0.2如果大線圈導(dǎo)線中的電流每秒減少50A，則小線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢為s = -M 些=6.28 x10一6 x50 = 3.14x10一4（V） dt8-20 一螺線管長為30cm。由2500匝漆包導(dǎo)線均勻密繞而成，其中鐵芯的相對磁導(dǎo)率 七=100，當(dāng)它的導(dǎo)線中通有2.0A的電流時(shí)，求螺線管中心處的磁場能量密度。解 螺線管中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B = “ nI = “ NI 0 r0 r l螺線管中的磁場能量密度為1 B2f ”，w = 1.74 x 105 J / m3“0 r8-21 一根長直導(dǎo)線載有電流I，且I均勻地分布在導(dǎo)線的橫截面上，試求在長度為l的一段 導(dǎo)線內(nèi)部的磁場能量。解有

15、安培環(huán)路定理可得長直導(dǎo)線內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B =些2兀R 2在長度為l的一段導(dǎo)線內(nèi)部的磁場能量w 頊j1 竺 dV = jR “0 2兀 rldr = “Jm 2 “0 4兀 2 R 416兀08-22 一同軸線由很長的直導(dǎo)線和套在它外面的同軸圓筒構(gòu)成，它們之間充滿了相對磁導(dǎo)率為“ =1的介質(zhì)，假定導(dǎo)線的半徑為R，圓筒的內(nèi)外半徑分別為R和R ，電流I由圓 r123筒流出，由直導(dǎo)線流回，并均勻地分布在它們的橫截面上，試求：1）在空間各個(gè)范圍內(nèi)的 磁能密度表達(dá)式;（2）當(dāng)=10皿,氣=4.0 mm, q H.Omm,/ = 1%時(shí)，在每米長度的同軸線中所儲(chǔ)存的磁場能量。解 （1）有安培環(huán)路定理可得

16、在空間各個(gè)范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為r R時(shí)B =旦匚；R r R 時(shí)B =炬112兀 R 21222兀 r1R r R 時(shí) B = 02332兀 r R 2 R 234321 B2=1-2旦0相應(yīng)地，空間各個(gè)范圍內(nèi)的磁能密度為空；R r R3R2 r R3 時(shí) w（2）每米長度的同軸線中所儲(chǔ)存的磁場能量為= fffw dV = jjjw dV + jjjw dV + jjjw dV + jjjw dV = U 12R31R2 TOC o 1-5 h z m1m2 m3m4 m22 兀 rdr + 0=jR1 U02r2 2兀 rdr + j% U0” 2兀 rdr + j0 8 兀 2 R 2R

17、8 兀 2 r 211R 2R 4 R 43+32-R3 R22 4 R2 R 2=1.7 x10-5( J)U 121 1 | R R 4ln(R,R ) -0 I - + ln + 3 3 十4 兀 | 4 Rr 2 R 2 ) HYPERLINK l bookmark196 o Current Document L132dU _、- 8-23證明電容C的平行板電容器，極板間的位移電流強(qiáng)度七=。不，U是電容器兩極板 間的電勢差。證明 由于平行板中D=。，所以穿過極板位移電位移通量巾=jj D dS = b S = q = CUS平行板電容器中的位移電流強(qiáng)度 =d% = d（CU ） = C

18、dUd dt dt dt電荷在電容器極板8-24設(shè)圓形平行板電容器的交變電場為E = 720sin （105兀t）V m-1上均勻分布，且邊緣效應(yīng)可以忽略，試求：（1）電容器兩極板間的位移電流密度；（2）在距 離電容器極板中心連線為r = 1.0cm處，經(jīng)過時(shí)間t = 2.0 x10-5s時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。解（1）電容器兩極板間的位移電流密度為j = = 2.00 x10-3 cos 05兀 t）4m2d dt 0 at（2）以電容器極板中心連線為圓心，以r = 1.0cm為半徑做一圓周。由全電流安培環(huán)路定律有。H dl =迎D dt所以dEH 2 兀 r =k r 28 0 dtn 1 dEH r8 2 0 dt經(jīng)過時(shí)間時(shí)$ = 2.0 X10-5 S，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B =日 H = 0o 竺=1.26 x 10-11（T ）02 dt8-25試確定哪一個(gè)麥克斯韋方程相當(dāng)于或包括下列事實(shí)：（1）電場線僅起始或終止與電荷或無窮遠(yuǎn)處；（2）位移電流；（3）在靜電平衡條件下，導(dǎo)體內(nèi)部可能有任何電荷；